problema de difusion de calor

[wuwei]

Wenas a tod@s,

tengo que presentar un trabajo sobre diferencias finitas y resolver un problema de difusion de calor mediante meteodos numericos. Ahora bien, alguien me podria ayudar con la resolucion analitica del problema... no encuentro donde hallar la solucion...

tengo la siguiente ecuacion: Txx+Tzz=-B

donde Txx es la segunda derivada parcial de la temperatura respecto la x y Tzz respecto la z. B es una constante y es positiva. La condiciones de contorno son:

T(x,z=0)=0
T(x=0,z)=Ta (donde Ta es una cte)
Tz(z=0)=-Q0 (donde Q0 es una cte , y Tz es la primera derivada de la temperatura respecto a z)
Tx(x=0)=0 (donde Tx es la primera dericada de la temperatura respecto la x)

Muchas gracias, aunque solo sea donde poder encontrar la solucion.... gracias!!!

(la intento solucionar, pero al aplicar la CC no consigo nada claro...)

[pod]

Re: problema de difusion de calor

La condiciones de contorno son:

T(x,z=0)=0
T(x=0,z)=Ta (donde Ta es una cte)
Tz(z=0)=-Q0 (donde Q0 es una cte , y Tz es la primera derivada de la temperatura respecto a z)
Tx(x=0)=0 (donde Tx es la primera dericada de la temperatura respecto la x)

(la intento solucionar, pero al aplicar la CC no consigo nada claro...)

Tras un vistazo rápido, supongo que las dificultades vienen de que las condiciones no hacen que el operador de Laplace sea hermítico (además de que no son consistentes en x = z = 0, salvo que Ta = 0... pero eso no creo que sea un problema ya que es un conjunto de medida nula). Puedes probar, por ejemplo, con el cambio

$\tilde T(x,y) = T(x,y) - z T_a \ ,$

con este cambio, las condiciones de contorno para $\tilde T$ sí son homogéneas. Además, es un cambio lineal, por lo que las ecuación no cambia.


EDIT: ese cambio está obviamente mal Pero lo voy a dejar por si te sirve de inspiración... tendrás que buscar uno tal que $\tilde T(0,z) = 0$; quizá $\tilde T = z (T - T_a)$, aunque este no es lineal.

[carroza]

Re: problema de difusion de calor

Wenas a tod@s,

tengo que presentar un trabajo sobre diferencias finitas y resolver un problema de difusion de calor mediante meteodos numericos. Ahora bien, alguien me podria ayudar con la resolucion analitica del problema... no encuentro donde hallar la solucion...

tengo la siguiente ecuacion: Txx+Tzz=-B

donde Txx es la segunda derivada parcial de la temperatura respecto la x y Tzz respecto la z. B es una constante y es positiva. La condiciones de contorno son:

T(x,z=0)=0
T(x=0,z)=Ta (donde Ta es una cte)
Tz(z=0)=-Q0 (donde Q0 es una cte , y Tz es la primera derivada de la temperatura respecto a z)
Tx(x=0)=0 (donde Tx es la primera dericada de la temperatura respecto la x)

Bueno, esto es un problema tipico de ecuaciones diferenciales inhomogéneas. La solucion general es la solucion general de la ecuacion homogenea (Txx+Tzz=0), mas una solucion particular de la inhomogenea
(Txx+Tzz=-B).

La solucion general de la homogenea es (creo):

$f_h(x,z)=Asen(ax)senh(az) + Bsen(ax)cosh(ax) + Ccos(ax)senh(az) +<br /> D cos(ax)cosh(az) + ...$

(los puntos son terminos cambiando x y z. Los valores de A,B,C,D y a son arbitrarios.)

Una solucion particular de la homogenea es
$f_i(x,z)=-B/4(x^2+z^2)$

Creo que con esto tienes suficiente, para aplicar tus condiciones de contorno.

De todas formas, tus dos primeras condiciones parecen incompatibles, ya que en x=z=0, o T=0, o T=Ta. (a no ser que Ta=0).