Demostraciones

[ser humano]

Lo que da , que coincide con el arco de 1/4 de circunferencia.

Uh, pero ahi tenemos un problema, porque ese es el resultado si lo expresamos en radianes. Y no podemos implementar radianes porque su definicion radica en la invarianza de $\pi$ .

Pero, siendo que el perimetro tiene la definicion que tiene ¿no es la primera resolucion que habia realizado la demostracion de la invarianza, sin ninguna aproximacion?.

Otra cosa, no se como trabajar con el "factor de escala" supongo que es algo asi como un coeficiente en una relacion lineal.

Bueno, saludos a todos

edit:

PD cuando pongo TEX=* me agranda el texto, lo centra y lo numera (de las ecuaciones). ¿Para agrandarlo solamente cómo se hace?

Si son fracciones, en cambio de poner \frac a b que sale $\frac a b$, pones \dfrac a b y sale $\dfrac a b$

[Saplaya]

Si tomamos como viable este metodo, entonces tambien lo es el primero que propuse, ya que en ambos se esta rectificando pequeños arcos. Pero aparentemente, esa es la definicion de longitud (y el perimetro seria la longitud de la curva cerrada en cuestion).

Claro, lo que ocurre es que había que demostralo, lo cual se consigue con la demostración que pones en el otro hilo, antes de pasar al límite (ya que usas aproximaciones), a partir de ese punto lo que hay que notar es que el segmento es siempre paralelo a la pendiente en el punto medio del arco (lo cual es bastante evidente para la circunferencia, en base a su definición, pero no es tan evidente para cualquier otra curva).

En cuanto al camino que proponía yo, mediante el cambio de escala, pasa también por la integral que determina la longitud entre dos puntos de una curva.

Haciendo el cambio de escala (cambio de variables)

$$u=ex , \qquad v=ey$$

tenemos que la longitud del tramo de curva que se estudie (no necesariamente una circunferencia) en el sistema $\dst x-y$ es

$$L=\int \dd{s}$$

y en el $\dst u-v$ es

$$L\text{'}=\int \dd{s}\text{'}$$

los $\dst \dd{s}$ y $\dst \dd{s}$', se obtienen aplicando Pitágoras a los diferenciales (lo cual lleva a la integral propuesta por vosotros).

y teniendo en cuenta que $\dst \dd{u}=e\dd{x}$ y $\dst \dd{v}=e\dd{y}$, se acaba obteniendo $\dst L\text{'}=eL$, para cualquier curva.

cuando pongo TEX=* me agranda el texto, lo centra y lo numera (de las ecuaciones). ¿Para agrandarlo solamente cómo se hace?

En general utilizando \dst al principio de la expresión, te da la altura sin centrarlo.

[ser humano]

Claro, lo que ocurre es que había que demostralo, lo cual se consigue con la demostración que pones en el otro hilo, antes de pasar al límite (ya que usas aproximaciones), a partir de ese punto lo que hay que notar es que el segmento es siempre paralelo a la pendiente en el punto medio del arco (lo cual es bastante evidente para la circunferencia, en base a su definición, pero no es tan evidente para cualquier otra curva).

¿seria necesario si definimos al perimetro como la longitud de la curva cerrada, y ademas definimos a la longitud de la curva como la suma de las longitudes de los segmentos rectos que se ajustan a dicha curva? Porque lo que puedo entender de la demostracion hecha es que la longitud de una curva es eso, y yo al principio estaba tomando segmentos rectilineos muy pequeños de manera que se ajusten a la curva justamente.

En cuanto al camino que proponía yo, mediante el cambio de escala, pasa también por la integral que determina la longitud entre dos puntos de una curva.

Haciendo el cambio de escala (cambio de variables)



tenemos que la longitud del tramo de curva que se estudie (no necesariamente una circunferencia) en el sistema es



y en el es



los y ', se obtienen aplicando Pitágoras a los diferenciales (lo cual lleva a la integral propuesta por vosotros).

y teniendo en cuenta que y , se acaba obteniendo , para cualquier curva.

Gracias, ahora si lo comprendo

Saludos!

[Stormkalt]

¡Gracias a ambos por la ayuda con respecto a Latex!

Al respecto de la demostración, voy a "digerir" lo que postearon.
¡Saludos!

[Saplaya]

¿seria necesario si definimos al perimetro como la longitud de la curva cerrada, y ademas definimos a la longitud de la curva como la suma de las longitudes de los segmentos rectos que se ajustan a dicha curva? Porque lo que puedo entender de la demostracion hecha es que la longitud de una curva es eso, y yo al principio estaba tomando segmentos rectilineos muy pequeños de manera que se ajusten a la curva justamente.

No se si entiendo la pregunta, pero voy a intentar contestarte a lo que creo que te refieres.

Imagina que tienes la circunferencia de radio $R$ y una curva cerrada interior a ella, en la cual por lo menos uno de sus puntos dista del origen una distancia $r$. En general no se cumplirá que el perímetro de esa curva es $2 \pi r$. Una condición para que pueda ser así es que la pendiente en cualquier punto de la circunferencia (R) sea igual a la de su homólogo en la curva interior y esto se cumple si la curva interior es la exterior escalada.

La demostración que hiciste es claramente correcta, mi duda estaba en si se podía afirmar de forma inmediata que la relación entre arcos y curvas era la misma (que sabemos que lo es pero se trataba de demostrarlo, no solo decirlo). Pienso que juntando convenientemente la demostración que hiciste, con la de la longitud de la curva del otro hilo y el hecho de que las pendientes son paralelas podría demostrarse.
La demostración de la longitud de la curva te permite establecer una relación entre la longitud y la pendiente y la constatación del paralelismo entre pendientes podría servir para dar validez a lo dicho en tu demostración inicial.


Otros saludos.

[ser humano]

Ah, vos estabas pensando en lo que empezamos a hacer aca. Habiamos empezado a considerar al arco para no caer en la "aproximacion" de la rectificacion de la demostracion que hice en el hilo del foro, pero me parece que por la definicion de perimetro, la rectificacion ya no es una aproximacion, sino que es lo que se busca medir (ya que el perimetro seria la longitud de la curva cerrada, y la longitud de una curva es la suma de las longitudes de los segmentos rectos que se ajustan a la cuerva, segun la demostracion hecha -de hecho en el enlace que deje la introduccion muestra por que el perimetro no la cantidad de puntos de la curva, y yo no le note error a eso aun-).

Mas saludos

[Stormkalt]

Bueno, la cuestión es esta:

Para calcular curvaturas Gaussianas se puede usar el método de calcular el versor normal a la superficie, calcular las matrices de los coeficientes de la primera forma fundamental y de la segunda forma fundamental y luego dividir por el determinante de estas matrices. El tema es que si bien sale un resultado genérico, no sé si ello sería una demostración para subir al blog o más bien un ejercicio. Se podría aplicar a una superficie en particular o a la ecuación general para cualquier superficie.

¡Saludos y espero sus comentarios!

[ser humano]

Si sale un resultado general, que claramente por ser general es aplicable a diferentes situaciones, entonces el mostrar como se llega a él es la demostracion de la validez de dicho resultado. A mi me parece que efectivamente es una demostracion.

Saludos

[Stormkalt]

Sí, el resultado es general, para cualquier R y r (en el caso del toro). Entonces lo voy a terminar de escribir, (son muchas ecuaciones) y lo posteo primero en el club para ver qué les parece.

¡Salute!

[Stormkalt]

Hola:
Tengo lista la demostración del teorema egregium de Gauss. ¿La subo directamente al blog o al club?
¡Salute!

[ser humano]

Como gustes. Si las herramientas matematicas que implementas son relativamente complejas, no tendria mucho sentido que lo pongas antes en el club, porque el unico que (me parece) que está a ese nivel (de los que participamos periodicamente) es Saplaya, y ultimamente no esta entrando por lo que veo. Si no usa herramientas muy complejas, entonces estaria bueno que lo pongas antes aca asi lo miramos entre todos.

Saludos

[Saplaya]

Si, si, entro habitualmente (los días que puedo), lo que pasa es que no siempre tengo (o sé) que decir; algunas demos de Stormkalt son “High level” para mi.

Respecto a publicar antes en el club, la idea era por aportar o detectar errores entre todos antes de ir al blog, pero tampoco veo problema en hacerlo directamente.

Saludos

[ser humano]

Ya te habia dado por perdido

[Saplaya]

Que va, que va.............. yo siempre al pie del cañón

[ser humano]

Me alegro