¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

[Stormkalt]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

¿No basta con proponer el equilibrio hidrostático, con las fuentes de energía y todo eso? Claro, hace falta una suposición sobre la ecuación de estado. Pero si no recuerdo mal (hace como siete años que cursé la introducción a la astro.), se pueden obtener buenas aproximaciones con modelos relativamente simples.

Hola pod:

¿Entonces se podría resolver el problema sin tener en cuenta las implicaciones cuánticas? No se me ocurre cómo comenzar a encararlo desde proponer el equilibrio hidrostático.

¡Saludos cordiales!

[pod]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

Hola pod:

¿Entonces se podría resolver el problema sin tener en cuenta las implicaciones cuánticas? No se me ocurre cómo comenzar a encararlo desde proponer el equilibrio hidrostático.

¡Saludos cordiales!

Se podría obtener una aproximación sin tener en cuenta la cuántica, sí. Pero la ecuación de estado también puede ser cuántica (algo más evolucionado que el gas ideal).

Si te resulta interesante, puedo intentar descifrar parte de mis apuntes de aquella asignatura (aunque creo que colgué en la web el formulario que utilicé para el examen, búscalo ). Pero tampoco puedo prometer que haya nada realmente relevante o brillante después de tanto tiempo.

[Stormkalt]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

Si te resulta interesante, puedo intentar descifrar parte de mis apuntes de aquella asignatura (aunque creo que colgué en la web el formulario que utilicé para el examen, búscalo ). Pero tampoco puedo prometer que haya nada realmente relevante o brillante después de tanto tiempo.

Muchas gracias pod. Seguro que debe haber muchas cosas relevantes y brillantes en ese trabajo tuyo.
Ya me pongo a buscar el formulario pues creo que esos apuntes me serán muy útiles.

¡Saludos cordiales!

[pod]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

Muchas gracias pod. Seguro que debe haber muchas cosas relevantes y brillantes en ese trabajo tuyo.
Ya me pongo a buscar el formulario pues creo que esos apuntes me serán muy útiles.

¡Saludos cordiales!

No es un trabajo. Son apuntes de clase, copiados de pizarra. Concretamente, el 16 - 10 - 2000. Mañana pasado hace 9 años (¡no 7! como pasa el tiempo).

Sobre cada elemento de fluido, en el equilibrio, la fuerza resultante debe ser cero. Hay dos tipos de fuerza, debida a la presión y la gravitatoria que deben compensarse. Eso da la siguiente ecuación diferencial,

$$\dfrac{\dd p}{\dd r} = - \dfrac{G M(r) \, \rho(r)}{r^2}\ ,$$

donde M(r) es la masa de gas que queda dentro de la esfera "virtual" de radio r; y $\rho(r)$ la densidad en ese punto. Por lo tanto,

$$M(r) = 4\pi \int_0^r \!\dd r\ r^2 \rho(r) \ .$$

Por definición, la presión en la superfície de la estrella se hace cero. Esto nos permite encontrar la presión en función de la integral

$$p(r) = G \int_r^R \!\dd r\ \dfrac{M(r) \rho(r)}{r^2}\ .$$

Ahora bien, no podemos hacer nada más sin poner una hipótesis sobre la ecuación de estado del gas. La hipótesis más sencilla (para nada realista, pero bueno) es suponer que la densidad de la estrella es constante y cumple la ecuación del gas ideal. En este caso, sale

$$M(r) = \dfrac43 \pi r^3 \rho = M \left( \dfrac{r}{R} \right)^{\!\!3}\ .$$

En estas condiciones,

$$p_c = \dfrac{2\pi G}{3} \rho^2 R^2 \approx 10^{14}\mathrm{Pa}\ .$$

Donde hemos usado que aproximadamente, para el sol, $R = 7 \cdot 10^8 \mathrm{m}$, $M = 2\cdots 10^{30}\mathrm{kg}$; lo que daría $\rho = 1392 \mathrm{kg\, m^{-3}}$. La ecuación del gas ideal es

$$p V = N k T\ ,$$

donde esa N es el número de partículas y k es la constante de boltzman. Ojo, muchas veces se escribe en función del número de mols, $n = N/N_A$, entonces hay que poner la constante de los gases ideales, $R = N_A k$. Por lo tanto,

$$T = \frac{p V}{N k} \ .$$

El número de partículas está relacionado con la masa media de las partículas, que es $\mu = 0.6$ veces la masa del átomos de hidrogeno (ya que hay muchos electrones, que son mucho más ligeros; pero también algunos núcleos más pesados). Por lo tanto,

$$N = \frac M{\mu m_h} = \dfrac{\rho V}{\mu m_h}\ .$$

Poniendo todo esto junto,

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Sale algo menos de la mitad de la temperatura real. No está mal para una aproximación tan burda.

Como dije, hay mejores ecuaciones de estado para condiciones donde la cuántica es importante. Por ejemplo, un gas no relativista de fermiones (o sea, teniendo en cuenta el principio de Pauli),

$$p = \frac1{20} \left( \dfrac{3}{\pi} \right)^{2/3} \dfrac{h^2}{m} \left( \dfrac N V \right)^{5/3}\ .$$

Hay otra ecuación de estado que tiene en cuenta la relatividad (cuando la velocidad media es muy elevada, i.e, alta temperatura), que es similar básicamente cambiando algunas constantes y la potencia de N/V a 4/3. Pero se puede demostrar que en esta ecuación de estado el equilibrio hidróstatico (la primera ecuación de este post) no se puede cumplir; de hecho, gracias a esto se producen los agujeros negros, a altas temperaturas la ecuación de estado es tal que la presión no crece lo suficiente para compensar la gravedad.

[Stormkalt]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

Hola pod:

¡Completamente entendible! Muy útil para exponer en cualquier debate o clase. Y el resultado con un error muy bajo dado las tremendas suposiciones que hay que hacer.

¡Saludos cordiales!

[pod]

Re: ¿Cálculo de la temperatura del núcleo solar?

Hola pod:

¡Completamente entendible! Muy útil para exponer en cualquier debate o clase. Y el resultado con un error muy bajo dado las tremendas suposiciones que hay que hacer.

¡Saludos cordiales!

Claro, de eso se trata. Es un "toy-model" que sirve para entender como pasan las cosas. Y de hecho, es remarcable que el resultado sea tan bueno, por que la densidad del sol no es constante ni por asomo; a 0.1R la densidad es diez mil veces mayor que en 0.9R. De hecho, el 99% de la masa está dentro de 0.8R aproximadamente.