Ejercicio del Resnick

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola arivasm
(y mil disculpas, porque me acabo de dar cuenta que llevo escribiendo mal tu nombre de usuario desde hace tiempo -creo que desde mi primer mensaje-, y esto, a pesar de que, por los correos tuyos, sabía que eras Antonio Rivas. Creo que es una "dislexia" motivada por esa "fobia ¿natural?" a encontrarse uno con dos consonantes seguidas al final de palabra)

Yendo al problema de este hilo, la verdad que tu primera solución me pareció correcta y fue al acabar de responder a Breogán que me di cuenta que acababa de añadir un término que no se me anulaba. (además de omitir también el término de la energía cinética que señalaba Breogán en el post #4 y que recuerdas tú en este post anterior).

Pero, agora, con tu respuesta, vengo a tener otro problema: me intriga como ese término $\dst \frac{p_0y_0}{y}Sv$ que en la ecuación (3) es un término NO NULO, desaparece sin más en la ecuación (4') y, además, con una operación (que tú llamas "triquiñuela") en la que aparentemente no veo nada ILÍCITO......

Volviendo a la física del problema, yo le pedía a Hooke que no pusiera el enunciado completo del problema, porque la verdad, con el enunciado que pone....no sé si hay mucho lugar a verlo de otra manera. Pero bueno, compensa saber de estas sutilezas de la Física...

(y, a propósito, como se hace para numerar las ecuaciones al final de línea como haces tú)
Saludos

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

La verdad es que en mi respuesta pasé por alto algo tan importante como es el trabajo de expansión del gas.

Como dice Óscar, sobre el gas se ejerce una presión (yo combinaré la externa y la debida al peso del pistón) tal que, al ser un proceso isotérmico, en todo instante se cumplirá que $pV=p_0V_0$. Si llamamos, siguiendo la notación de Óscar, $h$ a la altura del pistón (sería la $y$ de Breogán), ello equivale a que

$$py=p_0y_0$$

El balance de energía será, incluyendo el trabajo de expansión realizado sobre el gas, la energía potencial del pistón y su energía cinética

$I^2R\dd t=p \dd V+mg\dd y+m v\dd v$

esto es, usando (1) e introduciendo la sección del pistón, $S$,

$$I^2R=\frac{p_0y_0}{y}S\frac{\dd y}{\dd t}+mg\frac{\dd y}{\dd t}+mv\frac{\dd v}{\dd t}$$

La dependencia temporal $y(t)$ no será única, sino que podrá ser cualquiera que satisfaga (2), gracias al hecho de que la presión externa aplicada podrá ser tal que justifique dicha dependencia.

Por ello, si ahora añadimos la condición adicional de que la presión externa se ajusta de manera que la velocidad del pistón es constante, la expresión anterior tomará la forma particular

$$I^2R=\frac{p_0y_0}{y}Sv+mgv$$

que podemos escribir

$$I^2Ry=p_0y_0Sv+mgyv$$

Para facilitar la resolución de este caso particular, y responder el ejercicio, hagamos la triquiñuela de derivar respecto del tiempo, teniendo en mente que $v=cte$:

$$I^2Rv=mgv^2$$

que finalmente equivale a la expresión que escribí en mi primer post, pero que ahora, eso espero, sí está justificada:

$$I^2R=mgv$$

[oscarmuinhos]

Re: Ejercicio del Resnick

Realmente no se donde me equivoco, apreciaría mucho que me señalen mis posibles errores ya que la termodinámica nunca fue mi fuerte

¿Donde te equivocas?
En no haber leído con atención el enunciado.
El enunciado viene a decir que el trabajo se hace contra una presión externa constante que será la suma de la presión ambiental más la presión debida al peso del pistón.
El trabajo de expansión del gas habría que calcularlo, pues, no con la ecuación que tú pones (que corresponde a un proceso cuasiestático, -en el que la presión interna del gas y la presión externa son iguales) sino con la ecuación:
$\dst W_{a\to b} = - \int_a^b P^{ext}.dV = -P^{ext}(V_b-V_a)= - Q_{a \to b}$

Uy!!! ????
Ahora me aparece aquí un problema respecto a la solución que nos pone arisvam (y que parece coincidir con el Resnick) y que a mí, inicialmente, me pareció correcta:

Si partimos de la ecuación anterior sin integrar y dividimos entre $dt$:

$\dst \frac{dQ}{dt} = P^{ext}.\frac{dV}{dt}= \left( P_a + \frac{mg}{S} \right).\frac{dV}{dt}$=$\dst \left( P_a + \frac{mg}{S} \right).S\frac{dh}{dt}=P_a S.\frac{dh}{dt}+mg.\frac{dh}{dt}= P_a.S.v + mg.v$

¿En mi opinión, después de volver a revisarlo, este planteamiento sería el correcto, porque esa potencia calorífica suministrada por la resistencia eléctrica se ha de emplear no solo en aumentar la energía potencial del pistón sino también en "dilatar" el gas desde el volumen inicial al final?.

Un saludo.

Y una petición a arisvam para que nos dé su opinión al respecto.
Y también una petición a Hooke: si puedes ponernos la página del Resnick donde viene el enunciado y la solución.

[Breogan]

Re: Ejercicio del Resnick

Hola:

Disculpas por intervenir en el hilo, y por entrar tan tarde. Hace unos días que lo lei pero no tuve tiempo en su momento de comentar.

Voy a tratar de hacer un pequeño resumen de lo que entiendo del problema, para que cuando llegue al punto de mi duda se entienda mejor.

Si planteamos conservación de la energía para el gas como nuestro sistema termodinámico, tenemos:

$\dst \Delta U_g = Q_g - W_g$

donde $Q_g>0$ corresponde a calor entrante en el gas, y $W_g>0$ trabajo saliendo del sistema.

Como la evolución del gas se hace en todo momento a temperatura constante, y como la energía interna del gas es solo función de la temperatura de este, resulta que $\Delta U_g = 0$, por lo cual:

$$\dst Q_g = W_g \quad \Rightarrow \quad dQ_g = dW_g$$

Por el teorema de conservación de la energía mecánica aplicada al pistón resulta:

$\dst W_{f. \ ext. \ piston} = \Delta E_{mecanica \ piston}$

$$\dst W_{f. \ ext. \ piston} = \Delta E_{c_{piston}} + \Delta E_{p_{piston}} \quad \Rightarrow \quad dW_{f. \ ext. \ piston} = dE_{c_{piston}} + dE_{p_{piston}}$$

Ahora el trabajo que sale del gas (nuestro sistema termodinámico) es recibido todo por el pistón, y resulta que:

$\dst W_g = W_{f. \ ext. \ piston} \quad \Rightarrow \quad dW_g = dW_{f. \ ext. \ piston}$

y de (1) y (2) resulta:

$$\dst Q_g = \Delta E_{c_{piston}} + \Delta E_{p_{piston}}$$

o

$$\dst dQ_g = dE_{c_{piston}} + dE_{p_{piston}}$$

Si en las ecuaciones (3) y (4) consideramos que la energía cinética del pistón no varia y derivamos respecto del tiempo, queda la ecuación propuesta por arivasm (cuyo resultado numérico coincide con el resultado posteado por hooke oportunamente).
Mi duda se encuentra en este punto, ya que no encuentro modo de justificar que la energía cinética del pistón permanece constante.

Seguramente es una tontería pero no la logro ver, ademas trate de plantearlo por el lado del trabajo de expansión del gas.

$\dst W_g = \int \ dW_g = \int \ p \ dV$

por la ecuación de los gases ideales:

$\dst p \ V = n \ R \ T \quad \Rightarrow p = \frac {n \ R \ T}{V}$

$\dst W_g = \int \ n \ R \ T \ \frac {dV}{V}$

por ser un proceso isotérmico:

$$\dst W_g = n \ R \ T \ \int \ \frac {dV}{V}$$

Si el piston se mueve verticalmente y llamamos "y" a la coordenada vertical de este, con el origen en su punto de reposo inicial que a su vez define un volumen inicial V0, tenemos que:

$\dst V = V_0 + A \ y$

donde A es el área del pistón. El diferencial del volumen del cilindro queda:

$\dst dV = A \ dy$

reemplazando en la (5) queda:

$\dst W_g = n \ R \ T \ \int \ \frac {A \ dy}{V_0 + A \ y}$

$\dst W_g = n \ R \ T \ \int \ \frac {dy}{V_0/A +y}$

si tenemos en cuenta que $y = v_p t$ y llamamos $y_0 = V_0 / A$, queda:

$$\dst W_g = n \ R \ T \ \int \ \frac {v_p}{y_0 +v_p \ t} \ dt$$

la potencia eléctrica y el calor que absorbe el gas están relacionados como sigue:

$\dst P_e = \frac {dQ_g}{dt} = \frac {dW_g}{dt}$

derivando la (6) respecto del tiempo y teniendo en cuenta la anterior queda:

$\dst P_e = n \ R \ T \ \frac {v_p }{y_0 +v_p \ t}$

despejando vp:

$\dst P_e (y_0 +v_p \ t) = n \ R \ T \ v_p$

$\dst P_e y_0 = n \ R \ T \ v_p - P_e v_p \ t$

$\dst P_e y_0 = ( n \ R \ T - P_e \ t) v_p$

$\dst v_p = \frac {P_e y_0}{ n \ R \ T - P_e \ t}$

de donde se ve que la velocidad del pistón varia con el tiempo, por lo cual la energía cinética del pistón no puede mantenerse constante.

Realmente no se donde me equivoco, apreciaría mucho que me señalen mis posibles errores ya que la termodinámica nunca fue mi fuerte.

Gracias.

Suerte

[hooke]

Re: Ejercicio del Resnick

Ahora sí lo entiendo, muchas gracias!

[arivasm]

Re: Ejercicio del Resnick

Primero, $I^2R$ es la potencia suministrada, no el calor. En segundo lugar, el teorema del trabajo energía nos dice que la potencia mecánica es igual al ritmo al que varía la energía cinética. En otras palabras, estás mezclando cosas...

Aquí la energía del sistema tiene dos términos: la energía interna del gas (que no cambia pues la temperatura es constante) y la energía potencial del pistón, $mgh$. Por tanto, el ritmo al que cambia la energía del sistema, que será igual al que se aporta desde el exterior ($I^2R$) será $mg\frac{\dd h}{\dd t}=mgv$. Es decir, se cumple que $I^2R=mgv$

[hooke]

Quería pedirles ayuda con la resolución de un ejercicio del libro de Física, autor Resnick.

Una bobina de resistencia, conectada a una batería externa, se coloca dentro de un cilindro adiabático que está equipado con un pistón sin fricción y que contiene un gas ideal. Una corriente i=240mA fluye por ella y su resistencia es de R=550\Omega ¿Con qué velocidad v debe el pistón de masa m=11,8kg elevarse de modo que la temperatura del gas no se modifique?

Respuesta: 27,4cm/s

Lo que pensé yo es lo siguiente:
-Como la temperatura tiene que ser constante entonces sé que el proceso es isotérmico, por ende Q=W.
-El Q es aportado por la resistencia Q=Ri^2 y el W=(1/2)mv^2

Despejando de esa igualdad la velocidad v no me da el resultado adecuado.