Otras carreras Dos gases a diferente temperatura

[elmecama]

Buenas. Estoy resolviendo un ejercicio pero no me queda muy claro las asunciones que debo realizar o los conceptos que tengo que aplicar.

El problema consiste en un tubo dividido a la mitad que contiene un gas monoatómico de un lado y un gas diatómico del otro, ambos inicialmente a la misma presión pero a diferente temperatura (el diatómico a mayor temperatura que el monoatómico). La pared que divide el cilindro es diatérmica y puede deslizarse sin rozamiento, y las paredes externas son rígidas y adiabáticas. Hay que encontrar el estado final del sistema.

Sé que tanto la temperatura como la presión final van a ser iguales en ambos gases, no así el volumen. El problema que me surge es que no sé cómo plantear el cambio de temperatura que sufrirán los gases. Si encontrara la temperatura final, podría, con la ecuación de estado, encontrar el volumen y la presión, pero no sé hallar la temperatura sin hacer ninguna asunción sobre el proceso. Se me ocurrió que la presión se mantiene constante, pero no encuentro justificación para eso...

Si alguien pudiera darme una pista estaría muy agradecida.

[Ulises7]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Prueba a plantear la ecuación de estado para los dos gases tanto antes como después del proceso. Como bien dices el sistema en el equilibrio alcanzará un equilibrio mecánico (presiones iguales) y uno térmico (temperatura iguales), sabiendo esto puedes obtener la relación de los volúmenes según el ratio de moléculas o el ratio de temperaturas iniciales.

- - - Actualizado - - -

Una cosa más que no he comentado porque no sé si se te exige o lo has dado, pero las energías de los gases se pueden poner en función de la temperatura siendo diferente para el monoatómico que para el diatómico, son resultados de la física estadística (3/2 kT para el monoatómico y 5/2 kT para el diatómico si se consideran como gases ideales). Con esto puedes calcular el ratio de moléculas y por tanto el ratio de temperaturas iniciales y ya tienes el sistema resuelto.

[elmecama]

Re: Dos gases a diferente temperatura

¡Muchas gracias! Pude resolverlo perfectamente, planteando, como sugeriste, las ecuaciones de estado para obtener los volúmenes, y luego la energía para la temperatura. No tenía presente esa ecuación para la energía interna, y tenía la idea de que solo tenía sentido plantearla cuando había algún proceso y no para describir estados, con la ecuación $U = Q + W$, por lo que la descarté para este problema ya que no tenía forma de saber el calor. Pero revisando los apuntes recuerdo que U es una variable de estado, así que perfectamente puede asignársele un valor dado al sistema del problema, y, como está aislado, será constante.

Al final era simplemente un problema de conservación de energía...

Muchas gracias de nuevo, esto me aclara varias cosas que (ahora me doy cuenta) no entendía bien

[JCB]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola a todos.

Desearía confirmar y compartir mis resultados con ustedes. En el estado inicial, como consecuencia de aplicar la ecuación de los gases perfectos, se obtiene $n_2=n_1\dfrac{T_1}{T_2}$ (1).

Por otra parte, entiendo que el calor que cede el gas caliente 2 (diatómico), lo absorbe el gas menos caliente 1 (monoatómico):

$Q_{ced. 2}=n_2C_{v2} \Delta T=n_2\dfrac{5}{2}R(T_2-T_f)$,

$Q_{abs. 1}=n_1C_{v1} \Delta T=n_1\dfrac{3}{2}R(T_f-T_1)$.

Igualando $Q_{ced. 2}$ con $Q_{abs. 1}$ y substituyendo (1), llego a la expresión $T_f=\dfrac{8}{\dfrac{3}{T_1}+\dfrac{5}{T_2}}$.

Volviendo a aplicar la ecuación de los gases perfectos en el estado final y substituyendo (1), se obtiene $V_{f2}=V_{f1}\dfrac{T_1}{T_2}$.

¿ Son estos resultados correctos ?.

Gracias anticipadas y saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Dos gases a diferente temperatura

. Se me ocurrió que la presión se mantiene constante, pero no encuentro justificación para eso...

Cada parte del cilindro varia su volumen, entonces no es evolucion a volumen constante o isocorico
Cada parte del cilindro varia su temperatura, entonces no es evolución a temperatura constante o isotérmico
Cada parte del cilindro transmite calor, entonces no es evolución adiabática.

Si suponemos evolución lenta, la fuerza sobre las caras del pistón ser iguales, por lo tanto la presión permanece igual a la permitía dividir el volumen en dos mitades exactas, es decir es una evolución a presión constante

las consideraciones que debes hacer son que el el volumen total es 2V siendo V el volumen inicial de cada mitad

$$V_{f1}+V_{f2}=2V=V_{i1}+V_{i2}$$

si usamos la ecuacion de los gases

$V=\dfrac{nRT}{P}$

como bien dice se arriva a que

$$n_2T_2=n_1T_1$$

si se plantea la conservación del volumen y a presion constante $P_i=P_f=P$

$\dfrac{n_1RT_f}{P}+\dfrac{n_2RT_f}{P}=\dfrac{n_1RT_1}{P}+\dfrac{n_2RT_2}{P}$

luego

$n_1T_f+n_2T_f=n_1T_1+n_2T_2$

de donde usando 2

$T_f=\dfrac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}=\dfrac{2n_1T_1}{n_1+n_2}=\dfrac{2n_2T_2}{n_1+n_2}$

obviamente nada de calor debe perderse de los cilindros hacia el medio.

los volumenes finales son

$V_{f1}=\dfrac{n_1RT_f}{P}$

$V_{f2}=\dfrac{n_2RT_f}{P}$

y para saber el calor absorbido o cedido

$Q_{abs. 1}=n_1C_{p1} \Delta T=n_1\dfrac{5}{2}R(T_f-T_1)$

$Q_{ced. 2}=n_2C_{p2} \Delta T=n_2\dfrac{7}{2}R(T_2-T_f)$

Entiendo que la diferencia entre estos calores obedece al primer principio

$Q_{ced. 2}-Q_{abs. 1}=\Delta Q=\Delta U+ W$

parte del calor se utiliza para variar la energía interna y parte para hacer el trabajo de expansión de un gas sobre el otro....

[Ulises7]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Me apunto:

Equilibrio térmico en el estado final (porque la pared es diaterma y deja por tanto pasar la diferencia de energías en forma de calor hasta que la energía final y por la tanto la temperatura de los dos gases sea la misma):

$T_{1f} = T_{2f} = T_{f}$

Equilibrio mecánico (dado que la pared es móvil si existe una diferencia de presiones, la pared se moverá hasta que la fuerza por unidad de superficie en ambos lados sea igual, como la superficie es la misma para ambos lados esto conduce a la igualdad de presiones):

$p_{1f}=p_{2f} = p_{f}$


El primer gas, el monoatómico tiene una energía interna igual a (3 grados de libertad de un gas ideal monoatómico):

$E_{1i} = \dfrac{3}{2}kT_{2i}$

En cambio al gas diatómico hay que sumarle el grado de energía de rotación $kT$ a los $3/2 kT$:

$E_{2i} = \dfrac{3}{2}kT_{2i}+ kT_{2i} =\dfrac{5}{2}kT_{2i}$

Donde $T_{2i} > T_{1i}$

En resumen, como la energía del gas diatérmica es mayor y la pared es móvil, pese a que las presiones iniciales sean iguales los volúmenes respectivos variarán hasta que el sistema encuentre el equilibrio térmico y mecánico. El cambio de volumen se encuentra aplicando las ecuaciones de estado para el sistema tanto inicial como final:

$p_{i}V_i = N_1 kT_{1i}$
$p_{i}V_i = N_2 kT_{2i}$

$\dfrac{T_{2i}}{T_{1i}} = \dfrac{N_1}{N_2}$

$E_{1i} = \dfrac{3}{2}k N_1 T_{1i}$

$E_{2i} = \dfrac{5}{2}k N_2 T_{2i}$

$\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{5}{3}\dfrac{E_{1i}T_{2i}}{E_{2i}T_{1i}}$

Como la pared no es porosa, el número de moléculas se conserva en el equilibrio final, por tanto:

$\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{5}{3}\dfrac{E_{1f}T_{2f}}{E_{2f}T_{1f}} =\dfrac{5}{3}$

Donde se ha tenido en cuenta que la temperatura final y la energía de ambos gases será la misma en el equilibrio.

$p_{f}V_{1f} = N_1 kT_{f}$
$p_{f}V_{2f} = N_2 kT_{f}$

$\dfrac{V_{1f}}{V_{2f}} = \dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{5}{3} =\dfrac{T_{2i}}{T_{1i}}$

Este desarrollo coincide con JCB.

[Richard R Richard]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola Ulises7 fijate que si

$\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{5}{3}\dfrac{E_{1f}T_{2f}}{E_{2f}T_{1f}} =\dfrac{5}{3}$

estas fijando la relacion de cantidad de particulas de ambos gases y con ello la relación de temperaturas iniciales, a traves de $n_2=n_1\dfrac{T_1}{T_2}$ lo cual no es cierto

en un volumen V puedes poner la cantidad de particulas que quieras, a presion P solo variando la temperatura T, que quiero decir con esto es que las cantidades molares $n_1$ y $n_2$ o el Numero de particulas como es el caso que ustedes proponen $N_1$ y $N_2$ e arbitrario al inicio del problema, y al final del problem lo que es arbitrario es el volumen final de cada uno de los gases, solo sabes el volumen de la suma de ellos.

Por otro lado el calculo del calor cedido o absorvido lo tienes que hacer a presión constante usando $C_p$ y no $C_v$ que para gases monoatomicos es 5/2 R y en diatomicos 7/2 R

Reitero con otras palabras por si no he sido claro, su resultado propone que al poner en contacto dos volúmenes iguales a presiones iguales de gases a temperatura arbitrarias cuando el equilibrio térmico se alcanza la relación de volumenes finales depende de la relación de temperaturas iniciales pero que siempre has tenido en cada volumen inicial el mismo numero de partículas independientemente de las temperaturas iniciales y como te darás cuenta no es cierto.

Me apunto:

Equilibrio térmico en el estado final (porque la pared es diaterma y deja por tanto pasar la diferencia de energías en forma de calor hasta que la energía final y por la tanto la temperatura de los dos gases sea la misma):

$T_{1f} = T_{2f} = T_{f}$

Equilibrio mecánico (dado que la pared es móvil si existe una diferencia de presiones, la pared se moverá hasta que la fuerza por unidad de superficie en ambos lados sea igual, como la superficie es la misma para ambos lados esto conduce a la igualdad de presiones):

$p_{1f}=p_{2f} = p_{f}$


El primer gas, el monoatómico tiene una energía interna igual a (3 grados de libertad de un gas ideal monoatómico):

$E_{1i} = \dfrac{3}{2}kT_{2i}$

En cambio al gas diatómico hay que sumarle el grado de energía de rotación $kT$ a los $3/2 kT$:

$E_{2i} = \dfrac{3}{2}kT_{2i}+ kT_{2i} =\dfrac{5}{2}kT_{2i}$

Donde $T_{2i} > T_{1i}$

En resumen, como la energía del gas diatérmica es mayor y la pared es móvil, pese a que las presiones iniciales sean iguales los volúmenes respectivos variarán hasta que el sistema encuentre el equilibrio térmico y mecánico. El cambio de volumen se encuentra aplicando las ecuaciones de estado para el sistema tanto inicial como final:

$p_{i}V_i = N_1 kT_{1i}$
$p_{i}V_i = N_2 kT_{2i}$

$\dfrac{T_{2i}}{T_{1i}} = \dfrac{N_1}{N_2}$

hasta alli de acuerdo.

el tema es $k=k_B=\dfrac{R}{N_A}$

En un gas diatomico cada particula tiene dos atomos, pero la cantidad de moles en un volumen molar en CNPT es 1 tanto sea mono o diatomico.

un mol de $He$ ocupa en la realidad casi lo mismo que uno de $O_2$ en las mismas condiciones de P y T

en condiciones ideales 1 mol de H_2 tienen una masa 2 g uno de helio 4 g y uno de oxigeno 32g el primero y el ultimo son diatomicos y el helio monoatomico todos en CNPT ocupan 22.4l

sin embargo en el mol de $H_2$ y $O_2$ hay el doble de átomos que en uno de $H_e$

[Ulises7]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Ciertamente el último paso al ponerme a hacerlo no lo vi claro, al eliminar las energías (las temperaturas sí que veo claro que pueda hacerlo), pero conceptualmente no veo claro porqué no se puede hacer.

Mis conocimientos de termodinámica actualmente se basan en la mecánica estadística, por eso utilizo la ecuación de estado de un átomo en lugar de la de un mol. No he dado los $C_V$ ni $C_p$ aún y por ello no entiendo tus $\dfrac{7}{5}$.

[JCB]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola y gracias a todos por sus aportaciones.

Expongo las siguientes cuestiones y las someto a su consideración:

- Por tratarse de un sistema aislado (sin intercambio de calor ni tampoco trabajo con el exterior), la energía interna permanece constante ($\Delta U=0$).

- La energía interna de un gas perfecto, solo depende de su temperatura.

- La variación de la energía interna de un gas perfecto, independientemente del proceso al cual es sometido, se expresa $\Delta U=nC_v\Delta T$, con lo que $n_1C_{v1}\Delta T+n_2C_{v2}\Delta T=0$, y se llegaría al mismo resultado de la temperatura final $T_f=\dfrac{8}{\dfrac{3}{T_1}+\dfrac{5}{T_2}}$.

Si estas tres cuestiones son ciertas, me reafirmo en mi post anterior.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola voy a encarar el problema de un modo distinto, para ver si me he equivocado o refuerzo de algún modo mejor lo que ya expuse.
El problema se puede dividir en dos partes, una parte seria
tenemos un gas diatómico a alta temperatura que al que vamos a expandir y le vamos a extraer calor para que reduzca su temperatura
la energía interna Original y final la sacamos con la lay ley de los gases ideales

$E_{i2}=C_{v2}n_2RT_2=C_{v2}N_2k_BT_2$

$E_{f2}=C_{v2}n_2RT_f=C_{v2}N_2k_BT_f$

la variación de energía interna $\Delta U_2=E_{f2}-E_{i2}=C_{v2}n_2R(T_f-T_2)$

El Trabajo que realiza el embolo $W=P\Delta V =P(V_f-V_i)$

El calor que intercambio para lograrlo

$Q_2=\Delta U_2+W_2=C_{v2}n_2R(T_2-T_f)+P(V_f-V_i)$

pero $V_f=\dfrac{n_2RT_f}{P}$ y $V_i=\dfrac{n_2RT_2}{P}$ reemplazando

$Q_2=\Delta U_2+W_2=C_{v2}n_2R(T_f-T_2)+n_2R(T_f-T_2)=$$(C_{v2}+1)n_2R(T_f-T_2)=C_{p2}n_2R(T_f-T_2)$

Por eso si es diatómico $C_v$ es 5/2 y $C_p$ 7/2



del mismo modo procedemos con el segundo cilindro que se comprimira a presión constante

la energía interna Original y final la sacamos con la lay ley de los gases ideales

$E_i=C_vn_1RT_1=C_vN_1k_BT_1$

$E_f=C_vn_1RT_f=C_vN_1k_BT_f$

la variación de energía interna $\Delta U_1=E_{f1}-E_{i1}=C_{v1}n_1R(T_f-T_1)$

El Trabajo que realiza el embolo $W=P\Delta V =P(V_f-V_i)$

El calor que intercambio para lograrlo

$Q_1=\Delta U_1+W_1=C_{v1}n_1R(T_1-T_f)+P(V_f-V_i)$

pero $V_f=\dfrac{n_1RT_f}{P}$ y $V_i=\dfrac{n_1RT_1}{P}$ reemplazando

$Q_1=\Delta U_2+W_2=C_{v1}n_2R(T_f-T_1)+n_1R(T_f-T_1)=$$(C_{v1}+1)n_1R(T_f-T_1)=C_{p1}n_1R(T_f-T_1)$

Por eso si es monoatómico $C_v$ es 3/2 y $C_p$ 5/2



lo que sabemos es que el trabajo que recibe un pistón es el que cede el otro

$W_1+W_2=0$ lo que es lógico y surge de

$V_{f1}+V_{f2}=2V=V_{i1}+V_{i2}$

si la reescribimos

$V_{f1}+V_{f2}-V_{i1}-V_{i2}=0$

$V_{f1}-V_{i1}+V_{f2}-V_{i2}=0$

$\Delta V_{1}+\Delta V_{2}=0$

$P\Delta V_{1}+P\Delta V_{2}=0$

luego

$W_1+W_2=0$

Asi $Q_1-\Delta U_1+Q_2-\Delta U_2=0$

$C_{p1}n_1R(T_f-T_1)-C_{v1}n_1R(T_f-T_1)+C_{p2}n_2R(T_f-T_2)-C_{v2}n_2R(T_f-T_2)=0$

aqui la unica incognita es $T_f$

$(C_{p1}-C_{v1})n_1R(T_f-T_1)+(C_{p2}-C_{v2})n_2R(T_f-T_2)=0$

siempre $C_p-C_v=1$ ojo porque son calores molares en general es $C_P =\dfrac 52R$ y $C_V =\dfrac 32R$ entonces $C_P-C_V=R$

entonces

$1n_1R(T_f-T_1)+1n_2R(T_f-T_2)=0$

$(n_1+n_2)T_f-n_1T_1-n_2T_2=0$

y llego a la misma expresión de la temperatura final

$T_f=\dfrac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}=\dfrac{2n_1T_1}{n_1+n_2}=\dfrac{2n_2T_2}{n_1+n_2}$

y con ello se deducen el resto de lo parámetros... Este me parece método es mejor que el anterior.

[elmecama]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Entiendo los diferentes desarrollos planteados pero me surge una duda sobre el planteo de Richard R Richard, ya que el resultado obtenido parece no mostrar una dependencia con los valores de las capacidades caloríficas de los gases. Por lo que yo veo el resultado sería el mismo si los dos gases fueran monoatómicos, diatómicos o cualquier tipo de gas. ¿Tiene esto sentido?

[Richard R Richard]

Re: Dos gases a diferente temperatura

- Por tratarse de un sistema aislado (sin intercambio de calor ni tampoco trabajo con el exterior), la energía interna permanece constante ($\Delta U=0$).

Hola JCB te contesto,sin pretender hacerme dueño de la verdad de modo alguno,lo que se conserva es la energía interna total de ambos cilindros, si se varia la temperatura inicial de uno de ellos ,el numero de moles o partículas iniciales que puede haber en equilibrio de presión varia, y tu afirmas que la temperatura final es independiente del número de partículas iniciales,fíjate que esto se cae al reducir el numero de partículas a la mitad con la temperatura al doble.

- La energía interna de un gas perfecto, solo depende de su temperatura.

De acuerdo yo tambíen me baso en eso.

- La variación de la energía interna de un gas perfecto, independientemente del proceso al cual es sometido, se expresa $\Delta U=nC_v\Delta T$, con lo que $n_1C_{v1}\Delta T+n_2C_{v2}\Delta T=0$,

Aquí solo supones un intercambio de temperaturas pero no consideras la variación volúmenes de los gases, y el trabajo de expansión y compresión que eso lleva.

el resultado obtenido parece no mostrar una dependencia con los valores de las capacidades caloríficas de los gases. Por lo que yo veo el resultado sería el mismo si los dos gases fueran monoatómicos, diatómicos o cualquier tipo de gas. ¿Tiene esto sentido?

Entiendo la cuestión pero la diferencia entre CP y CV es la misma tanto para monoatómicos, como diatómicos, parte del calor que cede uno es utilizado para hacer trabajo por eso las variaciones de energía internas no pueden ser iguales en los dos cilindros.

Cualquier otro tipo de evolución que intercambiara calor o trabajo con el medio si debe depender de las capacidades caloríficas de las partículas del sistema, esa mi suposición, puede ser que todo el planteo que hice sea inexacto, aún no veo donde, sino me hubiera disculpado y aclarado, quizá algún otro forero nos lo aclare o confirme a futuro.

[JCB]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola a todos y gracias otra vez por vuestros comentarios.

Buscando por la red, he encontrado un problema muy parecido al presente: es el número 4-144 del libro Termodinámica de Çengel-Boles (edición nº 7, capítulo 4, Análisis de energía de sistemas cerrados). En este se hacen las mismas consideraciones que en mi post # 9, llegando al mismo resultado.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola, JCB a que temperatura llegaría el sistema si en vez de moverse el pistón, fuera una válvula que mezcla los gases? ... luego pregúntate como se pudo mover el pistón,

o responde la última pregunta de ese enunciado del libro

"Cual sería su respuesta si el embolo estuviera fijo?

y veras la diferencia entre lo que tu propones y lo que yo propongo.

Pd apenas hallé el enunciado, pero no he visto la respuesta o solucionario.


Edito y actualizo en la versión en ingles de ese libro , la solución que propones , es la solución para el enunciado sin que se mueva el pistón, solo hay variacion de energia interna. Pero si el pistón se mueve , me temo que mi solución es la correcta.

[JCB]

Re: Dos gases a diferente temperatura

Hola Richard, encantado de saludarte.

Ahora es un poco tarde en mi hora local (0:57 h), pero te aseguro que te responderé la primera cuestión, en cuanto haya tenido tiempo para pensarla.

En cuanto a la segunda, creo que si el émbolo diatérmico fuese fijo, la temperatura final de equilibrio, sería la misma que en el caso actual (émbolo diatérmico móvil).

Si, perdona la imprecisión, la respuesta la he hallado también buceando por internet, en el solucionario: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] .

Buenas noches / tardes.

Saludos cordiales,
JCB.