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  • #1

    Lemniscus

    La lemniscata es una curva similar al símbolo usado para el infinito. Puede obtenerse de diversas formas y obedece a la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    La lemniscata fue obtenida y explicada por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli; haciéndola a partir de la modificación algebraica de una elipse.
    El primer nombre dado a esta curva, que se lo debemos a J. Bernoulli, fue lemniscus, que significa algo así como tira, cinta, fibra...
    La lemniscata se genera, como dije, de varias maneras, aunque aquí lo haré de una sola; que consistirá en cortar convenientemente con un plano una superficie toroidal. El toro (torus) es una superficie que se asemeja a una cámara de auto, a una rosquita o donut.
    Para formar un toro se puede partir de una circunferencia de radio r cuyo centro se encuentra a una distancia R del origen de coordenadas, y hacer revolucionar esa circunferencia sobre el eje perpendicular a R.






    El plano de corte es el que pasa por el punto o y es paralelo a X, Z. Dicho plano es tangente al toro en el punto o. R es el segmento (a,b) y r el radio de la circunferencia pequeña (que revoluciona para formar la superficie). Se ve que el plano tiene por ecuación y= R-r. Pues da todos los puntos de igual valor Y para cualquier X, Z. La curva que se forma (la lemniscata) resulta de dicho corte
    Se puede demostrar que las ecuaciones paramétricas del torus son:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Nos interesa la intersección con el plano tangente a un punto interior del toro

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    De la segunda ecuación del sistema (1) y de (2) obtenemos

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Obsérvese que resulta [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] obviamente estamos considerando 0 < r < R ). Reemplazando (3) en la primera ecuación del sistema (1), y elevando al cuadrado:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Pues [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , tercera ecuación del sistema (1), entonces:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Entonces

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Por lo tanto

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Resulta

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Para que (8) sea la ecuación de una lemniscata, debe ser [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , es decir:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Porque entonces en (8) tenemos:

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    O bien

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Esta es la ecuación de una lemniscata en el plano de ecuación (2).
    Tomando coordenadas polares,

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

    Resulta

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    Es decir, la ecuación de una lemniscata en forma polar

    [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
    <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />
    Etiquetas: Ninguno/a
  • #2
    Genial Stormkalt!, genial! . Pero ya me trabe al principio . con que plano en particular tiene que intersecar el torus para que quede una lemniscata? Porque por mucho que lo miro, no veo por donde cortar para que quede eso, a menos que R=r (y tampoco estoy seguro ).

    Me encanta la geometria, me hiciste feliz por un rato! .

    Saludos
    \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

    Intentando comprender

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    • #3
      Hola ser humano:

      Muchas gracias por tu comentario. Me alegro que te haya interesado. A mí también siempre me apasionaron estos temas de geometría.
      En este link subo una imagen al respecto (mis disculpas por las imperfecciones en el esquema)

      El plano de corte es el que pasa por el punto o y es paralelo a X, Z. Dicho plano es tangente al toro en el punto o. R es el segmento (a,b) y r el radio de la circunferencia pequeña (que revoluciona para formar la superficie). Se ve que el plano tiene por ecuación y= R-r. Pues da todos los puntos de igual valor Y para cualquier X, Z. La curva que se forma (la lemniscata) resulta de dicho corte. No está demás aclarar que R llega hasta el centro de la circunferencia de radio r.
      ¡Saludos!
      <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

      Comentario

      • #4
        Estupenda Stormkalt. Yo también soy un fan de la geometría así es que, como dice ser humano, "me hiciste feliz".

        Por cierto, de nuevo con una aportación histórica, eso está muy bien.

        Saludos
        "Una creencia no es simplemente una idea que la mente posee, es una idea que posee a la mente"

        Comentario

        • #5
          Ahora si, totalmente comprendido . Creo que el esquema esta muy bien, y que seria util agregarlo al mensaje de la demostracion.

          Saludos
          \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

          Intentando comprender

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          • #6
            Hola:

            Qué bueno que también te haya servido, Saplaya. ¡Gracias por tu comentario!
            Ser humano, sí, me dí cuenta que el gráfico debería haber estado en la demostración. ¿Lo agrego aunque ya esté abajo?

            ¡Salud!
            <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

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            • #7
              Si, si dale. Asi cuando lo pases al blog ya lo haces con el articulo armado.

              \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

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              • #8
                Hola

                Bueno, ya cargué la imagen. Por cierto, ¿Cómo lo paso al blog? ¿Al mío?

                ¡Salute!
                <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

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                • #9
                  No se, como vos quieras. A mi me pareceria optimo agregarlo al blog de demostraciones, ya que ahi es donde por lo general vamos dejando las demostraciones que aca realizamos. Pero es decision tuya, ya que sos el autor .
                  Si queres ponerlo en el blog de demostraciones y todavia no sos editor de dicho blog, decime asi escribo para que empieces a serlo. Los mensajes en el blog se escriben igual que en cualquier blog de la web de fisica, si no te aparece la opcion "+escribir blog" es porque aun no sos editor.

                  Un saludo
                  \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

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                  • #10
                    Hola ser humano:

                    Ahora entiendo. Bueno, me gustaría ser editor del blog demostraciones.

                    ¡Saludos!
                    <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

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                    • #11
                      Ya esta hecha la peticion, revisa en "notificaciones", que ahi te va a aparecer la invitacion cuando te la manden.

                      Un saludo
                      \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

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                      • #12
                        Hola Stromkalt (por que el "kalt" ?)

                        Me alegro que hayas decidido ponerla en el blog de la comunidad .

                        Por lo general, para el que lee una de las demostraciones hechas tenga un acceso mas sencillo al resto de demostraciones, ponemos al final de la demostracion el enlace del listado de demostraciones realizados, si cuando te hagas un tiempo lo podes poner, mejor :

                        PARA VER EL LISTADO GENERAL DE DEMOSTRACIONES DEL BLOG PULSAR AQUI
                        \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

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                        • #13
                          Hola ser humano:
                          Cuando tenga un rato haré caso de tu sugerencia.
                          El nik es viejo, y para no olvidarme lo uso en todos lugares. No tiene mayor significado que del alemán: Storm (tormenta) kalt (fría)
                          ¡Saludos!
                          <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

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                          • #14
                            Justamente eso queria saber, que significaba "kalt".
                            Si me sale, luego escribo la demostracion de la ecuacion del toro.

                            Un saludo
                            \phi = \frac {1 + \sqrt 5} 2 \approx 1.6180339887498948...

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                            • #15
                              ¡Qué bueno!, yo estoy terminando la demostración de la curvatura Gaussiana para el toro (aunque no sé si ello es más bien un ejercicio, lo voy a plantear en el hilo de discusiones).

                              ¡Salute!
                              <br /> \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}<br /> {{n^2 }}} = \frac{1}<br /> {6}\pi ^2<br />

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                              La idea es que sea un lugar en donde aquellos que consideramos casi una necesidad el poder fundamentar de forma teórica las predicciones físicas basándose lo menos posible en la confianza hacia otras personas, podamos ir exponiendo las demostraciones que conocemos -o mejor aun, que podemos deducir- de las formulas que se implementan, y de esa forma poder ir aprendiendo unos de los otros.
                              Tipo: Público
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