1r ciclo Velocidad del sonido

[marpmj]

Hola, no consigo resolver este problema:

La velocidad de propagación del sonido al cuadrado en un medio se puede poner como la derivada parcial de la presión (P) con respecto a la densidad (rho) a entropía (S) constante. Las compresiones y expansiones del gas se suponen tan rápidas que son adiabáticas, de ahí lo de la entropía constante.
Me piden demostrar que en un gas esta derivada (y por tanto, el cuadrado de la velocidad) es igual a: gRT/M
Donde g es el coeficiente adiabático, R la constante de los gases, T la temperatura y M la masa molar del gas.

Ya sé que ésa es la ecuación que nos da la velocidad del sonido en un medio gaseoso pero no sé cómo llegar a ella a partir de esa derivada... Probé derivando la ecuación de la adiabática (PV^g=cte), previamente cambiando el volumen por la densidad, pero no me sale...

Gracias

[Jose D. Escobedo]

Re: Velocidad del sonido

$\displaystyle v^2 = \frac{B}{\rho}$...(1)

$\displaystyle B=-V\frac{dP}{dV}$...(2)

$\displaystyle \frac{dP}{dV} = \frac{d (C V^{-\gamma})}{dV}= -\gamma CV^{-\gamma -1}$...(3)

$\displaystyle \rho =\frac{nM}{V}$...(4)

Si se sustituye (4) en (1) y [(3) en (2)] para luego ponerlo en (1) se obtendra $\displaystyle v^2 = \frac{\gamma V C}{nMV^{\gamma}}$...(5)

Como $\displaystyle C=PV^\gamma \Rightarrow v^2 =\frac{\gamma PV }{nM}$...(6)

Finalmente se hace uso de la ley de los gases $\displaystyle PV= nRT$ la cual se sustituye en (6) $\Rightarrow$

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$

[FONT=Century Gothic]" This procedure was deduced from the Hyperphysics website" [/FONT]. Si deceas encontrar mas info busca en el web-site de Hyperphysics bajo sound and hearing --> sound propagation --> speed of sound --> sound speed in gases y finalmente hasta abajo de la pagina.

[marpmj]

Re: Velocidad del sonido

Vaya, visto así es bastante fácil
Muchas gracias