Ecuación de Schrödinger general

[Saplaya]

Se busca obtener la ecuación de Schrödinger general dependiente del tiempo. Para ello se subdivide la demostración en dos partes, la primera de ellas encaminada a la obtención de la ecuación independiente del tiempo tridimensional para, a partir de ella, llegar en una segunda parte a la dependiente del tiempo. Al igual que se hizo en el caso unidimensional, se demuestra para la partícula libre y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.

Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo tridimensional

En este caso la partícula libre, de momento $\vec{p}$, se desplaza a lo largo un eje $x'$ arbitrario, que pertenece al sistema de referencia $x',y',z'$ (estático respecto al sistema $x,y,z$). El objetivo es, partiendo de la ecuación unidimensional (ver http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37) obtener la expresión de la ecuación de Schrödinger, para esta partícula, respecto al sistema de referencia $x,y,z$.

La expresión de la ecuación en forma unidimensional es, para este caso

$$\boxed{-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x'}^2}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

con $\varphi=A\\e^{ikx'}$

de la figura podemos deducir las siguientes expresiones

$$\vec{x'}=\vec{r}-\vec{R}=(x-a,y-b,z-c)$$

$$\vec{p}=(p_x,p_y,p_z)=constante$$

como

$$\vec{p} \propto \vec{k}$$

tendremos

$$\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)=constante$$

$$kx'=\vec{k}\vec{x'}=k_x(x-a)+k_y(y-b)+k_z(z-c)$$

luego

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$$\varphi=A\ee^{i(x-a)k_x }\ee^{i(y-b)k_y} \ee^{i(z-c)k_z}=A\ee^{-iak_x }\ee^{-ibk_y}\ee^{-ick_z}\ee^{ixk_x}\ee^{iyk_y} \ee^{izk_z}$$

haciendo

$$A_1=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-iak_x }$$

$$A_2=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-ibk_y}$$

$$A_3=A^{\left(\frac{1}{3}\right)}\ee^{-ick_z}$$

$$\varphi=A_1\ee^{ixk_x}A_2\ee^{iyk_y}A_3\ee^{izk_z}=X(x)Y(y)Z(z)$$

$$X(x)=A_1\ee^{ixk_x }, \qquad Y(y)=A_2\ee^{iyk_y}, \qquad Z(z)=A_3\ee^{izk_z}$$

La energía de la partícula será

$$E=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}+V$$

donde $V$ es la energía potencial, que por tratarse de una partícula libre es constante. Hacemos ahora

$$V=V_1+V_2+V_3$$

en donde $V_1$ y $V_2$ los podemos elegir de forma arbitraria, siendo por tanto $V_3=V-(V_1+V_2)$. Ahora escribimos

$$E_1=\frac{p_x^2}{2m}+V_1, \qquad E_2=\frac{p_y^2}{2m}+V_2, \qquad E_3=\frac{p_z^2}{2m}+V_3$$

$$E=E_1+E_2+E_3$$

Siguinendo el procedimiento desarrollado en la demostración de la ecuación unidimensional (ver http://forum.lawebdefisica.com/group...iscussionid=37) aplicado a $X(x)$ y $E_1$ llegamos a la forma (similar a la ecuación 1.1)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{X}}{\partial {x}^2}+V_1{X}=E_1{X}$$

multiplicando (1.6) por $Y(y)Z(z)$ y teniendo en cuenta que $Y$ y $Z$ son independientes de $x$

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{(XYZ)}}{\partial {x}^2}+V_1{XYZ}=E_1{XYZ}$$

como $\varphi=XYZ$ (ver ecuación 1.3)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+V_1{\varphi}=E_1{\varphi}$$

Si ahora procedemos de igual forma, por una parte con $Y(y)$ y $E_2$ (derivando respecto de $y$ y multiplicando al final por $XZ$) y por otra, con $Z(z)$ y $E_3$ (derivando respecto de $z$ y multiplicando al final por $XY$), obtendremos

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+V_2{\varphi}=E_2{\varphi}$$

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}+V_3{\varphi}=E_3{\varphi}$$

sumando (1.8), (1.9) y (1.10), llegamos a

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\left(\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}\right)+(V_1+V_2+V_3){\varphi}=(E_1+E_2+E_3){\varphi}$$

y teniendo en cuenta (1.5) y (1.6)

$$-\frac{{\hbar}^2}{2m}\left(\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {x}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {y}^2}+\frac{\partial^2{\varphi}}{\partial {z}^2}\right)+V{\varphi}=E{\varphi}$$

como el operador laplaciano es

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
concluimos que

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\varphi}+V{\varphi}=E{\varphi}}$$

que es la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Volvemos de nuevo a la ecuación de la función de onda asociada a la partícula

$$\Psi=\ee^{-i\omega t}\varphi$$

y la derivamos respecto de $t$

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\omega \ee^{-i\omega t}\varphi=-i\omega \Psi$$

multiplicamos ahora por $i\hbar$

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hbar \omega \Psi$$

como $E=\hbar \omega$, sustituyendo

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=E\Psi$$

Seguidamente multiplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (1.11) por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo cual nos da

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\ee^{-i\omega t}\nabla^2{\varphi}+\ee^{-i\omega t}V{\varphi}=\ee^{-i\omega t}E{\varphi}$$

sustituyendo (2.1) en (2.3)

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\ee^{-i\omega t}\nabla^2{\varphi}+V{\Psi}=E{\Psi}$$

como $\ee^{-i\omega t}$ solo depende de $t$ se cumple que

$$\nabla^2 \Psi=\nabla^2 (\ee^{-i\omega t}\varphi)=\ee^{-i\omega t}\nabla^2 \varphi$$

sustituyendo (2.5) en (2.4)

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\Psi}+V{\Psi}=E{\Psi}$$

y finalmente, sustituyendo (2.2) en (2.6)

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\Psi}+V{\Psi}=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$$

que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

[Laplace]

Buen tema pero con respecto a Electromagnetismo y me podrían ayudar con esta ecuación Laplace en coordenadas esféricas 3 dimensiones

[visitante20160513]

Otra forma de llegar a los mismos resultados es la siguiente. Tomemos el teorema de conservación de la energía para una partícula moviéndose en un campo potencial $U(x,y,z)$ que supondremos estático:

$\boxed{\displaystyle\frac{p^2}{ 2m}=W-U}$

y utilicemos ahora los operadores de la mecánica cuántica para transformar dicha expresión en un operador:

$\boxed{p\quad\to\quad \displaystyle\frac{h}{2\pi i }\nabla}\qquad\qquad\qquad \boxed{W\quad\to\quad -\displaystyle\frac{h}{2\pi i }\frac{\partial }{\partial t}}$

que al aplicarlo a la función de onda de la partícula llegamos a la expresión:

$\boxed{-\displaystyle\frac{h^2}{8\pi^2 m }\nabla^2\Psi+U\Psi=-\displaystyle\frac{h}{2\pi i}\frac{\partial \Psi}{\partial t}}$

que viene a ser la misma ecuación de antes, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Para obtener la ecuación independiente del tiempo partiendo de ésta última no hay más que suponer soluciones estacionarias (el espacio y el tiempo deben ser entonces variables separadas):

$\Psi(x,y,z,t)=\Phi(x,y,z)T(t)$

y substituir esta expresión en la ecuación general obtenida y resolver aplicando los métodos archiconocidos para este tipo de soluciones.

Salu2