Ecuación general propiedades parciales

[Berna]

Hola.
Tengo problemas para deducir una ecuación general para la propiedad parcial de una mezcla de n componentes. La ecuación es la siguiente:
$\tilde m_i=m+(\frac{\partial m} {\partial x_i})_{T,P}-\sum_ {k} x_k (\frac{\partial m} {\partial x_k})_{T,P}$
Donde la m con tilde es la propiedad parcial, la m es la propiedad de la mezcla. Por ejemplo, m podría ser entropía especifica o entalpia especifica.
Lo más que pude avanzar, fueron estas ecuaciones.
$m = \tilde m_i - \sum _{j} x_j (\tilde m_i - \tilde m_j)$
$dm = - \sum _{j} dx_j (\tilde m_i - \tilde m_j)$
Cuál sería el siguiente paso para llegar a la ecuación?, o me he equivocado en la deducción de las ecuaciones que tengo?

[Berna]

He vuelto con la solución (encontrada en el fondo de un PDF).

Me explayo en que es una propiedad parcial.

Una propiedad parcial es la contribución de una sustancia a una propiedad especifica de una mezcla, por ejemplo, la entalpía (ec1).

$n*h=n_1*\tilde{h}_1+n_2*\tilde{h}_2+...$ (ec1)

Y se calcula de esta manera.

$\tilde{m}_i=\left[ {\frac{\partial \left( n*m \right)}{\partial n_i}} \right]_{T,P,n_j}$

Donde:
$\tilde{m}_i$ es la propiedad parcial.
$n$ son los moles totales.
$m$ es la propiedad de la mezcla.
$n_i$ son los moles de la sustancia a la cual se le calcula la propiedad parcial.
Los subíndices $T, P, n_j$ implican que la derivada parcial se hace con una temperatura, presión y moles de otras sustancias tomadas como constantes.

El calculo comienza así:

Se deriva la ecuacion de propiedad parcial hasta llegar a la ecuación 2.

$\tilde{m}_i=\left[ {\frac{\partial \left( n*m \right)}{\partial n_i}} \right]_{T,P,n_k}=m*\left[ {\frac{\partial \left( n \right)}{\partial n_i}} \right]_{T,P,n_k}+n*\left[ {\frac{\partial \left( m \right)}{\partial n_i}} \right]_{T,P,n_k}$
$\tilde{m}_i=m*(1)+n*\left[ {\frac{\partial \left( m \right)}{\partial n_i}} \right]_{T,P,n_j}$ (ec2)

Se toma en cuenta que m (propiedad de la mezcla) es una función de la composición bajo el supuesto de temperatura y presión constante. Con una derivada tal que así:

$m=m(x_1,x_2,x_3,...)$ (ec4)
$dm=\sum_{j}^{}\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}dx_j$

El resultado de esta derivada se deriva parcialmente por los moles de la sustancia i ($n_i$).

$\left( \frac{\partial m}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}=\sum_{j}^{}\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}\left( \frac{\partial x_j}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}$

Un punto a resaltar, es el orden de la derivación, que puede resultar confuso. Como solo dividir toda la derivada por $n_i$ y que todo funcione. Esto se explica con la regla de la cadena en derivadas.

Para hacer mas fácil la operación con sumatorias se toman dos casos. Uno en el que i es igual a j, y otro donde son distintos. Resultando en derivadas distintas.

$\left( \frac{\partial x_j}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}=\binom{i=j\longrightarrow \frac{1-x_i}{n}}{i\neq j\longrightarrow -\frac{x_j}{n}}$

Con este resultado, se desarrolla parcialmente la sumatoria y se reorganiza en la ecuación 3.

$\left( \frac{\partial m}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}=\frac{1-x_i}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_i} \right)_{T,P,x_k}+\sum_{j\neq i}^{}-\frac{x_j}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}$
$\left( \frac{\partial m}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}=\frac{1}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_i} \right)_{T,P,x_k}-\frac{x_i}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_i} \right)_{T,P,x_k}+\sum_{j\neq i}^{}-\frac{x_j}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}$
$\left( \frac{\partial m}{\partial n_i} \right)_{T,P,n_k}=\frac{1}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_i} \right)_{T,P,x_k}+\sum_{j=1}^{}-\frac{x_j}{n}\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}$ (ec3)

Se sustituye en la ecuación 3 con la ecuación 2 y queda así:

$\tilde{m}_i=m+\left( \frac{\partial m}{\partial x_i} \right)_{T,P,x_k}-\sum_{j=1}^{}x_j\left( \frac{\partial m}{\partial x_j} \right)_{T,P,x_k}$

Así de deduce la ecuación. Un poco rebuscada, pero funcional y muy fácil de aplicar en casos experimentales donde la única información disponible es la ec4.