Otras carreras Ejercicio sobre relaciones termodinámicas y ecuaciones de Estado. Van der Waals

[Visitante]

Hola de nuevo, alguien me puede dar alguna idea sobre cómo abordar el siguiente ejercicio?
Considerar la ecuación de estado de van der Waal:
$(p+\frac{a}{v^2})(v-b)=RT$
donde $v=\frac{V}{n}$ es el volumen molar y a y b son constantes características del gas.
a) Considerando $v=v(T,p)$, demostrar que los coeficientes volumétricos se expresan como:
$\alpha_p=\frac{R(v-b)v^2}{RTv^3-2a(v-b)^2}$
$(\frac{\partial p}{\partial T})_V=\frac{R}{v-b}$
$K_T=\frac{v^2(v-b)^2}{RTv^3-2a(v-b)^2}$

B) Teniendo en cuenta que la capacidad calorífica isocórica $C_v$ de un gas qie verifica esta ecuación es constante y haciendo uso de la relación $\frac{\partial U}{\partial V}_T + p= T (\frac{\partial p}{\partial T})_V$, calcular la energía interna U y la diferencia $C_{p,m}-C_{V,m}$ para n moles de gas en función de T, v y n.

El principal problema es que no sé por donde empezar la verdad.

[Alriga]

Observa que hay una que es muy fácil, partiendo de la expresión de la ecuación de estado de Van der Waals:

$(v-b) \left (p+\dfrac{a}{v^2}\right )=RT$

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto de la Temperatura suponiendo el Volumen constante:

$(v-b)\cdot \left ( \left (\dfrac{\partial p}{\partial T}\right )_v +0 \right )=R$

Despejando:

$\left (\dfrac{\partial p}{\partial T}\right )_v=\dfrac R{v-b}$

Ya está. Demostrar la expresión de $\alpha_p$ me ha costado un poco más. Partiendo de nuevo de la ecuación de Van der Waals:

$$\left (p+\dfrac{a}{v^2}\right ) (v-b)=RT$$

Derivamos ambos miembros de la igualdad respecto de la Temperatura suponiendo la Presión constante:

$$\left (p+\dfrac{a}{v^2}\right ) \left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p-\dfrac{2a}{v^3}(v-b) \left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p=R$$

Ahora, de la ecuación (1) vemos que:

$\left (p+\dfrac{a}{v^2}\right )=\dfrac{RT}{v-b}$

Lo sustituimos en la (2) y despejamos:

$\dfrac{RT}{v-b} \left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p-\dfrac{2a}{v^3}(v-b) \left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p=R$

$\left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p=\dfrac{R(v-b)v^3}{RTv^3-2a(v-b)^2}$

Dividiendo por v:

$\alpha_T=\dfrac 1 v \left (\dfrac{\partial v}{\partial T}\right )_p=\dfrac{R(v-b)v^2}{RTv^3-2a(v-b)^2}$

La última:

$k_T=\dfrac 1 v \left (\dfrac{\partial v}{\partial p}\right )_T$

Se hace exactamente igual que la anterior, prueba a ver si te sale y si no, vuelve a preguntar.

Saludos.

[Visitante]

Perfecto muchísimas gracias por la aportación, me salió.
La único que ahora estoy atascada en el apartado b, nunca sé como meter la energía interna, entropía o entalpía en este tipo de ejercicios.

Muy útil.