1r ciclo Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

[Deneb 84]

Alguien sabe hacer la transformada de Legrende de y=ax²+bx+c

[pod]

Re: Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

Si no me equivoco (hace mucho que no hago estas cosas), la cosa va así. La variable de Legendre es

$$p = \dfrac{\dd y}{\dd x} = 2 a x + b \ .$$

Lo cual significa que debemos hacer el cambio

$$x = \dfrac{p-b}{2a}\ .$$

La transformada de Legendre será

$$y^* = x p - y = p\, \dfrac{p-b}{2a} - \left[ a \left( \dfrac{p-b}{2a} \right)^{\!\!2} + b \, \dfrac{p-b}{2a} + c \right]\ .$$

Si ya has hecho mecánica teórica, fíjate que es el mismo procedimiento que utilizamos para definir el hamiltoniano, transformando la variable $\dot x$. Definimos el momento (la nueva variable) como la derivada del lagrangiano respecto la variable transformada, y luego hacemos la resta anterior.

[Daedalus]

Re: Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

Aprovechando este hilo sobre las Transformadas de Legendre, os pido ayuda sobre el tema.

¿Cómo se podría hallar la transformada de Legendre de la función $U=AS^3/VN$ con respecto a U?

Gracias de antemano

[Daedalus]

Re: Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

Vale ya está resuelto. Lo que ocurría era que el ejercicio no estaba bien planteado. No había que hacerlo con respecto a U sino con respecto a S. Los profesores también se equivocan

[jorgext]

Re: Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

Vale ya está resuelto. Lo que ocurría era que el ejercicio no estaba bien planteado. No había que hacerlo con respecto a U sino con respecto a S. Los profesores también se equivocan

y el resultado?

[Daedalus]

Re: Matematicas utiles de termo, Transformada de Legrende

Bien, pues aún no lo tengo corregido pero creo que la solución es sencilla y es la siguiente:

Tenemos que hallar la transformada de Legendre de $U=AS^3/VN$ con respecto a $S$.

Sabiendo la definición de la transformada de Legendre:

$<br /> f^*(Z)=f(X)-ZX$

siendo $Z=df(X)/dX$ , por lo que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

La usamos para esta función $U=U(S,V,N)$ :
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] ; Ya que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Luego: $Z=T=3AS^2/VN$ y [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Entonces, sustituyendo en la transformada de Legendre todas las incógnitas:

$f^*(T,V,N)=f(S,V,N)-TS=U(S,V,N)-TS$

$f^*(T,V,N)=AS^3/VN-TS$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

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Esta sería la transformada de U con respecto a S, y si nos damos cuenta con esto hemos hallado el potencial de Helmholtz:

$f^*(T,V,N)=F(T,V,N)$

Si alguien ve algún fallo que me lo diga.