Ejercicio del Resnick

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

Mas, arivasm, yo encuentro en el razonamiento que haces en este post #10 dos problemas: uno,que haya que partir de una velocidad del pistón constante "a priori", y segundo, que, sin otra justificación (mejor dicho, yo no encuentro justificación), podamos utilizar una ecuación de equilibrio termodinámico en un proceso que yo veo necesariamente un proceso REAL.

En mi opinión el problema no tiene una solución única. Lo de buscar la correspondiente a una velocidad constante es simplemente por "años de experiencia como alumno" a la hora de interpretar el enunciado. Es decir, algo así como "quién ha escrito este enunciado espera que se busque una solución con velocidad constante, pues sino no habría escrito 'calcular LA velocidad de' sino algo como 'encontrar la expresión de la velocidad...'".

Sobre la contradicción que señalas en segundo lugar, estoy completamente de acuerdo: si el proceso cuasiestático las evoluciones deberán ser tan lentas como para que la respuesta fuese una solemne tontería "$v \approx 0$". Con una velocidad finita el sistema no atravesará una sucesión de estados de equilibrio.

Ahora bien, cuando decimos que el proceso debe ser lento falta decir en comparación con qué. En tal sentido entiendo que la referencia es la velocidad media de las partículas del gas. Aunque no se menciona el gas en cuestión, está claro que 27 cm/s es claramente inferior a dicho valor para las temperaturas usuales, de manera que no es una mala aproximación considerar que el sistema está constantemente en equilibrio.

Aprovecho para comentar sobre algo que has escrito con anterioridad: ¿cómo sería el ejercicio si el pistón se moviese horizontalmente? Mi intuición me dice que entonces no será posible que el proceso sea isotérmico. Lo dejo por si una vez que quede resuelto el problema del hilo nos apetece seguir con esta variante.

Saludos!

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

No me queda claro todavía si en el ejemplo isocórico que te propuse seguís pensando lo siguiente:

Efectivamente, sería una transformación ADIABÁTICA, ISOCÓRICA Y REAL, a la que, por ser real y no a través, pues, de estados de equilibrio, no podríamos aplicar las ecuaciones de equilibrio

Creo que en el post #19 (si esta bien, cosa probable ya que no fue cuestionado) se demostró que esta afirmación esta equivocada.

En cuanto a lo siguiente:

Tendré que reflexionar más sobre ello...pero contestaré a lo que plantea Breogan sobre un proceso isobárico.

[FONT=Tahoma] Escrito por Breogan
Estamos de acuerdo, la energía interna es una función de estado, el ejemplo fue el mas sencillo que se me ocurrió.
Podes hacer los mismos razonamientos para un cilindro adiabático, con un pistón, resistencia, y considerando una presión externa constante, creo que según lo dicho por vos hasta acá este sistema tampoco podría ser cuasi-estático, ya que tendría que ser adiabático e isobárico al mismo tiempo.

[/FONT]

La situación esta de presión constante es, efectivamente, la que se da en este enunciado si la presión externa se mantiene constante. Y una evolución cuasiestática de un gas ideal que al mismo tiempo sea isoterma e isobárica, en lo que entiendo, no puede darse. Ahora bien, a efectos del cálculo, la situación es la misma que dejé explicada para la energía interna. En este caso, el calor a presión constante es igual a la variación de la entalpía que es una función de Estado y, por lo tanto, con independencia del camino, con independencia de que la evolución sea REAL o a través de estados de equilibrio, la variación de entalpía será la misma.

Acá el error es mio, no me exprese bien, no estaba hablando del problema original. Te estaba proponiendo un nuevo problema sin la restricción de que sea isotérmico, propuse analizar una evolución isobárica (no isotérmica) en un cilindro y pistón adiabáticos con una resistencia calefactora en su interior para ver si consideras que puede ser cuasi-estática.

Y por ultimo me parece que el error fundamental que cometes reside en la siguiente afirmación:

Efectivamente, y siendo estrictos, si consideramos que nuestro sistema son exclusivamente las partículas de gas, este sistema recibe calor del exterior y, por lo tanto, no es un sistema adiabático. Ahora bien, al gas no le está permitido ceder nada de esta calor al exterior porque está dentro de unas paredes adiabáticas y esto equivale a que este gas solo puede evolucionar adiabaticamente, es decir sin poder ceder al exterior nada de esta calor que recibe.

En conclusión, para mi, si la magnitud del flujo de calor es el adecuado el proceso del gas es isotérmico.
Partiendo de esta hipótesis (expansión isotérmica del gas) se calcula la velocidad necesaria del pistón para que se cumpla la hipótesis primigenia, en base a esta velocidad se halla la variación de energía del pistón en este proceso. Una parte de la energía ganada por el pistón en un tiempo t es entregada a este por el gas, y es igual al calor entregado por la resistencia al gas durante ese tiempo t; la parte faltante de la energía del pistón debe ser entregada por el medio, y vuala se finito!!

PD: como la velocidad del pistón en función del tiempo tendrá una forma hiperbólica, para una determinada configuración inicial (V0, y0, densidad0, etc....) que nos permita suponer al inicio una transformación cuasi-estática, llegara un momento en que las dimensiones de la transformación, la velocidad, o ambas sean tan grandes que habrá que abandonar la aproximación cuasi-estática porque el gas no alcanzara el equilibrio interno en un tiempo despreciable.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola
En primer lugar, muchas gracias a Marce por este trabajo de buscar y dejarnos el enunciado de este problema.
En primer lugar nos sirve para comprobar que no falta información en el enunciado que nos dejó Hooke, a no ser la figura para ver que el pistón se mueve en dirección vertical, lo cual habíamos dado por supuesto. En segundo lugar, si está en el capítulo de energía eléctrica, parece indicar que se trata de un enunciado para destacar la conversión de energía eléctrica en calor más que para ilustrar las propiedades termodinámicas de un gas ideal. Pero...

La verdad son muchas las dudas que me plantea la solución que nos da el Resnick para la velocidad (por lo que pone Hooke de 24,7 cm/s) y que esta no dependa más que del peso del pistón ($I^2R =mgv$). Esta solución, -que, inicialmente di por buena-, ahora, intuitivamente, me es difícil de entender: no entiendo que la presión externa nada tenga que ver en esa velocidad y en la evolución del gas encerrado en ese cilindro de paredes adiabáticas. ¿Cual habría de ser, por ejemplo, la velocidad del pistón si este mismo cilindro de paredes adiabáticas, cerrado por un pistón sin fricción (también adiabático), se pone en posición horizontal?.

Tendré que reflexionar más sobre ello...pero contestaré a lo que plantea Breogan sobre un proceso isobárico.

Estamos de acuerdo, la energía interna es una función de estado, el ejemplo fue el mas sencillo que se me ocurrió.
Podes hacer los mismos razonamientos para un cilindro adiabático, con un pistón, resistencia, y considerando una presión externa constante, creo que según lo dicho por vos hasta acá este sistema tampoco podría ser cuasi-estático, ya que tendría que ser adiabático e isobárico al mismo tiempo.

La situación esta de presión constante es, efectivamente, la que se da en este enunciado si la presión externa se mantiene constante. Y una evolución cuasiestática de un gas ideal que al mismo tiempo sea isoterma e isobárica, en lo que entiendo, no puede darse. Ahora bien, a efectos del cálculo, la situación es la misma que dejé explicada para la energía interna. En este caso, el calor a presión constante es igual a la variación de la entalpía que es una función de Estado y, por lo tanto, con independencia del camino, con independencia de que la evolución sea REAL o a través de estados de equilibrio, la variación de entalpía será la misma.

Y tiene razón arivasm en que, para asegurar la evolución isotérmica del gas, se necesita una fuente de energía externa que comunique al pistón la velocidad requerida: La discrepancia se sitúa en como se ha de calcular esta velocidad.
¿Se ha de calcular con la expresión: $I^2. R = mgv$, o bien con $I^2R =\left(P_e.S +mg\right)v$ o con cual?
Y el problema no es tan simple, porque (también aquí tiene razón arivasm) esta intervención sobre la velocidad del pistón equivale a una modificación de la la presión externa $P_e$.

De momento no logro resolver mis dudas..., pero me convence más la segunda expresión en la que habrá que incluir que la presión externa $P_e$ es función de la velocidad del pistón.

Saludos a todos

- - - Actualizado - - -

Hola de nuevo
Llegado aquí y, comprobado que no falta nada en el enunciado del Resnick que hemos estado manejando, tomando, por otra parte, en consideración que no es normal que un libro tan ampliamente manejado como el Resnick no hubiera corregido cualquier error que pudiera haberse escapado en su primera edición, empiezo a pensar que la intuición de arisvam (que nos ha dejado en el post #10) va por buen camino.

Así pues, el sistema tendrá dos fuentes de energía externa (a diferencia de la única que señalas en tu mensaje): la resistencia, que aporta calor con una potencia $I^2 R$, y la que mantiene la presión ajustada para que la temperatura del gas no cambie, cuya potencia mecánica es $\dst-\frac{p_0y_0}{y}Sv$
Por supuesto, este último término es el que se corresponde con el trabajo de expansión del gas, de manera que el término calórico sería el que daría cuenta del aumento de la energía potencial del pistón.

Mas, arivasm, yo encuentro en el razonamiento que haces en este post #10 dos problemas: uno,que haya que partir de una velocidad del pistón constante "a priori", y segundo, que, sin otra justificación (mejor dicho, yo no encuentro justificación), podamos utilizar una ecuación de equilibrio termodinámico en un proceso que yo veo necesariamente un proceso REAL.

Algo se nos está escapando?

Saludos

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

Me encanta esto y aprendo muchísimo del debate con gente que sabe.

Vamos a analizar el ejemplo que di en mi post anterior, un recinto adiabatico con una resistencia en su interior.
Aunque nos alejemos en apariencia del problema original, la resolución de este punto nos elimina un obstáculo para ver si la evolución del gas en el problema es cuasi-estática o no.

Si es causa de problemas conceptuales esa resistencia, solo hay que considerarla como formando parte del sistema. Nuestro sistema sería entonces: moléculas del gas + resistencia eléctrica. (y en nada cambia el argumentario anterior, siempre, efectivamente, bajo la suposición de que el único efecto de esa resistencia es el aporte de calor que realiza, sin que ella realice trabajo alguno y sin que ella modifique su energía interna).

Creo que analizando esto podemos resolver las diferencias.

Supongamos un recinto adiabatico con una resistencia en su interior, está situación se puede modelar de dos formas.

Primero tomamos como sistema solo el gas (figura 1); quedando afuera la resistencia, su fuente de poder, todo lo que es el medio, y también dejo afuera las paredes adiabaticas (para que no molesten y no entorpezcan el razonamiento), nuestro medio.

Con esta configuración, lo único que se intercambia entre sistema y medio es una cantidad de calor generada por la resistencia que pertenece al medio. Podemos plantear el 1º principio de la termodinámica:

$\dst \Delta U = Q - W$

El gas (nuestro sistema) intercambia calor con el medio (la resistencia que esta en el) por lo cual $Q\neq 0$ y el proceso no es adiabático (las paredes adiabáticas que están en el medio son atravesadas por una cierta cantidad de calor que pasa a nuestro sistema el gas), y a su vez el medio (las paredes) no permiten la modificación del volumen del gas, por lo cual ni el medio ni el sistema pueden hacer trabajo, por esto $W=0$. Entonces la ecuación anterior queda:

$\dst \Delta U = Q = I^2 R \ t$

Por otro lado todo el calor que ingresa al sistema durante un cierto tiempo puede ser extraído en la misma cantidad y en el mismo tiempo, retornando el sistema a su estado inicial (no así el medio); por lo cual la evolución del sistema es reversible. Si ademas consideramos que el flujo de calor es pequeña comparada con .....???? el sistema tiene tiempo de equilibrarse, y se puede decir que la transformación que sufre el gas es cuasi-estática.

En cambio en el medio la existencia de transformación de energía eléctrica en calor, implica de por si una irreversibilidad.

En segundo lugar podemos tomar el gas, la resistencia, y las paredes adiabaticas como nuestro sistema (Figura 2); quedando en el medio la fuente de poder eléctrico que alimenta la resistencia.

Planteamos el 1º principio a este sistema:

$\dst \Delta U = Q - W$

Por la forma de elección de nuestro sistema vemos que este no puede intercambiar calor con el medio, por lo cual la evolución del sistema debe ser forzosamente adiabatica es decir $Q = 0$; ahora nos encontramos que el trabajo que intercambia el medio con el sistema tiene dos componentes, el trabajo volumetrico del medio que es nulo y el trabajo eléctrico (trabajo disipativo) que no lo es, es decir:

$\dst W = \int p\ dV - W_e$

donde $\dst \int p\ dV = 0 \quad y \quad W_e = I \ V_e \ t$

reemplazando en la expresión del 1º principio queda:

$\dst \Delta U = Q - W = 0 - (0 - W_e)$

$\dst \Delta U = I \ V_e \ t$

Con la elección de este sistema podemos ver que la transformación del sistema no es reversible (dentro de el se encuentra la resistencia), al devolver todo el trabajo eléctrico que recibió previamente al medio, el sistema forzosamente no queda en su estado termodinámico original; amén de que en este caso como dice oscar el sistema tendría restringido dos grados de libertad (transformación adiabatica e isocora simultaneas)

De esto sale una verdad de perogrullo, que dependiendo de como elijas tu sistema cada uno de estos evolucionara de distinta forma.

Efectivamente, sería una transformación ADIABÁTICA, ISOCÓRICA Y REAL, a la que, por ser real y no a través, pues, de estados de equilibrio, no podríamos aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Tenes razón, es ADIABÁTICA, ISOCÓRICA Y REAL la evolución del sistema, pero el sistema que evoluciona de esa forma es el representado por la Figura 2 e incluye resistencia, paredes y gas; el gas tomado como sistema por si solo evoluciona según una isocóra (con la condición limitante del flujo de Q).

-En este problema que ahora planteas tú: $\delta W = 0$ lo que implica $dU = \delta Q$. Por lo tanto, el calor que reciben las moléculas de gas se transforma a través de un proceso REAL en energía interna. Ahora bien, esta energía interna es función de estado, lo cual significa que, sea cual sea el camino, -REAL o a través de estados de equilibrio-, la variación de energía interna va a ser la misma. Por tanto, para el cálculo de la variación de la energía interna, aun siendo el proceso REAL, podemos suponer que el proceso es CUASIESTÁTICO, es decir a través de estados de equilibrio y que podremos, pues, utilizar las ecuaciones de equilibrio del gas para dicho cálculo.

Estamos de acuerdo, la energía interna es una función de estado, el ejemplo fue el mas sencillo que se me ocurrió.
Podes hacer los mismos razonamientos para un cilindro adiabático, con un pistón, resistencia, y considerando una presión externa constante, creo que según lo dicho por vos hasta acá este sistema tampoco podría ser cuasi-estático, ya que tendría que ser adiabático e isobárico al mismo tiempo.

s.e.u.o.

Suerte

PD: gracias Marce_ por el esfuerzo de buscar el problema.

[Marce_]

Re: Ejercicio del Resnick

Estimados,

Creo haber encontrado (luego de una ardua búsqueda), el enunciado en cuestión. Corresponde al capítulo 32 (corriente y resistencia) del volumen 2 del Resnick, página 135, problema n° 55.

Sin más que decir, me dispongo a deleitarme con el debate.

Un abrazo.-

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

Sigo atento al hilo. Pero no quiero ser pesado: en mi opinión, como ya dije, la clave son las dos fuentes de energía, la que mantiene la temperatura a través de la presión externa y la que alimenta la resistencia.

Saludos, amigos!

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola Breogan

Si la evolución del gas fuera adiabatica como vos planteas, cuando planteas el 1º principio de la termodinámica para el gas no tendría que ser $Q = 0$?

Si es causa de problemas conceptuales esa resistencia, solo hay que considerarla como formando parte del sistema. Nuestro sistema sería entonces: moléculas del gas + resistencia eléctrica. (y en nada cambia el argumentario anterior, siempre, efectivamente, bajo la suposición de que el único efecto de esa resistencia es el aporte de calor que realiza, sin que ella realice trabajo alguno y sin que ella modifique su energía interna).

PD: si en este mismo problema el pistón estuviera bloqueado en su movimiento (y quitamos la condición de la constancia de la temperatura), yo interpreto que el gas sufre una transformación isocorica; cual es tu opinión?

Efectivamente, sería una transformación ADIABÁTICA, ISOCÓRICA Y REAL, a la que, por ser real y no a través, pues, de estados de equilibrio, no podríamos aplicar las ecuaciones de equilibrio. Pero hay una diferencia importante respecto al enunciado que venimos discutiendo:
-En el enunciado del Resnick que venimos discutiendo el calor que aporta la resistencia eléctrica solo puede transformarse en trabajo de expansión, pues $dU =0 \Rightarrow \delta Q + \delta W=0$ y $\delta Q =- \delta W$ Y ESTE TRABAJO DEPENDE DEL CAMINO.

-En este problema que ahora planteas tú: $\delta W = 0$ lo que implica $dU = \delta Q$. Por lo tanto, el calor que reciben las moléculas de gas se transforma a través de un proceso REAL en energía interna. Ahora bien, esta energía interna es función de estado, lo cual significa que, sea cual sea el camino, -REAL o a través de estados de equilibrio-, la variación de energía interna va a ser la misma. Por tanto, para el cálculo de la variación de la energía interna, aun siendo el proceso REAL, podemos suponer que el proceso es CUASIESTÁTICO, es decir a través de estados de equilibrio y que podremos, pues, utilizar las ecuaciones de equilibrio del gas para dicho cálculo.

Saludos

PD: Espero que arivasm no nos haya abandonado y siga aportando su punto de vista. Y yo sigo interesado en conocer el enunciado completo de este problema y, como Hooke parece que ya no sigue este hilo, pediría a quien tenga o pueda acceder al Resnick que nos ponga el enunciado completo, así como el contexto en el que el Resnick pone este ejercicio.

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

Si la evolución del gas fuera adiabatica como vos planteas, cuando planteas el 1º principio de la termodinámica para el gas no tendría que ser $Q = 0$?

[FONT=sans-serif]En otras palabras se considera proceso adiabático a un sistema especial en el cual no se pierde ni tampoco se gana energía calorífica. Esto viene definido según la primera ley de termodinámica describiendo que Q=0[/FONT]

Suerte

PD: si en este mismo problema el pistón estuviera bloqueado en su movimiento (y quitamos la condición de la constancia de la temperatura), yo interpreto que el gas sufre una transformación isocorica; cual es tu opinión?

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

El cilindro (como decis vos y confirma el enunciado) es adiabatico, pero nuestro sistema (el gas) intercambia calor con el medio (la resistencia), esto no implica que el proceso no es adiabatico?
El cilindro no es descrito como adiabatico solo para dejar claro que el intercambio de calor entre medio y sistema es único, y que su ley de variación con el tiempo corresponde al de la potencia eléctrica disipada en una resistencia?

Cilindro adiabático equivale en este contexto a decir cilindro de paredes adiabáticas, es decir paredes que no permiten intercambio de calor con el exterior.

Efectivamente, y siendo estrictos, si consideramos que nuestro sistema son exclusivamente las partículas de gas, este sistema recibe calor del exterior y, por lo tanto, no es un sistema adiabático. Ahora bien, al gas no le está permitido ceder nada de esta calor al exterior porque está dentro de unas paredes adiabáticas y esto equivale a que este gas solo puede evolucionar adiabaticamente, es decir sin poder ceder al exterior nada de esta calor que recibe.

Por otro lado al decirte que el proceso es isotérmico, no te están dando una pauta para reconocer que es un proceso cuasi-estático al definir como constante una variable de estado (T)?

Podría ser, mas no en el contexto de este problema, porque un gas no puede evolucionar a través de estados de equilibrio adiabaticamente y, al mismo tiempo, isotérmicamente. El estado termodinámico de un determinado gas ideal (con un determinado número de moles) queda perfectamente definido por tres variables (P, V y T). Serían, pues, tres grados de libertad que la ecuación de estado $PV =nRT$ deja en dos y que la ecuación de la adiabática dejaría en solo un grado de libertad. Si ahora fijamos la Temperatura (evolución isotérmica) el sistema tendría cero grados de libertad. O sea que ya no podría evolucionar.

Saludos

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

Estuve repasando un poco, y todavía me quedan muchas dudas.

Voy a ir de a poco, para no embarullarme. Vos afirmas:

.... La evolución del gas en ese cilindro adiabático es evidente que no puede ser un proceso ideal cuasiestático porque no podría ser adiabático y, al mismo tiempo, isotérmico. El problema está, pues, en interpretar como evoluciona esa presión externa para asegurar que la evolución del gas en el cilindro pueda realizarse sin intercambiar calor con el exterior y sin aumentar la temperatura y poder, una vez conocida la evolución de esta presión externa, calcular el trabajo.
]

El cilindro (como decis vos y confirma el enunciado) es adiabatico, pero nuestro sistema (el gas) intercambia calor con el medio (la resistencia), esto no implica que el proceso no es adiabatico?
El cilindro no es descrito como adiabatico solo para dejar claro que el intercambio de calor entre medio y sistema es único, y que su ley de variación con el tiempo corresponde al de la potencia eléctrica disipada en una resistencia?
Por otro lado al decirte que el proceso es isotérmico, no te están dando una pauta para reconocer que es un proceso cuasi-estático al definir como constante una variable de estado (T)?

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola Breogan
En primer lugar gracias por tu aportación, en este como en anteriores post. Gracias a esas aportaciones estamos fijándonos ahora en las "sutilezas" de este enunciado.

Realmente se me escapa el alcance de la palabra cuasi-estático en este contexto, donde las presiones exterior e interior están separadas por un pistón con masa y en movimiento.

Sobre este término la verdad es que no todos los manuales lo utilizan de la misma manera o, incluso, ni lo utilizan y lo asimilan sin más a proceso reversible. Por proceso cuasiestático en la acepción que nos lo explicaba nuestro profesor de Termodinámica (que en el año 76-77, en la Facultad de Química de Santiago de Compostela, ya nos enseñaba una Termodinámica axiomática pero siempre conectada con la experiencia de la tecnología y la química) se entiende que es aquel que transcurre a través de estados de equilibrio, lo que implica que podremos utilizar las ecuaciones del equilibrio en la evolución del proceso termodinámico. En el contexto en que lo utilizo en este hilo es fácil de entender:
El trabajo de expansión que realiza un gas al pasar de un estado $a$ a otro estado$b$ siempre viene dado por $\dst W_{a \to b} = -\int_a^b P^{ext}.dV$ y habrá que conocer como varía esta presión externa para calcular este trabajo de expansión. Si el proceso puede suponerse que no es real, sino ideal y tiene lugar cuasiestaticamente ( ¿o reversiblemente?), viene a decir que esa presión externa que soporta el gas (en la que habrá que incluir, por supuesto, el peso del pistón) es igual a la presión que hace el gas sobre las paredes del recipiente (y sobre el pistón) y se podrá entonces poner $\dst P^{ext}=\frac{nRT}{V}$, igualdad que no puede utilizarse si el proceso es real (y, por lo tanto, no cuasiestático).

Y de aquí vienen los problemas. La evolución del gas en ese cilindro adiabático es evidente que no puede ser un proceso ideal cuasiestático porque no podría ser adiabático y, al mismo tiempo, isotérmico. El problema está, pues, en interpretar como evoluciona esa presión externa para asegurar que la evolución del gas en el cilindro pueda realizarse sin intercambiar calor con el exterior y sin aumentar la temperatura y poder, una vez conocida la evolución de esta presión externa, calcular el trabajo.

Y, siguiendo el hilo de esta argumentación, voy a volver al razonamiento que hacía al contestar a tu primer post, empezando por definir sin equívocos y delimitar nuestro sistema termodinámico (porque creo que es esta falta de definición la que nos está entreteniendo).

VUELVO, PUES, AL RAZONAMIENTO DE MI PRIMER POST EN ESTE HILO

Nuestro sistema termodinámico: el gas encerrado en el cilindro (que inicialmente se encuentra a una temperatura $T_0$, ocupando un volumen $V_0$ bajo una presión $P_0$ dentro de un recipiente de paredes adibáticas);
Entorno de nuestro sistema termodinámico: todo lo demás, cilindro con sus paredes, pistón, etc.

Nuestro sistema está recibiendo, a través de una resistencia eléctrica, un "flujo" de calor que viene dado por $\dst \frac{dQ}{dt}=I^2.R$.
Si nuestro sistema termodinámico se ha de mantener a temperatura constante (por lo tanto -siendo un gas ideal- sin aumentar su energía interna) y no puede intercambiar calor con el exterior porque las paredes del recipiente son adiabáticas, será imprescindible que nuestro sistema (el gas y solo el gas) disipe ese "flujo" de calor que recibe de la resistencia interna realizando un trabajo de expansión (que vendrá dado por $\dst W_{a \to b} = -\int_a^b P^{ext}.dV$) al mismo ritmo que recibe el flujo de calor: si recibe $I^2.R$ Julios en 1 segundo (watios) ha de realizar un trabajo de expansión de $I^2.R$ julios en cada segundo.

Y lo que suceda en el entorno que "recibe" este trabajo de expansión del gas no nos importa más que para asegurar que se disipe en forma de trabajo todo el calor que el sistema recibe de la resistencia interna. Este trabajo de expansión que el gas ha de realizar puede el entorno emplearlo para aumentar la energía cinética del pistón o para deformar el pistón o para lo que sea... siempre que se asegure que se disipa el calor entrante al mismo ritmo con que este calor está entrando.

(Y aquí es donde falla el razonamiento de Breogan insistiendo en la energía cinética del pistón. Solo tenemos que asegurar que el gas disipa en forma de trabajo de expansión -el único trabajo que este gas ideal puede realizar- la misma cantidad de energía que recibe en forma de calor. Y también donde hemos fallado arivasm y yo entreteniéndonos en como habría de ser la presión externa para asegurar una evolución isotérmica del gas)

Vamos ahora para ilustrar el problema (y siguiendo el razonamiento de mi primer post en este hilo) que la presión exterior sobre el pistón es la presión atmosférica y que cilindro está dispuesto de forma que el pistón se mueve verticalmente (no lo pone el enunciado, pero, bien seguro que es porque falta alguna figura. Aprovecho para volverle a pedir a Hooke que nos ponga el enunciado completo). La presión externa que soportaría nuestro sistema termodinámico sería
$\dst P^{ext}= P_a + \frac{mg}{S}$

El trabajo disipado será, pues, $\dst -dW = P^{ext}.dV =\left(P_a + \frac{mg}{S}\right).dV$

y el trabajo disipado por unidad de tiempo: $\dst -\frac{dW}{dt}= \left(P_a + \frac{mg}{S}\right).S\frac{dy}{dt}= (P_a.S + mg).v$

La ecuación final que aseguraría que el gas pueda evolucionar sin aumentar la temperatura sería.

$$\dst I^2.R = (P_a.S + mg).v$$

Solo se necesita saber cuanto vale o como varía esa $P_a$ sobre el pistón y la sección del cilindro para poder calcular la velocidad, sin que necesitemos hipótesis adicional alguna sobre como ha de ser la presión exterior sobre el pistón o sobre como ha de ser la velocidad (que solo será constante si la presión sobre el pistón también lo es).

A la espera de si el enunciado tiene alguna información a mayores de la que Hooke nos puso al principio, creo, definitivamente, que este tiene que ser el razonamiento correcto.

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

Disculpas por haber agitado las aguas del presente hilo. Son muchas las cosas que me generan dudas en sus últimos mensajes así que lo mas seguro que alguna se me quede en el tintero.

En el post #5 oscar pone:

El enunciado viene a decir que el trabajo se hace contra una presión externa constante que será la suma de la presión ambiental más la presión debida al peso del pistón.

El enunciado no habla de presión externa, así como esta transcrito por hooke ni siquiera indica la posición del cilindro.

El trabajo de expansión del gas habría que calcularlo, pues, no con la ecuación que tú pones (que corresponde a un proceso cuasiestático, -en el que la presión interna del gas y la presión externa son iguales) sino con la ecuación:

No entiendo del todo bien lo anterior, pero no habría que tener en cuenta que el pistón tiene masa y que puede variar su energía cinética? y no resultaría que:

$\dst \left( W_{a \to b} \right)_{sistema} \neq - \left( W_{a \to b} \right)_{medio}$

No habría que plantear el 1º principio para el medio exterior, teniendo en cuenta su trabajo, su variación de energía, y el calor que intercambia con el cilindro? No tengo ni idea de como hacerlo o que términos son nulos o no, o cuales son sus formas matemáticas.

Realmente se me escapa el alcance de la palabra cuasi-estático en este contexto, donde las presiones exterior e interior están separadas por un pistón con masa y en movimiento.

Realmente me doy cuenta que no estoy a la altura del hilo, y que me voy a tener que poner a estudiar nuevamente termo.
Dejo mis dudas para mas adelante, y aunque parezca de caradura, antes de retirarme, les dejo lo que había llegado a plantear basándome en mi anterior post.

Había llegado a la siguiente formula:

$\dst v_p = \frac {P_e y_0}{ n \ R \ T - P_e \ t}$

$\dst t=0 \quad \Rightarrow \quad v_p(t=0) = v_{p0} = \frac {P_e y_0}{ n \ R \ T }$

Considerando el cilindro parado y la presión exterior nula, podemos hacer lo siguiente:

$\dst p_0 \ V_0 = n \ R \ T$

$\dst p_0 = \frac {m \ g}{S} \quad y \quad V_0 = S \ y_0$

$\dst m \ g \ y_0 = n \ R \ T$

$\dst \frac {y_0}{n \ R \ T} =\frac 1 {m \ g}$

y resulta:

$\dst v_{p0} = \frac {P_e}{m \ g} = 0,2739 \ \frac m s$

que es el mismo resultado obtenido por arivasm, con la diferencia que en este caso dicho valor es el inicial y la velocidad del pistón no es constante.

y también:

$\dst n \ R \ T = \frac {P_e y_0}{v_{p0} }$

$\dst v_p = \frac {P_e y_0}{ n \ R \ T - P_e \ t} = \frac {P_e y_0}{ \dst \frac {P_e y_0}{v_{p0} } - P_e \ t}$

$\dst v_p = v_{p0} \ \frac { y_0}{ y_0 - v_{p0} \ t}$

Que la velocidad del pistón tenga una velocidad inicial distinta de cero en el inicio, y que tenga una determinada variación con el tiempo, yo la atribuyo (como hizo arivasm en un post) a la existencia de una fuerza no especificada del medio que regula dicha velocidad para que la evolución del gas dentro del cilindro sea isotermica, tal como pide el enunciado.

Disculpen por favor mis desvarios. Gracias.

s.e.u.o.

Suerte

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

Aceptemos que sí es posible que el pistón ascienda con velocidad constante, de manera que $y=y_0+vt$. Ya comentamos que la presión que se ejerce sobre el gas cumple $\dst p=\frac{p_0y_0}{y}$. Para ello hace falta una fuente de energía que, junto con el peso del pistón, realiza un trabajo sobre el gas $\dst W=-\int p S\dd y=-\int\frac{p_0y_0}{y}Sv\dd t$

Así pues, el sistema tendrá dos fuentes de energía externa (a diferencia de la única que señalas en tu mensaje): la resistencia, que aporta calor con una potencia $I^2 R$, y la que mantiene la presión ajustada para que la temperatura del gas no cambie, cuya potencia mecánica es $\dst-\frac{p_0y_0}{y}Sv$

Por supuesto, este último término es el que se corresponde con el trabajo de expansión del gas, de manera que el término calórico sería el que daría cuenta del aumento de la energía potencial del pistón.

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola

Aprovecho también para comentar de dónde sale la ecuación (1): del famoso $pV=nRT=cte$. Por tanto, el hecho de que el proceso sea isotermo hace imposible que la presión exterior (incluyendo la del peso del pistón) sea constante. Esto me lleva a pensar que quizá en el balance falte incluir el trabajo realizado por esa presión variable, lo que hará desaparecer automáticamente el término de expansión del gas en lo que se refiere al balance con el calor, resolviéndose entonces el problema. De todos modos, lo pensaré algo más.

Efectivamente tienes razón en que la presión exterior no puede ser constante, como decía yo. Si dije de Breogan que no había leído bien el enunciado, lo mismo tengo que decir de mí, pues el enunciado dice bien claro que se trata de un cilindro adiabático.

"Una bobina de resistencia, conectada a una batería externa, se coloca dentro de un cilindro adiabático que está equipado con un pistón sin fricción y que contiene un gas ideal. Una corriente i=240mA fluye por ella y su resistencia es de R=550\Omega ¿Con qué velocidad v debe el pistón de masa m=11,8kg elevarse de modo que la temperatura del gas no se modifique?"

De todas formas ese trabajo de expansión no debiera desaparecer. ¿O si?

Si se integra la ecuación entre $y_0$ e $y$:

$$\dst dQ = \frac{P_0.y_0}{y} dy + mg.dy$$

resulta

$$\dst Q = P_0.V_0.ln{\frac{y}{y_0}} + mg(y-y_0)$$

Y al derivar esta ecuación volveríamos a la ecuación

$$\dst \frac{dQ}{dt} = \frac{P_0.y_0}{y}.v + mg.v$$

O sea que esta velocidad ha de ser función de la posición del pistón, lo cual no tiene nada de extraño dado que la presión externa también lo es.

¿No es así?.

Saludos.

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

Pues sí. Tienes toda la razón... Al comparar (3) y (4') resulta una tontería: el término de potencia correspondiente a la expansión del gas sería nulo! Sin embargo, si la velocidad es constante $y=y_0+vt$, con lo que $\dst \frac{p_0y_0}{y}Sv=\frac{p_0y_0}{y_0+vt}Sv$.

Creo que la moraleja es obvia: no es posible que el pistón ascienda con velocidad constante!

A ver si alguien tiene alguna idea mejor...

- - - Actualizado - - -

Por cierto, el término de marras sale de $\dst p\frac{\dd V}{\dd t}=p S \frac{\dd y}{\dd t}$ y tener en cuenta (1).

- - - Actualizado - - -

Añado: para numerar las ecuaciones hay que ponerlas en las etiquetas [TEX], por ejemplo [TEX=8]E=mc^2[/TEX] producirá

$$E=mc^2$$

Sobre lo del nick, es curioso que yo tampoco me di cuenta nunca de la inversión de las letras.

Aprovecho también para comentar de dónde sale la ecuación (1): del famoso $pV=nRT=cte$. Por tanto, el hecho de que el proceso sea isotermo hace imposible que la presión exterior (incluyendo la del peso del pistón) sea constante. Esto me lleva a pensar que quizá en el balance falte incluir el trabajo realizado por esa presión variable, lo que hará desaparecer automáticamente el término de expansión del gas en lo que se refiere al balance con el calor, resolviéndose entonces el problema. De todos modos, lo pensaré algo más.