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  • Ecuación de Schrödinger general

    Se busca obtener la ecuación de Schrödinger general dependiente del tiempo. Para ello se subdivide la demostración en dos partes, la primera de ellas encaminada a la obtención de la ecuación independiente del tiempo tridimensional para, a partir de ella, llegar en una segunda parte a la dependiente del tiempo. Al igual que se hizo en el caso unidimensional, se demuestra para la partícula libre y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.


    Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo tridimensional


    En este caso la partícula libre, de momento , se desplaza a lo largo un eje arbitrario, que pertenece al sistema de referencia (estático respecto al sistema ). El objetivo es, partiendo de la ecuación unidimensional (ver http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37) obtener la expresión de la ecuación de Schrödinger, para esta partícula, respecto al sistema de referencia .


    La expresión de la ecuación en forma unidimensional es, para este caso


    con

    de la figura podemos deducir las siguientes expresiones



    como


    tendremos



    luego

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    haciendo







    La energía de la partícula será


    donde es la energía potencial, que por tratarse de una partícula libre es constante. Hacemos ahora


    en donde y los podemos elegir de forma arbitraria, siendo por tanto . Ahora escribimos



    Siguinendo el procedimiento desarrollado en la demostración de la ecuación unidimensional (ver http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37) aplicado a y llegamos a la forma (similar a la ecuación 1.1)


    multiplicando (1.6) por y teniendo en cuenta que y son independientes de


    como (ver ecuación 1.3)


    Si ahora procedemos de igual forma, por una parte con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ) y por otra, con y (derivando respecto de y multiplicando al final por ), obtendremos



    sumando (1.8), (1.9) y (1.10), llegamos a


    y teniendo en cuenta (1.5) y (1.6)


    como el operador laplaciano es

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    concluimos que


    que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo




    Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo


    Volvemos de nuevo a la ecuación de la función de onda asociada a la partícula


    y la derivamos respecto de


    multiplicamos ahora por


    como , sustituyendo


    Seguidamente multiplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1.11) por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo cual nos da


    sustituyendo (2.1) en (2.3)


    como solo depende de se cumple que


    sustituyendo (2.5) en (2.4)


    y finalmente, sustituyendo (2.2) en (2.6)


    que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
    "Una creencia no es simplemente una idea que la mente posee, es una idea que posee a la mente"

  • #2
    Buen tema pero con respecto a Electromagnetismo y me podrían ayudar con esta ecuación Laplace en coordenadas esféricas 3 dimensiones

    Comentario


    • #3
      Otra forma de llegar a los mismos resultados es la siguiente. Tomemos el teorema de conservación de la energía para una partícula moviéndose en un campo potencial que supondremos estático:





      y utilicemos ahora los operadores de la mecánica cuántica para transformar dicha expresión en un operador:






      que al aplicarlo a la función de onda de la partícula llegamos a la expresión:






      que viene a ser la misma ecuación de antes, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Para obtener la ecuación independiente del tiempo partiendo de ésta última no hay más que suponer soluciones estacionarias (el espacio y el tiempo deben ser entonces variables separadas):





      y substituir esta expresión en la ecuación general obtenida y resolver aplicando los métodos archiconocidos para este tipo de soluciones.

      Salu2

      Comentario

      Demostraciones

      Acerca este grupo

      La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
      Tipo: Público
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