Ecuaciones de estado

[franc2502]

Buenas a todos!

Estoy con el siguiente enunciado:

Una sustancia hipotética tiene los siguientes coeficientes de dilatación cubica y de compresibilidad isotérmico:

$\beta = \frac{3aT^{3}}{v}$ ;$\kappa =\frac{b}{v}$ , siendo a y b constantes.

Hallar su ecuación de estado.

Lo que no me queda claro es como afecta la ecuación la "v",por lo que entiendo seria el volumen especifico

[JCB]

Hola a tod@s.

Por definición, $\beta=\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p=\dfrac{3aT^3}{V}$ (https://es.wikipedia.org/wiki/Coefic...ilataci%C3%B3n)

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_p=3aT^3$$

Por definición, $\alpha=-\dfrac{1}{V}\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T=\dfrac{b}{V}$ (https://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B...ompresibilidad. Mejor pág. 681 Çengel)

$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_T=-b$$

Por definición, $dV=$$\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_pdT+\left(\dfrac{\partial V}{\partial p}\right)_Tdp$. Sustituyendo (1) y (2),

$dV=3aT^3dT-bdp$. Integrando,

$V=\dfrac{3aT^4}{4}-bp+C_1$

O bien, $p=\dfrac{3aT^4}{4b}-\dfrac{V}{b}+C_2$

Nota: en el módulo de compresibilidad isotérmica de la Wikipedia, parece que hay una incoherencia. Así que pueda, lo miraré detenidamente.

Saludos cordiales,
JCB.

[franc2502]

En el libro "Termodinámica-Sears", habla de $v=\frac{V}{m}$ y transforma el volumen total "V" en el volumen especifico $v$,por eso no me quedaba claro como encontrar la ecuación de estado. Qué el coeficiente sea por ej : $\beta =\frac{3aT^{3}}{V}$ o $\beta =\frac{3aT^{3}}{v}$ no cambia la ecuación de estado?

[delmar7]

Hola

No se altera, se entiende que los coeficientes los están dando para una unidad de masa. Sencillamente para complementar se parte de las definiciones de los coeficientes

$\beta=(\frac{1}{v}) \ (\frac{\partial \ v}{\partial T})_P=\frac{3aT^3}{v}$ Ec 1


$K=- (\frac{1}{v})(\frac{\partial \ v}{\partial P})_T=\frac{b}{v}$ Ec 2


En efecto v es una función de dos variables independientes T y P y es una diferencial exacta entonces se ha de cumplir lo que dice JCB y se tiene de la Ec 2 :


$dv=-b \ dp \Rightarrow v=-bP+f(T)$

Luego de la Ec 1 y se tiene :

$\frac{dv}{dT}=3aT^3 \Rightarrow v=(3a/4)T^4+g(P)$


$v=\frac{3aT^4}{4}-bP$




Saludos

[franc2502]

Muchas Gracias por las respuestas!

Saludos!