máxima intensidad cable

[alefriz]

Hola,

Estoy con un problema y necesito alguna ayuda porque no me da el resultado que se supone debe dar:
"Determinar la corriente máxima que puede circular por un hilo conductor desnudo de aluminio de conductividad térmica $k$, de diámetro $D$, sin que su temperatura supere $T_{max}$. El hilo se supone colocado en aire, con una temperatura ambiental $T_{\infty}$, siendo el coeficiente convectivo-radiativo $h$. La resistencia eléctrica del hilo conductor por metro lineal vale $R$"

Lo primero que hice fue calcular la distribución de temperaturas en el hilo, en función del radio $T = T(r)$ e impongo la condición de temperatura máxima,... pero me una cosa demasiado rara por lo que fijo que algo hago mal. ¿Alguna ayuda?

[Rolo]

Re: máxima intensidad cable

A ver... lo que yo intentaría hacer es lo siguiente:
Sobre la solución de la ecuación del calor para la simetría cilíndrica impondría la condición sobre T(r) tal que: T(0) = Tmax. Me parece claro que el máximo de temperatura se va a dar en el medio del cable. Con esto hallo un vínculo entre Tmax y T(D).
Planteando el primer principio al conductor:
Qh = h(T(D) - Tinf) = RI² y con la relación entre T(D) y Tmax despejo Imax...
Es parecido a lo que planteaste vos??? Tiro ideas, se me ocurre que así se puede resolver... Pero no hice las cuentitas !
Saludos,
Rolo

PD: Para un cable real creo que las conductividades térmicas son muy altas, y me parece que no es necesario tanto detalle. Para un cable real creo que la suposición de que la temperatura es homogénea en el cable no estaría tan mal...

[alefriz]

Re: máxima intensidad cable

A ver... lo que yo intentaría hacer es lo siguiente:
Sobre la solución de la ecuación del calor para la simetría cilíndrica impondría la condición sobre T(r) tal que: T(0) = Tmax. Me parece claro que el máximo de temperatura se va a dar en el medio del cable. Con esto hallo un vínculo entre Tmax y T(D).
Planteando el primer principio al conductor:
Qh = h(T(D) - Tinf) = RI² y con la relación entre T(D) y Tmax despejo Imax...
Es parecido a lo que planteaste vos??? Tiro ideas, se me ocurre que así se puede resolver... Pero no hice las cuentitas !
Saludos,
Rolo

PD: Para un cable real creo que las conductividades térmicas son muy altas, y me parece que no es necesario tanto detalle. Para un cable real creo que la suposición de que la temperatura es homogénea en el cable no estaría tan mal...

Si, algo así es lo que he planteado, pero también he considerado que el cable genera calor de forma continua al pasar la corriente por él. Puede que me haya equivocado al integrar para sacar el perfil de temperaturas...

[Rolo]

Re: máxima intensidad cable

Si, algo así es lo que he planteado, pero también he considerado que el cable genera calor de forma continua al pasar la corriente por él. Puede que me haya equivocado al integrar para sacar el perfil de temperaturas...

Bien, estuve vichando unos apuntes que tenía de cuando estuve enfrentado a problemas similares... Un par de comentarios nomás que quiza ayuden:

No me queda del todo claro que debas incluir el termino de calor asociado al pasaje de corriente en el cable, es decir, en un conductor la corriente circula por el exterior. A pesar de eso, estoy de acuerdo contigo que parece lo más coherente, si bien no tengo un veredicto final. Asumiendo esto, la ecuación del calor para el caso estacionario quedaría más o menos así:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo cual tiene solución para el caso límite en que en el centro está a Tmax y con una corriente Imax circulando. Imponiendo que T(0) = Tmax != infinito (más que deseable!)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo último que faltaría plantear es la condición de borde a la distancia D:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Evaluado en r=D.

Bueno, ahora si es una respuesta un poco más formal... Me queda eso de la corriente por la cara exterior, pero debe ser cualquiera... En principio tiene pinta de ser así el ejericio, pero estoy medio oxidado, hace tiempo que no veia cosas de estas...
Saludos,
Rolo

[pod]

Re: máxima intensidad cable

No me queda del todo claro que debas incluir el termino de calor asociado al pasaje de corriente en el cable, es decir, en un conductor la corriente circula por el exterior.

Supongo que dices eso por el hecho que la carga neta, en equilibrio, en un conductor siempre se sitúa en la superficie. Pero una corriente no es carga neta (los cables suelen ser neutros; la carga de conducción se ve compensada por la carga de los núcleos...).

La conducción se hace aprovechando toda la sección del conductor. Un indicio de ello lo tienes en que la resistencia eléctrica disminuye en proporción inversa al área de dicha sección. Si fuera sólo por la superficie del conductor, entonces sería inversamente proporcional al radio del cable.

[Rolo]

Re: máxima intensidad cable

Supongo que dices eso por el hecho que la carga neta, en equilibrio, en un conductor siempre se sitúa en la superficie. Pero una corriente no es carga neta (los cables suelen ser neutros; la carga de conducción se ve compensada por la carga de los núcleos...).

La conducción se hace aprovechando toda la sección del conductor. Un indicio de ello lo tienes en que la resistencia eléctrica disminuye en proporción inversa al área de dicha sección. Si fuera sólo por la superficie del conductor, entonces sería inversamente proporcional al radio del cable.

Auch! Ya me parecía que no era del todo correcto, podía haberme ahorrado el comentario... Creo que debería hacer un pequeño repaso de electro antes de seguir opinando con lo que recuerdo...
Por lo menos ahora me parece mejor resuelto el ejercicio, que si bien me parecía que era así, no cerraba esto último...
Saludos,
Rolo

PD: Estará bien resuelto?

[alefriz]

Re: máxima intensidad cable

Bien, estuve vichando unos apuntes que tenía de cuando estuve enfrentado a problemas similares... Un par de comentarios nomás que quiza ayuden:

No me queda del todo claro que debas incluir el termino de calor asociado al pasaje de corriente en el cable, es decir, en un conductor la corriente circula por el exterior. A pesar de eso, estoy de acuerdo contigo que parece lo más coherente, si bien no tengo un veredicto final. Asumiendo esto, la ecuación del calor para el caso estacionario quedaría más o menos así:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo cual tiene solución para el caso límite en que en el centro está a Tmax y con una corriente Imax circulando. Imponiendo que T(0) = Tmax != infinito (más que deseable!)
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Lo último que faltaría plantear es la condición de borde a la distancia D:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Evaluado en r=D.

Bueno, ahora si es una respuesta un poco más formal... Me queda eso de la corriente por la cara exterior, pero debe ser cualquiera... En principio tiene pinta de ser así el ejericio, pero estoy medio oxidado, hace tiempo que no veia cosas de estas...
Saludos,
Rolo

Buenas,

Pongo lo que hice, que es algo diferente de lo que tu propones, asi que no se cual de los dos caminos es el correcto:

Partiendo de la expresión diferencial: $\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial T}{\partial r}) + \frac{\Phi}{k} = 0$, obtengo:

$T(r) = T_{\infty} + \frac{\Phi D}{4 h}(1+\frac{D h}{4 k}-\frac{r^2 h}{2 k r_0})$ , siendo $\Phi$ la generación interna de calor por unidad de volumen (W/m3)

La temperatura máxima la obtengo derivando la expresión anterior y particularizando para $r=0$:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

De donde despejo el valor de la intensidad $I$, que será la máxima por obligar a que la temperatura sea máxima. ¿Es esto correcto?

$I_{max} = \sqrt{\pi D h (\frac{T_{max} - T_{\infty}}{\frac{R}{L}(1+\frac{D h}{4 k})})}$

[Rolo]

Re: máxima intensidad cable

No tenemos a nadie que haga de mediador....
No es que no me importe develar cual de los dos planteos es el correcto, pero es que estoy complicado por estos días y no he podido chequear bien los pasos de ambos planteos. Dado que llegamos a cosas distintas es coherente pensar que alguno no es del todo correcto, pero me inclino a pensar que la falla es algo sutil... Pero insisto que no los miré mucho...
Cuando tenga un tiempo los reviso!
Saludos,
Rolo