Secundaria Una botella que aspira agua

[Marcos Castillo]

Hola, Foro
Tengo un ejercicio que creo podría solucionar solo, pero necesitaría un poco de ayuda. Lo escribo:
"Se calienta un botellín de refresco (vacío) de 20 cm³ al baño María, sumergiéndolo en una olla con agua hirviendo (a 100º C). Se saca de la olla y se coloca con la boca hacia abajo, en un cubo con agua a temperatura ambiente (20º C). ¿Hasta qué volumen del botellín se llenará con el agua del cubo cuando el agua del cubo cuando el agua del cubo enfríe el aire que hay en él? (Observación: téngase en cuenta que el vidrio del botellín es aislante y, por lo tanto, no se perderá calor a través de sus paredes).
a) Entrarán en el botellín más de 13,5 cm³ de agua fría del cubo;
b) Entrarán en el botellín 16 cm³ de agua fría del cubo;
c) Entrarán en el botellín casi 6,5 cm³ de agua fría del cubo;
d) Entrarán en el botellín sólo 4 cm³ de agua fría del cubo".
Creo que la fórmula a emplear es bien $\Delta{U}= Q-W$, o bien $\Delta{U}=Q+W$, pero no sé cuál emplear, ni cómo.
He buscado en internet, pero no encuentro ninguna pista.
Las preguntas son:
¿Cómo relaciono dimensionalmente $Q$ y $W$?;
¿$\Delta{U}=0$?.
Se trata de un ejercicio de autoevaluación de la Uned para detectar las áreas de la Física en las que se debe estudiar un poco, antes de matricularse en el Grado en Física. Y en Termodinámica (¿he publicado en el subforo correcto?) me encuentro muy "verde".
Saludos a todas y todos.

[Richard R Richard]

Hola te paso unos tips para ver si lo puedes resolver solo, ya que veo que por el lado que apuntas no va la cosa. Si no puedes repregunta.

hay dos formas de encararlo

Primero con la ecuación de los gases calculo el numero de moles de aire que hay en el interior del frasco a la temperatura de baño Maria (ebullición) a presión atmosférica.
Luego vuelves a calcular el volumen a 20 grados de la misma masa de aire, y lo que subirá sera justamente la variación de volumen,(esto desprecia la variación de presión en el interior del frasco, y la termina haciendo igual a la atmosférica)

Segundo método mas preciso pero no te han dado todos los datos
cuando ese aire se enfría por contacto con el agua, de muchísima masa, no interesa cuanto calor le transfiere, sino cual es el volumen que ocupa ese numero de moles a una presión que no sera la atmosférica, ya que habrá ascendido una altura h.
luego tienes que descubrir la relación matemática entre la altura y el volumen en un cilindro,(tratando de simplificar la superficie del cilindro) nada difícil. pero esa es toda la complejidad del problema, lo que te piden es justamente la variación de volumen o h por la superficie, pero como leo que no te la han dado como dato, puedes asignar cuanto puede tener de sección el botellin, y así estimar el volumen l tener una nueva presión de equilibrio

[Marcos Castillo]

¡Muchas gracias! Voy a intentarlo por los dos medios.
Un saludo a tod@s

[JCB]

Hola a tod@s.

Con los datos del enunciado, solo puedes llegar a una solución numérica, haciendo la simplificación (ya comentada por Richard), de suponer que la presión en el segundo estado es igual a la atmosférica. En ese caso, a mí me da 4,29 cc (sería la solución d)).

Saludos cordiales,
JCB.

[Marcos Castillo]

Bueno, un saludo a tod@s. He hecho lo siguiente:
$\mu=\dfrac{PV}{RT}=\dfrac{1\;atm\cdot{0,02\;l}}{0,082\dfrac{atm\cdot{l}}{mol\cdot{k}}\cdot{373\;k}}=6,5\cdot{10^{-5}}\;moles$, que es el número de moles de aire que hay en el botellín a punto de ebullición;
$V=\dfrac{\mu\cdot{RT}}{P}=\dfrac{6,5\cdot{10^{-5}}\;mol\cdot{0,082\dfrac{atm\cdot{l}}{mol\cdot{k}}\cdot{293\;k}}}{1\;atm}=0,016\;l=16\;cm^3$, que no sé lo que es
Diferencia de volúmenes=20 cm³-16 cm³=4 cm³
Así que no sé interpretar la segunda fórmula. Es más, he realizado la resta 20 cm³-16 cm³ sin saber por qué; bueno, porque... Era una de las respuestas entre las que había que elegir, y he visto que es la correcta.
PS: En la previsualización de la deducción de $V$, no sé por qué, pero no aparece un signo menos para el valor de $\mu$; yo creo que lo he introducido bien. En cuanto a la segunda forma de encarar el ejercicio que sugería RRR, todavía no he hecho nada.

[JCB]

La segunda expresión, es el volumen que ocupan los moles de aire (revisa el valor), a la temperatura ambiente y a la presión atmosférica.

[Richard R Richard]

Hola a todos , con el primer cálculo averiguas cuanto aire ocupa el volumen de la botella a 100 grados. Al ponerse en contacto con el agua 20 grados el volumen del aire disminuye y el espacio reducido es ocupado por el agua ascendiendo. Por lo que este volumen es la diferencia de volumen de aire inicial y final. Es una simplificación pero bastante aproximada a escala de laboratorio.

[JCB]

Hola a tod@s.

Antes de pasar al caso más cercano a la realidad (aunque quede indeterminado), no te debería quedar ninguna duda del caso simplificado.

En la primera parte del caso simplificado, calculas los moles de aire que se encuentran dentro de la botella (a $100\ ^{\circ}C$ y a la presión atmosférica). Hasta aquí ya has llegado considerando al aire como un gas ideal.

En la segunda parte (también considerando al aire como un gas ideal), calculas el volumen que ocupan esos moles calculados anteriormente, pero a la temperatura ambiente ($20\ ^{\circ}C$) y debiendo hacer la simplificación de que también se encuentran a la presión atmosférica. Entonces, si del volumen total (20 cc), sabes que el volumen de aire es 15,71 cc, el resto será de agua, (20-15,71) cc = 4,29 cc.

De todas formas, te señalo que tal suposición no es muy correcta, pues si el aire dentro de la botella estuviese a la presión atmosférica, no ascendería agua (estando la boca de la botella a la misma profundidad que la superficie libre del agua del cubo, claro). El aire que queda dentro de la botella está, realmente, a una presión inferior a la presión atmosférica:

$P=P_{atm}-\rho gh$, siendo $h$ la altura a la que asciende el agua.

Cuando tengas claro el asunto simplificado, pasamos al otro.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Bueno yendo al grano cuando no simplificas, y supones que el frasco es un paralelepípedo o un cilindro su volumen es $V_T=h_T$S Donde $S$ es la sección del frasco

cuando a 20° llegues al equilibrio tendrás

$$V_f=(h_T-h)S=\dfrac{\mu RT_f}{P_{atm}-\rho_{agua}gh}$$

pero como ya habias llegado al calculo de $\mu$ previamente

$$\mu=\dfrac{P_{atm}V}{RT_i}=\dfrac{P_{atm}h_TS}{RT_i}$$

reemplazas un en otra

$$V_f=(h_T-h)S=\dfrac{\dfrac{P_{atm}h_TS}{RT_i}RT_f}{P_{atm}-\rho_{agua}gh}$$

llegando a

$$V_f=(h_T-h)\cancel{S}=\dfrac{P_{atm}h_T\cancel{S}T_f}{T_i(P_{atm}-\rho_{agua}gh)}$$

$$(h_T-h)=\dfrac{P_{atm}h_TT_f}{T_i(P_{atm}-\rho_{agua}gh)}$$

de donde despejas $h$ la altura de equilibrio, pero si no sabes el valor de $S$ ni de $h_T$ te queda indeterminado hasta que no definas como es el frasco, es decir no obtendrás el mismo resultado con un tubo de ensayo largo y delgado, que un vaso grueso y corto.
Pero como en escala de laboratorio $\rho_{agua}hg$ es una caida de presión muy pequeña respecto de la atmosférica, el termino se desprecia, se simplifica la presión y terminas en definitiva aplicando la Ley_de_Boyle-Mariotte

$$V_f=\dfrac{V_iT_i}{T_f}$$

donde lo que asciende es

$$\Delta V=V_i-V_f=V_i\left(1-\dfrac{T_i}{T_f}\right)$$

[JCB]

Hola a tod@s.

En el caso no simplificado, llegué a una expresión parecida a la de Richard:

$\rho gT_1h^2-(P_{atm}+\rho gh_T)T_1h+P_{atm}h_T(T_1-T_2)=0$.

Conociendo $h_T$, resuelves la ecuación de segundo grado y obtienes $h$.

Saludos cordiales,
JCB.

[Marcos Castillo]

¡Perfecto! Entendido. Incluido que calcularlo de la manera en que lo he hecho es una simplificación excesiva.
Voy a por la segunda forma de encararlo.

[JCB]

Lo cierto es que el enunciado solo contempla el caso simplificado, pero te irá estupendo plantear el caso no simplificado.

[Marcos Castillo]

Voy a tardar. Un botellín de 20 cm³ es la típica botella de cola, o refresco en general, que sirven en los bares, ¿no?.

[Eludio]

No, la típica de los bares es de 20 cl, o sea, 200 cm³

[Richard R Richard]

Holá la presión bajaría a cero con10 metros de altura ,para un volumen de 20 cm3 donde la capilaridad no altere el resultado, la altura del recipiente no llega al metro, y el resultado gente un error menor al 10% unos 4mm de altura así que si quieres registrar la diferencia entre metodos vas atener que ser muy preciso, una pipeta graduada de 20cm3 sería la mejor opción.revisa que resista el choque térmico si es de vidrio o la temperatura si es de plástico

[Marcos Castillo]

Hola
Esta mañana he medido un botellín de refresco de 20 cl; un refresco muy popular. Medía 19 cm de altura. Con ese dato he intentado resolver la ecuación $\rho gT_1h^2-(P_{atm}+\rho gh_T)T_1h+P_{atm}h_T(T_1-T_2)=0$. El resultado es $h=10\;m$. ¿Es éste el resultado correcto?

[JCB]

Hola a tod@s.

Te repito lo que te ha dicho Eludio: una botella de refresco contiene un volumen de 200 ml = 200 cc, mientras que el enunciado indica 20 cc. Que poco te iba a refrescar, ¿ no crees ?. Quizás el enunciado inicial indicaba 200 cc, aunque si es así, el orden de magnitud de la solución sería 10 veces mayor. En cualquier caso, y ciñéndome a los valores del enunciado, te indico los resultados que obtuve:

- Caso simplificado. $V_{agua}=4,29\ cc$.

- Caso no simplificado. Suponiendo que la altura del recipiente sea $h_T=20\ cm$ (lo considero así, porque entonces $S=1\ cm^2$), y aplicando la ecuación del mensaje # 9, obtengo $h=4,23\ cm$ y $V_{agua}=4,23\ cc$.

Nota: revisa las unidades. $\rho=1.000\ kg/m^3$, $g=9,8\ m/s^2$, $T_1$ y $T_2$ en $K$, $h$ y $h_T$ en $m$, $P_{atm}=101.325\ Pa$.

Saludos cordiales,
JCB.