Compresión adiabática irreversible (¿o da igual?)

[Saplaya]

Re: Compresión adiabática irreversible (¿o da igual?)

Hola Caifan.

Si el proceso es adiabático y reversible y por tanto $p=P_{ex}$, entonces $P_{ex}$ no puede ser constante tal y como indicas en el enunciado. Seguramente en el enunciado original habrá algún matiz por el que se concluya que $P_{ex}$ no es constante.

Si consideras $P_{ex}$ constante, entonces tu formulación es correcta, aunque debes haber cometido algún error al operar ya que si la presión final es 10 veces la inicial y la temperatura final que obtienes es más de 10 veces la inicial, esto exige al aplicar la ecuación de los gases, que el volumen final sea mayor que el inicial, lo cual no puede ser ya que estamos ante una compresión.

Saludos

[Caifan]

Buenas noches. Pense en escribir esto en el foro de Química Física, pero al final me decidi por este. Resulta que tuve un examen de Fisicoquímica I, en general fácil. Pero uno de los problemas, el unico que no conteste correctamente (a juicio de la Doctora) me sembro una gran duda. No recuerdo muy bien los detalles, pero va mas o menos asi:

Un mol de un gas ideal monoatómico, con $C_{V,m} = \frac{3}{2} R$, se comprime adiabáticamente, desde una presion $p_1 = {1 }\, \textrm{bar}$ y una temperatura $T_1 = {298.15}\, \textrm{K}$, usando una presion externa constante $P_{ex} = {10}\, \textrm{bar}$, hasta $p_2 = P_{ex}$.

Calcule $V_1$ y $V_2$, asi como $T_2$.
Calcule $\Delta U$, $\Delta H$, $W$ y $\Delta S$ para el sistema.

Con $V_1$ y $\Delta S$ no hubo problema. El problema viene al calcular $V_2$. Segun yo esto es lo que sucede:

Estamos frente a un proceso adiabático, por tanto $Q = 0$, luego $\Delta U = W$ (tomando la convención $\Delta U = Q + W$). Sabemos que:

$n C_{V,m} = \frac{{\partial U}}{{\partial T}} \Longrightarrow{} \Delta U = n \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} C_{V,m} dT$

y ademas:

$\delta W = - P_{ex} dV \Longrightarrow W = -\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P_{ex} dV$

Por tanto, tenemos que:

$n \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} C_{V,m} dT = -\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P_{ex} dV$

Considerando que $C_{V,m}$ y $P_{ex}$ son constantes, integramos:

$n C_{V,m} \Delta T = - P_{ex} \Delta V$

Reordenando:

$n C_{V,m} T_2 + P_{ex} V_2 = n C_{V,m} T_1 + P_{ex}V_1$

Por la ley del gas ideal:

$\frac{n C_{V,m} P_2}{n R} V_2 + P_{ex} V_2 = n C_{V,m} T_1 + P_{ex}V_1$

Resolviendo para $V_2$ y considerando que $P_2 = P_{ex}$:

$V_2 = \frac{n C_{V,m} T_1 + P_{ex}V_1}{P_{ex}\left(\frac{C_{V,m}}{R} + 1\right)}$

Calculamos $V_2$ con esta ecuacion, y a partir de ahi calculamos $T_2$:

$V_2 = 0.02850641965 \, m^3}$
$T_2 = 3428.725000 \, \textrm{K}$

Con esto calculamos las cantidades que nos piden de manera sencilla:

$W = \Delta U = -P_{ex} \Delta V$
$\Delta H = \Delta U + \Delta (pV)$

Lo que la Dra. comenta, es que existen unas ecuaciones en las cuales aparece el cociente de las capacidades caloríficas, $\gamma = \frac {C_P}{C_V}$, que se deducen a partir de:

$n \displaystyle\int_{T_1}^{T_2} C_{V,m} dT = -\displaystyle\int_{V_1}^{V_2} P_{ex} dV$

Pero a diferencia del tratamiento que yo le di, en esa deduccion se considera que el proceso es reversible, osea que $p = P_{ex}$. Se sustituye esto en la ecuacion, y ademas $p= \frac {nRT}{V}$. Se separan variables, se integra, simplificamos y llegamos a:

$T_1 {V_1}^{\gamma -1} = T_2 {V_2}^{\gamma - 1}$

Con la ecuacion general del estado gaseoso se obtiene que:

$p_1 {V_1}^ {\gamma} = p_2 {V_2}^ {\gamma}$

Calculando $V_2$ y $T_2$ usando esta ecuacion:

$V_2 = 0.02154434688 \, m^3}$

$T_2 = 2591.333519 \, \textrm{K}$

Dichos resultados no concuerdan entre si, y la Dra. sostiene que las ecuaciones con $\gamma$ tambien aplican para procesos adiabáticos irreversibles (de hecho simplifican mucho el problema, ya que se supone que llevabamos un ecuacionario donde venian las ecuaciones de $\gamma$, yo no me entere del ecuacionario hasta que vi que todos tenian unas hojas con bastantes ecuaciones jaja) . Dicha calificacion ya esta en el kardex (fue una segunda oportunidad, examen extraordinario, lo que resulta de no ir a clases con profesores que resultan aburridos ) y es inamovible, pero eso no me importa, lo que me interesa es saber cual es el razonamiento correcto.

No me había dado cuenta, pero me alarge mucho. A los que me lean, ¡muchas gracias!