Demostraciones

[Stormkalt]

Hola a todos:

Con respecto a obtener pi de un cociente números, el teorema de Liouville afirma que de ecuaciones algebraicas no, pues es un irracional trascendente. Es decir, un irracional trascendente no es raiz de ningún polinomio no nulo de coeficientes enteros o racionales. Aunquwe, (como supones (ser humano)) sí se puede obtener a partir de otros irracionales trascendentes o icluso a partir imaginarios (la que relaciona e, i y 1 es la más conocida).
La demostración que propones me parece que entra dentro de la categoría de las llamadas "aproximaciones geométricas de pi" entre las que se destacan el método de Mascheroni y el método de Cochansky (lo acabo de buscar, no es que lo sabía jejejej).
Saludos.

PD: Verdad que es casi on line.

[ser humano]

Muchas gracias por TODA la informacion .
Veamos si ahora se puede demostrar sin aproximacion (aun no se me ocuerre como hacero)

Saludos

[Saplaya]

Pues yo pienso que he dado con el camino. Te doy un input y así lo sacas a tu manera:
Si trazamos las dos circunferencias de radios r y R, vemos que podemos obtener la segunda circunferencia a partir de la primera a través de un cambio de escala.

[ser humano]

Estuve pensando en lo que propusiste. Pero no puedo relacionar el perimetro con el resto de cualidades de la circunferencia

[Saplaya]

Primero una aclaración, de lo que yo hablo es de la invarianza de $\pi$, no de la obtención de su valor numérico.

El asunto es hacer un cambio de variable tal que convierta la circunferencia de radio r en una de radio R en el nuevo sistema de referencia. De la misma forma que la longitud de un segmento horizontal en el sistema de referencia original está relacionado con su longitud en el nuevo sistema por el factor de escala, la longitud de cualquier curva mantiene esa relación entre los dos sistemas de referencia (tal como sucede en un plano escalado de una casa). A partir de aquí todo es inmediato.
Realmente la demostración es bastante elemental, lo que habría que incluir para completarla es la demostración matemática de que esa relación de factor de escala para cualquier curva es cierta, esto es algo intuitivamente claro, pero que habría que demostrar matemáticamente.

Saludos

[ser humano]

¿Pero eso no demostraria que $\pi$ es invariable para una circunferencia de una determinada magnitud, independientemente de la unidad con que se la mida?

Otros saludos

[Saplaya]

Una circunferencia de una determinada magnitud es, por ejemplo una de 1 metro de diámetro, medida en metros mide 1 y medida en mm mide 1000. Pero yo a lo que me refiero es que para una circunferencia de 1 metro su diámetro en mm es 1000 y si ahora la represento a escala 1:100 su diámetro es 10 mm (la unidad de medida no cambia, lo que cambia es la escala).
Si las trazo las dos ya tengo una de radio r (5 mm) y otra de radio R (500 mm) y como la relación de escala es la misma para cualquier longitud, los perímetros estarán relacionados también por el factor de escala 1:100. A partir de aquí lo de $\pi$ es inmediato. Luego, la demostración se ha convertido en representar el cambio de escala mediante un cambio de variables y demostrar que la longitud de cualquier curva entre dos puntos, en las dos representaciones (x-y u-v) esta relacionada por el factor de escala.

Saludos

[ser humano]

Ah, ahora comprendi . Vere si se me ocurre como hacer eso ultimo

[ser humano]

Con todo esto de la invariabilidad de este cociente me puse a pensar acerca del perimetro de las figuras en general. Y llegue a una expresion que aparentemente es válida. Dejo el enlace del lugar en donde consulte, espero que no haya problemas en que sea de otro foro:

http://rinconmatematico.com/foros/in...5.new.html#new

[Stormkalt]

Hola ser humano:
¿Te referís a obtener la expresión del perímetro a partir de la sumatoria de longitudes de arco de una curva?

Es decir, a partir de:

$$<br /> S = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + \left( {f'(x)} \right)^2 } } dx<br />$$

¡Saludos!

[ser humano]

Si, pero justamente a esa expresion es a la que llegue, y era la que proponia poner en el blog.

¿la paso a un mensaje de aca mejor?

Cuando comence a buscar una expresion para la longitud lo hacia con ese objetivo, el de sumar las diferentes secciones de la figura (secciones que sean funciones) y asi hallar el perimetro. Pero habria que ver si en la demostracion de los metodos de integracion que se implementen no se utiliza $\pi$ en el sentido que lo queremos demostrar

Saludos!

Pd: Si tomamos como viable este metodo, entonces tambien lo es el primero que propuse, ya que en ambos se esta rectificando pequeños arcos. Pero aparentemente, esa es la definicion de longitud (y el perimetro seria la longitud de la curva cerrada en cuestion). La definicion de perimetro sale de interpretar la demostracion realizada, y tambien es enunciada en el enlace que dejaron en una respuesta del otro foro.

[Stormkalt]

Sería interesante tener esa demostración en el sector de demostraciones (valga la redundancia), aunque si querés ponerla acá también.

El tema, volviendo a nuestro mini debate, es que en los intervalos de integración habrá que usar entre 0 y pi.

¡Saludos!

[ser humano]

Pero si implemento la funcion de un semicirculo, en funcion de x y no del angulo ¿no lo deberia evaluar entre -R y R? siendo R el radio

[Stormkalt]

Lo acabo de hacer entre 0 y R (es decir un cuarto de circunferencia) con R=1, y dio:

$\frac{1}<br /> {2} + \frac{\pi }<br /> {4}<br />$

Que no es lo mismo que

$<br /> \frac{\pi }<br /> {2}<br />$

En algo me debo estar equivocando...

PD cuando pongo TEX=* me agranda el texto, lo centra y lo numera (de las ecuaciones). ¿Para agrandarlo solamente cómo se hace?

[Stormkalt]

Ya corregí el error, sí da

$$\int\limits_0^1 {\sqrt {1 + \frac{{x^2 }}<br /> {{1 - x^2 }}} } dx<br />$$

Es decir, la de 1/4 de circunferencia, resulta en

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Entre 0 y 1
Lo que da $\pi /2<br />$, que coincide con el arco de 1/4 de circunferencia.

¡Saludos!