Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

[SailorStarRuler]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

La paradoja de Zénon es una paradoja muy antigua Recuerda que un argumento no se puede "aplicar infinitas veces", aunque sí un número tan grande como quieras. Esa sumatoria para cualquier n finito, no llega a ser mayor que 1. Estrictamente hablando, aunque hablemos de una suma de infinitos términos, nos estamos refiriendo al límite de esa sumatoria cuando n tiende a infinito. Es decir, lo único que se demuestra es que por mucho que nos acerquemos a 1 ( o al valor que de "el sumatorio infinito" de la serie") Zenon no alcanza a la tortuga. La supuesta paradoja la puedes crear para cualquier sumatorio "infinito" que sea un número inferior a la ventaja que deja Zenon a la tortuga. Otra cosa es que el tiempo estuviera cuantizado, pero no hay evidencia experimental. La longitud de Planck es simplemente una hipótesis ( la de que en su orden de magnitud el espacio deja de ser euclideo porque la métrica que aparece en la relatividad general, que es localmente euclidea en lo pequeño [ pero no en lo grande, de ahí la relatividad general y sus resultados no acordes con la mecánica de Newton] también deja de ser euclidea) . No es necesario apelar a la longitud de Planck para resolver la paradoja.


PD: Ahora pido un favor, ¿ cómo se meten fórmulas en este foro?

[SebastianPlaul]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

yo soy nuevo y me voy a dar el lujo de decir mi opinion aunque claro esta , que despues de tantas idas y vueltas, seguramente va a ser un comentario estupido. Pero ayuda a que ustedes sepan como un recien llegado percibe los problemas que aqui se plantean. si dos objetos que se mueven en linea recta por el mismo espacio y uno es mas rapido que el otro, en algun momento aunque la distancia sea cual sea, lo va a terminar alcanzando y superando. no encuentro lo raro

perodon por ser tan ignorante, pero espero aprender!
saludos!

ah y el señor ''agujero negro'' me parece un genio!

[pod]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Entre otras cosas curiosas esta afirma que el mismísimo tejido espacio temporal podría estar hecho de cuerdas

Esto no es muy preciso. La premisa fundamental de la teoría de cuerdas es que todas las partículas no son puntos, sino pequeñas cuerdas unidimensionales que se desplazan y vibran en el espacio-tiempo. El espacio-tiempo en si no es un ente físico (aunque sí dinámico), no está hecho de cuerdas ni de nada. Es insubstancial.

que existen un montón de dimensiones microscópicamente enrolladas en geometrías inentendibles (para mí) llamadas espacios de Calabi-Yau,

Un montón no. Una teoría de cuerdas supersimétrica contiene exactamente 10 dimensiones. Como nosotros sólo vemos cuatro, debemos explicar que pasa con las otras seis. Una de las posibilidades es que esas seis dimensiones están compactificadas en una variedad de Calabi-Yau, como tú indicas. Pero no es la única posibilidad. Y, de hecho, no es la posibilidad que está más de moda en los últimos años.

y que la distancia mínima que existe en la realidad es la longitud de Planck que equivale a, aproximadamente, 1,61624x10-35.

Esa es una confusión muy habitual en textos de divulgación en teoría de cuerdas. No es cierto que distancias por debajo de la longitud de la cuerda (que no tiene porqué ser la longitud de Planck, puede ser mayor o menor).

En realidad, las coordenadas en teoría de cuerdas son números reales, como en cualquier otra teoría por el momento. Por ejemplo, yo puedo poner dos cuerdas paralelas tan cerca como quiera, no hay ningún límite inferior. Si quiero, puedo ponerlas a una distancia mil veces más pequeña que la longitud de la cuerda (o la longitud de Planck si te da la gana).

Cuando se habla de que el tamaño finito de las cuerdas hacen que uno no pueda "testear" aspectos locales de la teoría, no quiere decir que dichas distancias no existen. Lo que quiere decir es que las interacciones entre cuerdas no son locales. El motivo es algo complicado de explicar, tiene que ver con la topología de las superficies y todo eso.

al pobre tipo lo atacaron con comentarios más iracundos que lúcidos.

Cuando a uno le dicen que no tiene razón, siempre se lo toma mal y le suena a "mal tono", pero no significa que sea así. Así que, por favor, abstente de hacer este tipo de valoraciones. Yo podría hacer valoraciones sobre tu lucidez teniendo en cuenta que en lo que llevo escrito ya te he tenido que corregir cosas que vienen explicadas en el primer capítulo de cualquier libro de cuerdas.

Los matemáticos respondieron que ya se sabe que no hay tal paradoja por que la suma de infinitésimos produce un número finito, como ingeniero chambón creo reconocer el machetazo de las aproximaciones que (me parece) invalida este razonamiento.

No hay ninguna aproximación. Son resultados basados en teoremas plenamente rigurosos.

Yo quiero redimir mi comentario jocoso de la discontinuidad del espacio tiempo y, apoyándome en la teoría de cuerdas (que no se sabe aun si es cierta) afirmar que cuando la distancia se reduce a la longitud de Planck, el perseguidor supera cuánticamente esta distancia y alcanza a la tortuga en un intervalo de tiempo igual o mayor al tiempo de Plank.

Como dije, en teoría de cuerdas las distancias son continuas. La no-localidad sólo aparece en una interacción. Pero una cuerda moviéndose, puede recorrer cualquier distancia. Incluso distancias inferiores a su propia longitud (o a la longitud de Plank).

Esto implicaría que en realidad cada movimiento que hacemos involucra teletransportaciones microscópicas o algo así;

Lo siento, pero eso es contrario a la teoría de cuerdas (a la de verdad, no a la que tú te inventas).

pero si alguna vez se llega a confirmar que la teoría de cuerdas es cierta, me pido el Nobel de física por el razonamiento, aun que probablemente solo reciba el Ig-Nobel por hablar de vainas que realmente no entiendo.

Lo siento de nuevo, pero he visto este razonamiento en varios foros y grupos de correo, a veces usando el pretexto (mal entendido) de la teoría de cuerdas y otras veces no. Lo que dices, ni es nuevo, ni es correcto, ni usa correctamente la teoría de cuerdas.

[iracubo]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hace un par de años empecé a aficionarme a la teoría de cuerdas. Entre otras cosas curiosas esta afirma que el mismísimo tejido espacio temporal podría estar hecho de cuerdas, que existen un montón de dimensiones microscópicamente enrolladas en geometrías inentendibles (para mí) llamadas espacios de Calabi-Yau, y que la distancia mínima que existe en la realidad es la longitud de Planck que equivale a, aproximadamente, 1,61624x10-35. Ahora que actualizo este texto y quiero publicarlo, encuentro que alguien publicó el año pasado un comentario relacionando la Longitud de Planck y la paradoja de Zenón y al pobre tipo lo atacaron con comentarios más iracundos que lúcidos. El ponente afirma que la distancia entre el corredor y la tortuga se hace cada vez más pequeña hasta llegar a la longitud de Planck, por debajo de ella la geometría no tiene sentido así que podríamos afirmar que los dos se encuentran en el mismo sitio. Los matemáticos respondieron que ya se sabe que no hay tal paradoja por que la suma de infinitésimos produce un número finito, como ingeniero chambón creo reconocer el machetazo de las aproximaciones que (me parece) invalida este razonamiento. Un solo argumento me pareció interesante, alguien tuvo en cuenta que al disminuir las distancias se disminuye también el tiempo por lo que el movimiento terminará deteniéndose y de todas formas persistirá la paradoja. Creo tener otra respuesta. Mi razonamiento no es que la geometría deje de tener sentido y por eso se pueda considerar que se encuentren en el mismo sitio. Yo quiero redimir mi comentario jocoso de la discontinuidad del espacio tiempo y, apoyándome en la teoría de cuerdas (que no se sabe aun si es cierta) afirmar que cuando la distancia se reduce a la longitud de Planck, el perseguidor supera cuánticamente esta distancia y alcanza a la tortuga en un intervalo de tiempo igual o mayor al tiempo de Plank. Esto implicaría que en realidad cada movimiento que hacemos involucra teletransportaciones microscópicas o algo así; pero si alguna vez se llega a confirmar que la teoría de cuerdas es cierta, me pido el Nobel de física por el razonamiento, aun que probablemente solo reciba el Ig-Nobel por hablar de vainas que realmente no entiendo.

[ser humano]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hay algo que es muy obvio: congelaste el tiempo, vale decir que al subdividir en tramos mas chicos cada vez, estas considerando intervalos de
tiempo cada vez menores, y por ende nunca llega el instante "t" en que la tortuga es superada.
En tu analisis, involuntariamente asignas intuitivamente tiempos iguales a cada intervalo, sin embargo el tiempo tambien se va haciendo mas chico igual que las distancias recorridas, de modo que pensandolo asi, tampoco llegas nunca ,en tu reloj, a dicho instante t.
Mentalmente estas haciendo una "camara lenta" que cada vez va mas despacio, y dicho evento nunca llega.

exactamente

[Tarkus]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

El problema es que en esa época, no se tenía un buen concepto de lo infinito. Y como utilizaban números y cálculos matemáticos para medir distancias, por qué éstas no pueden ser infinitamente pequeñas si pueden ser infinitamente grandes?
Hoy sólo sabemos que es ocurre en nuestra imaginación, y se supone que el espacio está cuantificado.
Además matemáticamente una sumatoria de infinitos términos puede terminar dando un resultado finito (como en el caso de la solución a la paradoja).

¿Cual es la diferencia entre una rodaja de cono y una rodaja de cilindro, si ambas se cortan arbitrariamente cerca de la base? Buscad por "democrito" y "crisipo" en google.

Supongo que para ese problema habría que recurrir al cálculo infinitesimal. Si tubieses un cono y un cilindro de igual base, y cortás una rodaja de cada uno de tal forma que las bases sean iguales, y la altura mida un dx... Entonces ambas rodajas serían iguales.
Pero bueno, eso en la práctica no se podría lograr.

[arivero]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Hola,

Ojo con el singular en "paradoja de Zenon", en realidad en el original hay tres o cuatro paradojas, que se emplean para atacar distintas visiones del discreto o del continuo tanto para el espacio como para el tiempo. No esta claro lo que queria hacer Zenon, si defender una de las posibles combinaciones o mas bien atacar a la vez todas las descripciones, dandolas por imposibles. Pero es interesante que hay otra paradoja, no de Zenon sino de Democrito, que viene a ser la version "estatica", solo discretizando el espacio: ¿Cual es la diferencia entre una rodaja de cono y una rodaja de cilindro, si ambas se cortan arbitrariamente cerca de la base? Buscad por "democrito" y "crisipo" en google.

[juancarlos]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

El más rápido de los hombres, Aquiles, no podrá alcanzar nunca al más lento de los animales, la tortuga, si se da a ésta una ventaja inicial en una carrera. Pues, mientras Aquiles recorre el camino que la tortuga llevaba por la mencionada ventaja inicial, la tortuga habrá recorrido otra porción, aunque más pequeña. Cuando Aquiles haya llegado a recorrer esta última porción de camino, la tortuga habrá avanzado otra porción más pequeña, y así la tortuga llevará siempre la ventaja hasta en espacios infinitamente pequeños, con lo cual, Aquiles no podrá alcanzarla nunca.


Hola Chatran :

Hay algo que es muy obvio: congelaste el tiempo, vale decir que al subdividir en tramos mas chicos cada vez, estas considerando intervalos de
tiempo cada vez menores, y por ende nunca llega el instante "t" en que la tortuga es superada.
En tu analisis, involuntariamente asignas intuitivamente tiempos iguales a cada intervalo, sin embargo el tiempo tambien se va haciendo mas chico igual que las distancias recorridas, de modo que pensandolo asi, tampoco llegas nunca ,en tu reloj, a dicho instante t.
Mentalmente estas haciendo una "camara lenta" que cada vez va mas despacio, y dicho evento nunca llega.

Un saludo
Juan Carlos

[polonio]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aclarando lo anterior, queria decir que es como una carrera por mitades. Lo que pasa es que éste y otros asunntos me tienen un poco molesto, ya que creo que hay cosas más serias de las que ocuparse.
No hay misterio, ni paradoja alguna; el misterio está en el sofista que fue Zenón y en la cara dura que tenía.
La paradoja que plantea no es una carrera, (y él debía saberlo) ya que Aquiles se detiene cada vez que llega a la posición en la que estaba la tortuga cuando él inicia cada nuevo tramo.
Si la tortuga no se detiene y Aquiles sí, ¿Donde está el problema taaaan dificil de resolver en siglos?.
No hay carrera alguna, y si no hay carrera, no hay competición entre desplazamientos simultáneos, ya que Aquiles se ve obligado a detenerse un número infinito de veces, mientras la tortuga no se detiene nunca.

Pues siento decir que te equivocas. Zenón no para ni hace arrancar a nadie infinitas veces ni nada de eso. Te haces un lío de cuidado y puedes liar a otros en el foro.

La solución de la paradoja es la que menciona alespa07: una serie de infinitos términos puede converger y dar una suma finita, cosa que no contemplaba Zenón.

[Angelucho]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aclarando lo anterior, queria decir que es como una carrera por mitades. Lo que pasa es que éste y otros asunntos me tienen un poco molesto, ya que creo que hay cosas más serias de las que ocuparse.
No hay misterio, ni paradoja alguna; el misterio está en el sofista que fue Zenón y en la cara dura que tenía.
La paradoja que plantea no es una carrera, (y él debía saberlo) ya que Aquiles se detiene cada vez que llega a la posición en la que estaba la tortuga cuando él inicia cada nuevo tramo.
Si la tortuga no se detiene y Aquiles sí, ¿Donde está el problema taaaan dificil de resolver en siglos?.
No hay carrera alguna, y si no hay carrera, no hay competición entre desplazamientos simultáneos, ya que Aquiles se ve obligado a detenerse un número infinito de veces, mientras la tortuga no se detiene nunca.

[Angelucho]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Esta paradoja tiene una trampa.

"La paradoja sería cierta si fuese una carrera a realizar por mitades, Zenón la plantea y aunque no lo expone directamente, ese planteamiento es el de multiples carreras que se han de realizar cada vez que se recorra la mitad de lo que queda hasta llegar a la meta"

En ese caso es completamente cierto que Aquiles nunca alcanzará a la tortura, con lo que creo que no hay más paradoja ni más "zarandajas"

[alespa07]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Digamos que Aquiles camina a 10 m/s y la tortuga a 5 m/s. Matemáticamente para que Aquiles adelantara tendría que recorrer primero 1/2 del tramo realizado por la tortuga para llegar a donde ésta estaba antes, una vez que hubiera llegado a ese punto tendría que recorrer 1/4 para volver a realizar lo mismo, luego 1/8, y así sucesivamente.

Se supone que esto se puede expresar de la siguiente manera: $\sum_{1}^{\infty}\frac{1}{2^x}$

Hola. En realidad la paradoja de Zénon se traduce por la serie:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{2^n}$

Que es una serie convergente cuya suma sabemos calcular perfectamente gracias a la serie geométrica. Por ende, converge absolutamente hacia 1.

La paradoja, para los griegos, no tiene sentido hoy en día. En efecto, tiene que ver con el problema del continuo y del infinito. Los griegos pensaban que era imposible sumar infinitas veces. Entonces, aún menos podían pensar que el sumar infinitos números podía proporcionar un resultado finito. Afortunadmente, sabeos hoy por hoy que se da el caso porque sabemos aprehender las nociones de continuo y de infinito.

Saludos.

[eljose]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Aunque igual no tiene mucho que ver existe una 'modificacion' de la relatividad que incluye la escala de Planck $L_p$ y su inverso que llaman 'k' de manera que la Relacion de dispersion, que relaciona la frecuencia (a altas energias) con el numero de ondas que 'caben' (y por tanto esta relacionada con la discretitud del espacio) es la siguiente

$f(\omega)= g(|k|, L_{p})+m^{2} _{0}c^{4}$

de manera que para particulas MUY energeticas, los fisicos estan intentando usar experimentos para ver si se cumple dicha relacion de dispersion para unas f y unas g dadas y conocidas de manera que se pueda verificar si el espacio es continuo o discreto. si algiuen sabe mas de estos experimentos pues ...

[andrewcraig]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Precisamente los matemáticos sabemos que esa suma de infinitos números positivos es un número finito, se cumplen una serie de criterios y se ha calculado el valor que toma.

Después lo que haces con la integral es calcular el area de una curva que define esa función para todos los valores reales de x entre 1 e infinito, cosa que no tiene nada que ver con el problema que se trata de una suma de infinitos términos donde la x es siempre entera.

No hace falta "cuantificar" el problema, no existe tal paradoja, está totalmente superada

[pod]

Re: Paradoja de Zenón y longitud de Planck.

Tienes toda la razón, ya me dí cuenta. Aun así siempre hay algo que me perturba. Si en el universo todo está "cuantizado", ¿cómo podemos decir que las integrales son coherentes entonces?

Primero, por que en el universo no está todo discretizado. Sólo algunas cosas. Cuando llega a la mecánica cuántica, le parece que todo está discretizado, y empieza a exagerar discretizandolo todo... Pero no es así, cuando una magnitud en concreto es discreta, siempre hay un motivo detrás de ello. No tiene sentido discretizar por que sí.

Por ejemplo:

Es decir, la masa, que es una forma condensada de energía, está cuantizada pues la energía viene en cuantos.

Hay sistemas en que la energía es discreta, y en otros sistemas en que no. Por ejemplo, un electrón en un átomo de hidrógeno tiene ciertos niveles energéticos discretos. Pero un electrón libre puede tener cualquier energía que quieras, sin discretizar.

Hay un teorema que explica bajo que condiciones la energía es discreta. Básicamente, será discreta en cualquier sistema confinado.

Por lo general, la masa de una partícula es una cantidad fija (la energía necesaria para crearla en reposo). No es discreta ni deja de serlo: es un valor fijo.

La longitud está también cuantizada en la longitud de planck, y el tiempo así también en el tiempo de planck.

Realmente no hay motivos para pensar eso. Todas las teorías maduras (que hay funcionado en experimentos) son de espacio y tiempo continuos.

En las teorías inmaduras (que están en contrucción y/o aún no han podido ser experimentadas), hay un poco de todo. Hay teorías que funcionan bien en espacio-tiempo continuo. Otras que lo tienen discreto. Y otras que son holográficas (que vienen a significar que el espacio es borroso, pero no discreto). Así que lo que pasará con esto está por ver.

Si todas las unidades que existen en la física son un derivado de estas tres primeras, ¿cómo es posible que las integrales nos funcionen tan bien a la hora de describir un universo no continuo?

1) No todas las unidades son derivadas de estas tres. El sistema internacional de unidades tiene siete unidades base, no sólo esas tres.

2) Incluso si lo que uno está estudiando es discreto, la integral siempre es una buena aproximación para tratar situaciones donde nuestra precisión no es suficiente para llegar a "resolver" los diferentes niveles discretos. Por ejemplo, en Física de Fluidos, tratamos la materia como si fuera continua, y funciona extraordinariamente bien. Aunque sabemos que el agua, por ejemplo, no es continua sino que está formada de pequeñas caras de Mikey Mouse.

Hay teoremas que te permiten calcular el error que cometes al aproximar un sumatorio por una integral.

yo sé, eso es lo bello de la paradoja. Un enunciado totalmente lógico (o aparentemente) que aparentemente contradice nuestra experiencia más directa. El quid de la cuestión es buscar la explicación, por que al igual que la relatividad predecía efectos increíbles a partir de 2 simples enunciados lógicos y aun así eran coherentes, esto debe tener algun tipo de coherencia, ¿no?

Please gente, perdonen mis horrores matemáticos

Bueno, la paradoja se basa en lo siguiente: si supongo que existen distancias arbitrariamente pequeñas, entonces llego a una contradicción. Por lo tanto, no queda más remedio que el espacio sea discreto.

Ahora bien, tiempo más tarde se creó la metodología matemática para trabajar correctamente con cantidades tan pequeñas como uno quiera. Y se demostró que una suma de cantidades infinitamente pequeñas puede dar un resultado finito.

Es decir, el razonamiento base de la paradoja es falso. Si se hace correctamente, el tratar con cantidades arbitrariamente pequeñas ofrece el mismo resultado que vemos en la naturaleza: el adelantamiento es posible.

Por lo tanto, este razonamiento no sirve para decidir si el espacio-tiempo es discreto o no. Tendremos que ponernos a hacer Física en vez de pensar en tortugas para saberlo.