Divulgación relaciones termodinámicas

[China]

Buenos días,
En el desarrollo de la ley de Mayer, para llegar a que cp=cv+R se utiliza la siguiente relación PΔV = nRΔT y sin embargo para explicar la relación entre Qp y Qv se utiliza PΔV = ΔnRT y mi pregunta es que si se llega a la relación del mismo modo, sin sustituir los calores en función de los calores específicos, por qué se considera en un caso que la variación de volumen se debe a la variación de T y en otro que la variación de volumen se debe a la variación del número de moles???

[oscarmuinhos]

Hola China.
Antes de nada, debes fijarte siempre a que tipo de sistemas y en que condiciones de presión, volumen, temperatura, etc, se aplican las relaciones que obtienes o que te dan.

En el desarrollo de la ley de Mayer, para llegar a que cp=cv+R se utiliza la siguiente relación PΔV = nRΔT

(Diría que estás siguiendo un desarrollo nivel Bachillerato donde la Termodinámica se desarrolla y se aplica al sistema particular de un gas ideal?).

Entre $C_P$ y $C_V$, sea cual sea el sistema, existe la siguiente relación termodinámica que se puede demostrar pero que te pongo sin demostración (salvo que te interese):

$C_P-C_V=-T.\left (\dfrac{\partial P}{\partial V}\right )_T.\left (\dfrac{\partial V}{\partial T}\right )_P^2$

que al particularizarse a 1 mol de gas ideal con la ecuación de Estado P.V = nRT se convierte en

$C_P-C_V=R$

Cuando este desarrollo se hace de partida para un gas ideal, la demostración de esta relación se hace mucho más sencilla al tener en cuenta que la energía interna y la entalpía de un gas ideal son función solamente de la temperatura. (Y suele ser habitual que el camino utilizado tampoco sea matemáticamente muy riguroso o muy general)

y sin embargo para explicar la relación entre Qp y Qv se utiliza PΔV = ΔnRT y mi pregunta es que si se llega a la relación del mismo modo, sin sustituir los calores en función de los calores específicos, por qué se considera en un caso que la variación de volumen se debe a la variación de T y en otro que la variación de volumen se debe a la variación del número de moles???

En este caso, imagino que el desarrollo te lo está haciendo para el caso particular de una reacción química a presión constante y temperatura constantes en la que reaccionan y/o se producen gases, y considerando además que los gases se comportan como ideales y que la variación de volumen más importante se debe al volumen de los gases.

Saludos

[China]

Muchas gracias, buscaré esa relación más general que me dices..

[oscarmuinhos]

Buenos días,
En el desarrollo de la ley de Mayer, para llegar a que cp=cv+R se utiliza la siguiente relación PΔV = nRΔT y sin embargo para explicar la relación entre Qp y Qv se utiliza PΔV = ΔnRT y mi pregunta es que si se llega a la relación del mismo modo, sin sustituir los calores en función de los calores específicos, por qué se considera en un caso que la variación de volumen se debe a la variación de T y en otro que la variación de volumen se debe a la variación del número de moles???

¿Podrías escribir el desarrollo o poner una imagen de como obtiene tu libro esas dos relaciones?:

$C_P-C_V = R$

y $Q_P = Q_V + \Delta n.RT$

Gracias y un saludo

[China]

A ver si te pongo una foto porque el editor de ecuaciones no es lo mio, lo he intentado pero no tengo ni idea...

[oscarmuinhos]

A ver si te pongo una foto porque el editor de ecuaciones no es lo mio, lo he intentado pero no tengo ni idea...

Sacas una foto y la guardas en el ordenador.
Una vez guardada, pinchas en el botón imagen de este editor de textos en el que estás.
A pinchar en el botón Imagen se te despliega una ventana.
En esta ventana pinchas Upload y se te abre otra ventana para seleccionar tu imagen guardada en el ordenador.
Una vez seleccionada la añades al servidor y terminas aceptando con De Acuerdo.
(Creo no haberme saltado ningún paso...?)
Si no te sale, intento explicártelo de nuevo.

Tengo curiosidad simplemente por saber que simplificaciones utiliza tu libro y como las utiliza.
Saludos

[Richard R Richard]

¿Podrías escribir el desarrollo o poner una imagen de como obtiene tu libro esas dos relaciones?:

A ver si te pongo una foto porque el editor de ecuaciones no es lo mio, lo he intentado pero no tengo ni idea...

Sacas una foto y la guardas en el ordenador.
Una vez guardada, pinchas en el botón imagen de este editor de textos en el que estás.
A pinchar en el botón Imagen se te despliega una ventana.
En esta ventana pinchas Upload y se te abre otra ventana para seleccionar tu imagen guardada en el ordenador.
Una vez seleccionada la añades al servidor y terminas aceptando con De Acuerdo.
(Creo no haberme saltado ningún paso...?)
Si no te sale, intento explicártelo de nuevo.

Tengo curiosidad simplemente por saber que simplificaciones utiliza tu libro y como las utiliza.
Saludos

Recuerden que por normas del foro, no esta permitido, subir imagenes que contengan desarrollo de ecuaciones ni texto, ya que son fácilmente desarrollables con el editor Latex incorporado al foro... No lleva demasiado tiempo aprender, hay ejemplos, y formulario disponibles por todo el foro, la inversión de tiempo reditúa inmediatamente, en la rapidez que se comprenden los enunciados y las respuestas, además que LWDF queda agradecida por utilizar el espacio para imágenes con el fin que realmente fueron creadas.

Algunas referencias sobre como desarrollar fórmulas de termodinámica las tienes aquí

conque cites la fuente del libro de donde estas leyendo la informacion , alguien del foro puede checarla y ayudarte con lo que no entiendas de la pagina ...del libro ..., del autor ... edición ...

[China]

Gracias Richard, no recordaba lo de las fotos..

[JCB]

Hola a tod@s.

Como China tiene dificultades para escribir el desarrollo para obtener la relación de Mayer, y una foto con texto no está permitida, pudiendo llegar a invalidar su mensaje, me decido a intervenir, pues en el libro “Iniciación a la Física” (Fernández, J. y Pujal, M.), se indica lo siguiente (lo resumo un poco):

- A presión constante, el calor necesario para elevar un $dT$ a $n$ moles de un gas ideal, es $\delta Q=nC_pdT$ (1).

- La energía interna de un gas ideal, solo depende de la temperatura (ley de Joule), $dU=nC_vdT$ (2).

- A presión constante, y partiendo de $pV=nRT$, derivamos, obteniendo $pdV=nRdT$ (3).

- A presión constante, el primer principio indica $\delta Q=dU+\delta W=dU+pdV$ (4).

Substituyendo (1), (2) y (3) en (4):

$nC_pdT=nC_vdT+nRdT$,

$C_p-C_v=R$.

Ahora bien, estoy algo confundido : la duda que tengo es que el desarrollo para obtener la relación de Mayer contempla a la presión como constante. Luego, en caso de que la presión no sea constante, ¿ seguirá siendo válida la relación de Mayer ?.

Notas: en “Calor y Termodinámica” (Zemansky, M. W. y Dittman, R. H.), el desarrollo es muy parecido y también se basa en que la presión es constante. En la Wikipedia, se inicia el desarrollo, a partir de la entalpía, pero también se considera a la presión como constante.

Saludos cordiales,
JCB.

[oscarmuinhos]

Hola a todos y a todas
Gracias JCB

No sé si ese será el libro de China, pero seguro que se le parece, y por esto le pedía yo que pusiera el desarrollo porque en ningún libro de texto he visto que explicasen la validez general de ese resultado..

La validez de la relación de Mayer es completamente general y resulta de la ecuación que escribía yo en el mensaje #2 de este hilo y que es completamente dindependiente cualquier evolución del sistema:

$C_P-C_V=-T.\left (\dfrac{\partial P}{\partial V}\right )_T.\left (\dfrac{\partial V}{\partial T}\right )_P^2$ (1)

Particularizando para el caso de un 1 mol de gas ideal, utilizando la ecuación $PV=nRT$:

$\left (\dfrac{\partial {P}}{\partial V}\right )_T= -\dfrac{RT}{V^2}$

$\left (\dfrac{\partial V}{\partial T}\right )_P=\dfrac{R}{P}$ (3)

Y llevando (3) y (2) a la ecuación (1):

$C_P-C_V=-T\left (-\dfrac{RT}{V^2}\right ).\left (\dfrac{R}{P}\right )^2= R$ (Después de corregir la errata señalada por Richard en el mensaje #12 de este hilo. Gracias Richard. Y Gracias en nombre mío y en nombre de todos los visitantes, quienes, seguro, gustan más de las cosas sin erratas)

(Y, al hilo de las dificultades de China con el Latex (y que son propias de todos y todas cuando empezamos), me atrevería a sugerir a la Administración general del foro y a los moderadores/as del mismo no ser tan estrictos con las nuevas y nuevos miembros del foro. Podría, por ejemplo, permitirse alguna excepción a estas normas durante un cierto número de mensajes, mientras se van poniendo al día en la escritura en Latex.
Y a China la misma recomendación que me dió a mi uno de los moderadores del foro, -yo también tuve problemas con la escritura en Latex al desaparecer en esta versión los comandos de Latex que traía este editor: pinchando dos veces sobre cualquier ecuación puedes ver como está escrita e incluso copiarla y reutilizarla o reciclarla)

Saludos

[oscarmuinhos]

Hola a todos y a todas

Ahora bien, estoy algo confundido : la duda que tengo es que el desarrollo para obtener la relación de Mayer contempla a la presión como constante. Luego, en caso de que la presión no sea constante, ¿ seguirá siendo válida la relación de Mayer ?.

La deducción puede hacerse directamente para el sistema particular de un gas ideal. Para su demostración, realizada con más rigor que el que suelen traer los libros de texto, nos vamos a ayudar de la siguiente figura en la que tenemos dos isotermas T_A y T_B correspondientes a dos estados de equilibrio A y B cualesquiera previamente dados:

Vamos a partir de que queremos calcular la variación de energía interna para un proceso cualquiera como el señalado en rojo en la figura adjunta: $\Delta U_{A \to B}$.
Como la Energía interna es función de estado, su variación no depende del camino.

Elegimos, en primer lugar, el camino que lleva de A hasta B, formado por los dos procesos siguintes:

Proceso isocórico de A hasta D seguido de proceso isotérmico desde D hasta B:

$dU_{A \to B}=dU_{A \to D}+dU_{D \to B}$

Ahora bien, $dU_{D \to B}=0$, porque en un gas ideal la energía interna solo depende de la temperatura. Por lo tanto,

$dU_{A \to B}=dU_{A \to D}= \delta Q_{A \to D}+\delta W_{A \to D}$

Por otra parte, el proceso de A hasta D es un proceso isocórico y en estos el trabajo es nulo. Con lo cual,

$dU_{A \to B}=dU_{A \to D}= \delta Q_{A \to D}=nC_VdT$

E integrando, para este proceso isocórico, entre A (con temperatura T_A) y D (con temperatura T_B):

$\Delta U_{A \to B}=nC_V(T_B-T_A)$ (1)

Calculamos, a continuación, esta misma variación de energía interna, pero siguiendo el camino a presión constante (isobárico) que va de A hasta C seguido del camino a temperatura constante (isotérmico) desde C hasta B:

$dU_{A \to B}=dU_{A \to C}+dU_{C \to B}$

Ahora bien, $dU_{C \to B}=0$, por la misma razón que antes: proceso isotérmico de un gas ideal para quien la energía interna solo depende de la temperatura:

$dU_{A \to B}=dU_{A \to C}= \delta Q_{A \to C}+\delta W_{A \to C}$

$dU_{A \to B}=dU_{A \to C}=nC_PdT-PdV$

E integrando para este proceso isobárico entre A (con temperatura T_A) y C (con temperatura T_B):

$\Delta U_{A \to B}=nC_P(T_B-T_A)-P(V_C-V_A)=nC_P(T_B-T_A)-(PV_C-PV_A)=nC_P(T_B-T_A)-(nRT_B-nRT_A)$ (2)

Igualando los resultados de la ecuación (1) y de esta ecuación (2):

$nC_V(T_B-T_A)=nC_P(T_B-T_A)-nR(T_B-T_A)$

Desde aquí, simplificando términos iguales, se obtiene finalmente la relación de Mayer que se buscaba:

$C_V=C_P-R$ o, lo que es lo mismo, $C_P-C_V=R$

Como se puede ver el procedimiento es, efectivamente, un procedimiento particularizado a un gas ideal, pero, válido para cualquier proceso.

Un saludo

---

[Richard R Richard]

$C_P-C_V=-\left (-\dfrac{RT}{V^2}\right ).\left (\dfrac{R}{P}\right )^2= R$

He visto un pequeño gazapo, te falto la multiplicación por T en el segundo miembro de la triple igualdad.... creo que intentabas decir

$C_P-C_V=-T\left (-\dfrac{RT}{V^2}\right ).\left (\dfrac{R}{P}\right )^2= R$

[China]

Hola a tod@s.

Como China tiene dificultades para escribir el desarrollo para obtener la relación de Mayer, y una foto con texto no está permitida, pudiendo llegar a invalidar su mensaje, me decido a intervenir, pues en el libro “Iniciación a la Física” (Fernández, J. y Pujal, M.), se indica lo siguiente (lo resumo un poco):

- A presión constante, el calor necesario para elevar un $dT$ a $n$ moles de un gas ideal, es $\delta Q=nC_pdT$ (1).

- La energía interna de un gas ideal, solo depende de la temperatura (ley de Joule), $dU=nC_vdT$ (2).

- A presión constante, y partiendo de $pV=nRT$, derivamos, obteniendo $pdV=nRdT$ (3).

- A presión constante, el primer principio indica $\delta Q=dU+\delta W=dU+pdV$ (4).

Substituyendo (1), (2) y (3) en (4):

$nC_pdT=nC_vdT+nRdT$,

$C_p-C_v=R$.

Ahora bien, estoy algo confundido : la duda que tengo es que el desarrollo para obtener la relación de Mayer contempla a la presión como constante. Luego, en caso de que la presión no sea constante, ¿ seguirá siendo válida la relación de Mayer ?.

Notas: en “Calor y Termodinámica” (Zemansky, M. W. y Dittman, R. H.), el desarrollo es muy parecido y también se basa en que la presión es constante. En la Wikipedia, se inicia el desarrollo, a partir de la entalpía, pero también se considera a la presión como constante.

Saludos cordiales,
JCB.

Muchas gracias!! este es exactamente el desarrollo que yo tenia pendiente de poner y ahora bien... $\delta Q=dU+\delta W=dU+pdV$ pasa a ser $nC_pdT=nC_vdT+nRdT$,
y no puede ser $nC_pdT=nC_vdT+dnRT$, si varían los moles y la T es constante??

[oscarmuinhos]

Hola China

$\delta Q=dU+\delta W=dU+pdV$ pasa a ser $nC_pdT=nC_vdT+nRdT$,
y no puede ser $nC_pdT=nC_vdT+dnRT$, si varían los moles y la T es constante??

No. No podría ser.
No sé si has contestado a JCB antes de haber leído mi mensaje anterior (mensaje #11). Vuelve a leerlo.
Lo que hace JCB es, como el dice, transcribir un procedimiento que, cierto, se ve en muchos libros de texto, pero que, en rigor, no está totalmente explicado, pues solo sería válido para procesos a presión constante. Le falta añadir que resulta de comparar la variación de energía interna del sistema por dos caminos diferentes:

- un camino que empieza a volumen constante hasta alcanzar la temperatura final para, a continuación, seguir un proceso a temperatura constante (variación de energía nula en el caso de gas ideal) hasta alcanzar el volumen del estado de equilibrio final;
- otro camino que empieza a presión constante hasta alcanzar la temperatura del estado final para, a continuación seguir un proceso isotérmico (variación de energía nula en el caso de gas ideal) hasta alcanzar el volumen del estado de equilibrio final.

Si, previamente, se hace esta aclaración el procedimiento sería completamente válido, pues, efectivamente:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Habrás visto, además, que el desarrollo realizado se aplica a un gas ideal (sería el mismo para una mezcla de gases ideales, pues dicha mezcla también se comporta como gas ideal) en el que no cambia el número de moles, solo cambian los valores de las variables termodinámicas que definen el estado del sistema.

Si este número de moles cambiase, -bien sea por que el sistema que consideras es abierto, bien sea porque ha tenido lugar una reacción química-, el problema sería otro.

Saludos

[China]

Vale creo haberlo comprendido. Entonces en la ecuación 2 de tu mensaje 11, lo podemos poner cono dU=dH-PdV, pero sin embargo aqui como se trata de una reaccion quimica a T constante se debe la variacion de volumen a la variacion del nunero de mokes no?? Según creo haber entendido al buscar kas relaciones entr cp y cv no se considera modificacion de moles porque nos referimos a magnitudes de una sustancia y al relacionar dH con dU, se refiere a procesos en lis que si puede variar los moles....vamos que cuando nos referimos a reaccion quimica se consideran
la variaciin de moles.
Quiero pedir disculpas, pues ke doy demasiadas vueltas y me lio yo sola mucho.. no quisiera mokestar mucho









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