1r ciclo Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

[elfio]

El enunciado dice así:

Un ciclo diésel está constituido por dos adiabáticas, una isóbara y una isócora. Calcule el rendimiento del ciclo en función de la relación de compresión, $x=V_a/V_b$ y de la relación de expansión isobárica, $z=V_c/V_b$ $(V_b < V_c < V_a = V_d)$. Suponga que la sustancia que realiza el ciclo es un gas ideal. R/ $\eta=1-(z^\gamma -1)/(\gamma (z-1)x^{\gamma -1})$

Empiezo a plantear las cosas que necesito para calcular el rendimiento $\eta$:
$\eta = 1- |Q_c/Q_a|$

(Las ##ecuaciones## son pequeños desarrollos que hago de las relaciones propias de los procesos adiabáticos, isócoro e isóbaro para poder sustituir directamente. Los pongo para hacer más fácil seguir el desarrollo)

Necesito calcular tanto el calor cedido $(Q_c)$ como el calor absorbido $(Q_a)$. Para ello me valdré de la isobára, donde $\Delta H=Q$ y de la isócora, donde $W=0$.

$<br /> Q_a= \Delta H = n C_p \Delta T = n C_p (T_c - T_b) =<br />$

Aquí aplico la siguiente relación:

##$T_b/V_b = T_c/ V_c$ -> $T_c=T_b V_c/V_b$##

Sustituyo y saco como factor común $T_b$

$<br /> = n C_p (T_b V_c/V_b - T_b) =<br />$

Sustituyo la relación de z y me queda:

$= n C_p T_b (1- z)$

---
Y el calor cedido consigo ponerlo así:

Parto del 1er Principio:

$\Delta U = Q - W$

Como $W=0$, me queda:

$Q_c = \Delta U = n C_v \Delta T = n C_v (T_a - T_d)$

Ahora, lo que hice fue desarrollar el incremento de temperatura para ponerlo en función de $x$ ó $z$. Este es el desarrollo:

##$P_d/T_d = P_a/T_a$ -> $T_a = T_d P_a/P_d$##


$(T_a - T_d) = (T_d P_a/P_d - T_d)= T_d(P_a/P_d -1) =$


##$P_b/P_a = (V_a/V_b)^\gamma = x^\gamma$ -> $P_a = P_b / x^\gamma$ ##

Reordeno los términos para que me quede $1/P_d$:

$=T_d[(P_b/x^\gamma)/P_d -1] = T_d [(P_b/x^\gamma)(1/P_d)-1]=$

Y ahora voy a sustituirlo:

##$P_c/P_d = (V_d/V_c)^\gamma = (x/z)^\gamma$ -> $1/P_d = (x/z)^\gamma /P_c$##

Que sustituido en el desarrollo me queda:

$=T_d [P_b x^\gamma /x^\gamma z^\gamma P_c -1]=$

Elimino tanto en el numerador como en el denominador x^\gamma y las presiones, ya que si se observa el ciclo son la misma. Nos queda:

$=T_d(1/z^\gamma -1)$

Volvemos a donde lo dejamos con el calor cedido:

$Q_c = \Delta U = n C_v \Delta T = n C_v (T_a - T_d)$

Y sustituimos lo que hemos calculado:

$= n C_v T_d (1/z^\gamma -1)$

Antes de llegar aquí, tenía la esperanza de que me quedaran las mismas temperaturas y que al hacer el cociente se me fueran, o que pudiera relacionarlas de alguna manera con las ecuaciones de las adiabáticas... pero no fue así.

Al final me queda esto: MAL

$\eta = 1- |Q_c/Q_a|= 1- |n C_p T_b (1+ z)/n C_v T_d (1/z^\gamma -1)|=$

$= 1- \gamma (T_b/T_c) (1+z^{\gamma +1})/(1-z^\gamma)$

SIGO MÁS ABAJO

Lo cual no es el resultado, aunque se parece un poco

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Me cuesta muchísimo trabajo... no se si es que me estoy complicando la vida y hay una forma más fácil o que tiene que ser necesariamente así. El cálculo de $Q_c$ me ocupa mucho y soy muy lento escribiendo aquí desarrollos... si lo creéis necesario lo transcribo en cuanto tenga tiempo. He utilizado las relaciones de $PV^\gamma = cte$ para relacionar los puntos que unen las adiabáticas y las particularizaciones de la ecuación de estado del gas ideal para la isobara y la isócora.

->Mi problema es principalmente que me cuesta mucho lidiar con la isócora (particularmente en este problema, pero también tengo problemas en general con los ciclos así que creo que directamente creo que me falta algo por saber sobre ciclos que me lo complica todo más de la cuenta) y aun ahora, que creo que lo he conseguido, no me queda el resultado como debería.

También añadir, que el resultado que me debería salir es el que pone mi profesor en el boletín, pero que no sería la primera vez que uno de esos resultados está equivocado...

[KyAlOx]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Desde el primer cuatrimestre no hago un ciclo en condiciones, así que no estoy en forma del todo, pero bueno, a ver si te puedo ayudar un poco...de entrada decirte que es normal que te cueste horrores hacer las cuentas. Esos ciclos en los que te piden el rendimiento en función de variables específicas (volúmenes, en este caso) son realmente cansinos a la hora de jugar con las igualdades. En cualquier caso, al final se reduce a eso: a jugar con las condiciones que tienes (adiabáticas, isotermas, etc) para quitarte las variables que no te interesan.

$<br /> Q_a= \Delta H = n c_p \Delta T = R n (c^* +1) (T_c - T_b) = R n (c^* +1) (T_b V_c/V_b + T_b) =<br />$
$= R n (c^* +1) T_b (1+ z)$

Por ejemplo, en la cita que te pongo, y después, dejas cosas en función de la temperatura. Ten en cuenta que te piden todo en función de los cocientes de los volúmenes, así que lo primero que tienes que hacer nada más conseguir un resultado es dejar todo en función de volúmenes.

Por otro lado...bueno, las horas no son las mejores para hacer cuentas, pero no termino de ver cómo has sacado el calor absorbido. A mí me sale:

$Q_a=nc_p\Delta T=(c^*+1)nR(T_c-T_b)=(c^*+1)(P_cV_c-P_bV_b)=(c^*+1)P_b(V_c-V_b)$

(Es fácil ver que si razonas diciendo que el calor es la variación de energía interna menos el trabajo sale lo mismo).

A partir de ahí, es cuestión de ponerse a hacer sustituciones y dejar todo en función de las V que te piden, a través de las adiabáticas. Ojo que son adiabáticas y no isotermas, así que tienes la $\gamma$ por ahí pululando.

Así que mi consejo sería que repases con calma las cuentas, y en cuanto estés convencido de que están bien (como te digo, razonando lo mismo desde otro punto de vista para comprobarlo), transforma enseguida todo a volúmenes. Si llegas a la expresión final puesto con temperaturas de por medio, lo más seguro es que te líes y lo hagas mal, lo digo por experiencia xD

Como este tienes otros ciclos más que el proceso es muy parecido (y tedioso por tanto xD), pero con otras variables...ciclo de Otto (dos adiabáticas y dos isocoras), ciclo de Brayton/Joule (dos adiabáticas+dos isobaras)...es fácil encontrar por ahí los rendimientos, y son un buen entrenamiento, si tu profesor es dado a ese tipo de problemas xD.

K.

[Saplaya]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Si, como dice KyAlOx, es tedioso, pero es el camino que hay que seguir.

Tan solo un detalle, por simplificar un poco, si en los calores pones $c_p$ y $c_v$ directamente, al dividirlos obtienes el $\gamma$ del denominador y te evitas ir arrastrando el $R$, el $c^*$ y todo eso.

saludos

[elfio]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Ya he completado los desarrollos y he tenido en cuenta lo que comentas Saplaya.

A ver si así me podéis echar una manita.

¡Un saludo!

[Saplaya]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Hola elfio. El proceso que sigues es correcto, pero cometes varios errores matemáticos por el camino:

En el cálculo de $Q_a$ te ha bailado un signo.

Al calcular el rendimiento has dividido al revés los calores.

Al final has realizado el producto $z^\gamma(1+z)=(1+z^{(\gamma+1)})$ cuyo resultado no es correcto -además solventando el primer error queda en el denominador $(1-z)$ en lugar de $(1+z)$-

En cualquier caso aún te quedará deshacerte de

$$\frac{T_d}{T_b}$$

para ello haz

$$\frac{T_d}{T_b}=\frac{T_d}{T_c}\frac{T_c}{T_b}$$

y opera con ello.

Si te sigue sin dar el resultado, escríbelo y le echamos un vistazo. Una cosa, como el desarrollo es largo, conviene que numeres los pasos, así resulta más fácil comentar.

Saludos

[elfio]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Tengo la sensación de que la estoy liando un montón editando el mensaje principal y tal...

He corregido el signo que bailaba y he marcado como malo el cálculo del rendimiento (el cociente de los calores). Paso a hacerlo ahora que ya me sale

Partimos de los dos calores:

$Q_c = n C_v T_d (z^-\gamma -1)$ (1)

$Q_a = n C_p T_b (1-z)$ (2)

El cálculo del rendimiento sería:

$\eta = 1- |Q_c/Q_a|$

Sustituimos los calores (corrigiendo el error que cometí antes):

$\eta = 1 - n C_v T_d (z^-\gamma -1)/C_p T_b (1-z) =$

Simplifico el cociente:

$= 1 - (T_d/T_b)(1-z^\gamma / \gamma z^\gamma (1-z))$

Hasta aquí es lo que tenía mal hecho, corregido. Ahora me dispongo a trabajar con el cociente de temperaturas tal y como me has dicho.

Para empezar, voy a utilizar las siguientes relaciones:

$T_b /T_c = V_b / V_c$ (3)

$T_c/T_d = (V_d/V_c)^{\gamma -1}$ (4)

El punto de partida sería:

$T_d/T_b = T_d T_c / T_c T_d =$

Aplico (3) directamente y (4) invertido y me queda:

$= (V_c / V_b) (V_d /V_c)^{1-\gamma} =$

Que sustituyendo las relaciones de compresión y expansión se queda en:

$= z (x/z)^{1-\gamma} = z^\gamma / x^{\gamma -1}$

Ahora que ya tengo el cociente de temperaturas en función de las relaciones de compresión y expansión, voy a sustituirlo en el rendimiento.

$\eta = 1 - (z^\gamma / x^{\gamma -1})(1-z^\gamma / \gamma z^\gamma (1-z))=$

Simplemente queda cancelar $z^\gamma$ del numerador y del denominador y ya me queda el resultado esperado:

$\eta = 1- (1-z^\gamma / x^{\gamma -1} \gamma (1-z))$

En la respuesta del enunciado, lo único que hay cambiado es un signo en numerador y denominador, que se arregla multiplicando en numerador y denominador por -1, pero es igualmente correcto.

Bueno, pues eso es todo. Muchas gracias a todos, especialmente a Saplaya.

¡Un saludo!

[Saplaya]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Pues nada, asunto resuelto

Un detalle sobre LaTex (por si te interesa), si quieres que te aparezca el número de la ecuación a la derecha, al final de la línea (así se ve mejor), escribes por ejemplo $[$TEX=3$][$/TEX$]$ y te aparecerá la ecuación centrada y el (3) al final de la línea. Ejemplo:

$$q_a=c_v \Delta T$$

Saludos

[elfio]

Re: Ciclo Diesel. No se me ocurre cómo seguir... INCOMPLETO

Gracias por el apunte!