Otras carreras laminas delgadas

[LauraLopez]

Dos laminas delgadas de espesor d cada una estan uniformemente cargadas con densidades volumetricas $-\rho$ y $+\rho$. Una particula de carga negativa e y masa m llega a la placa cargada positivamente con velocidad v formando un angulo $\alpha$ con la superficie de la lamina.

A) para que valores de la velocidad la particula no llegara a la lamina cargada positivamente

Tengo que considerar a las laminas como laminas infinitas donde el capmo generado por cada una de ellas sera $E = \frac{\rho}{2 \varepsilon }$ ??

igualmente no veo como encontrar una expresion del campo que generan ambas en funcion de la distancia a la que este la particula...

[Al2000]

Re: laminas delgadas

Si, toma las láminas como infinitas. Respecto a tu segunda pregunta... ¿no te fijaste que lo que escribiste es un valor constante? Cuando te des cuenta de eso, resuelve el problema como cualquier problema de lanzamiento de proyectiles, sólo que aquí el movimiento es acelerado en la dirección horizontal.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

pero si ese es el campo que genera una placa infinita aca tengo 2 placas infinitas y cada una genera un campo para cada lado....ademas dicho campo no deberia depender de la distancia que estoy a la placa? mas me acerque a la placa negativa va a empezar a afectarme mas ese campo

[arivasm]

Re: laminas delgadas

La verdad es que no entiendo el dibujo, sobre todo si lo comparo con el texto del enunciado: en él veo dos láminas gruesas (al menos en comparación con la distancia entre ellas), de anchura d, y que están en contacto. Veo también que la partícula se mueve por el interior de la lámina de la derecha!!! Es decir, un ejercicio de los complicados!!!

Desde luego, el ejercicio habría sido mucho más sencillo (y típico) si se tratase de dos láminas delgadas uniformemente cargadas, con cargas opuestas, y separadas una distancia d.

De ser así, como en el espacio entre láminas ambos campos son paralelos y del mismo valor, el campo resultante será $E=\rho/\epsilon_0$, con lo que la fuerza sobre la carga será $F=|e|\rho/\epsilon_0$ y su aceleración $\dst a= \frac{|e|\rho}{m\epsilon_0}$. A partir de ahí, como te ha dicho Al, se trata de un simple problema de tiro parabólico, con la única diferencia de que en vez de ser una aceleración vertical e igual a la de la gravedad es horizontal e igual a la anterior. Es decir, el problema podría enfocarse como si fuese un cálculo de altura máxima ("¿para qué valores de la velocidad la altura máxima será d?").

De todos modos, encuentro más interesante hacerlo por energías: como la aceleración es constante y horizontal, la componente vertical de la velocidad será constante e igual a $v\cos\alpha$. Entonces, puesto que en el punto "más alto" (el de máxima aproximación a la lámina negativa) la velocidad es estrictamente vertical, en él el módulo de la velocidad será $v\cos\alpha$. Por tanto, aplicando la conservación de la energía entre el punto de entrada a la lámina (que marcaré como 0) y el de máxima aproximación (que indicaré con f): $\frac{1}{2}mv^2\cos^2\alpha+U_f=\frac{1}{2}mv^2+U_0$. De aquí puedes despejar $U_0-U_f=e(V_0-V_f)$, y aplicarlo al caso en que el punto de máxima aproximación ciertamente toque la lámina, pues $V_0-V_f$ será la diferencia de potencial entre las láminas.

Como esta última es $\dst \frac{\rho}{\epsilon_0}d$ deberías encontrar que

$\dst v=\frac{1}{\sin\alpha}\sqrt{2\frac{|e|}{m}\frac{\rho}{\epsilon_0}d}$

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

Tengo dudas sobre el dibujo...yo tambien interpreto que es como decis al principio... o sea que la particula se mete en una de las laminas, pero luego veo que lo resolves de manera distinta... el enunciado dice que el d es el espesor de las laminas, y no la separacion entre las mismas... como seria el dibujo correcto entonces? o sea que quiere el enunciado? son 2 placas infinitas separadas una distancia d? o es como comentaste al principio?

[Al2000]

Re: laminas delgadas

Creo que tienes razón. Aparentemente la partícula viaja por el interior de una lámina de cierto grosor. Pero entonces la pregunta A) es contradictoria, puesto que la partícula ya llegó a la lámina positiva. ¿No dirá negativa en el enunciado? O tal vez será un error tipográfico... De todas formas deberías transcribir el enunciado completo para ver si las otras preguntas arrojan algo de luz sobre el asunto.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

Tienen razon copie mal eso del enunciado en negativa en lugar de positiva

las 2 preguntas que hace entonces son :

A) Para que valores de la velocidad la particula no llegara a la lamina cargada negativamente

B) En este caso, cuanto tiempo despues y a que distancia del punto A la particula dejara la lamina cargada positivamente?

[arivasm]

Re: laminas delgadas

Desde luego, si el problema es como indica el dibujo, con la partícula viajando a través de la lámina, el apartado B) se vuelve bastante más complicado (el A) no tanto, pues se puede abordar por conservación de la energía, aunque con otros potenciales diferentes de los que señalé), pues la aceleración dependerá de la posición, con lo que habrá que integrar la ecuación de movimiento, con una aceleración que será un polinomio de grado 1 en X.

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

Ya sea una u otra de las interpretaciones no las comprendo....una de las opciones ( el que sean 2 placas separadas una distancia d) es mas facil de resolver por lo que dicen , todavia no logro entenderla bien igualmente y con respecto a la otra forma tengo menos idea todavia...

Asi que antes que nada tengo que adoptar una postura de en cual interpretacion estamos para asi empezar a intentar resolverlo de esa manera....ustedes cual consideren que haya sido la idea del autor? la mas dificil esta a mi "nivel" digamos como para poder entenderla? creo que ya conocen el nivel de ejercicios que tiene el practico debido a los numerosos hilos que escribi.

Bueno espero que me aconsejen sobre cual interpretacion darle al enunciado y asi comenzare a resolverlo y preguntar las dudas sobre dicha resolucion

[arivasm]

Re: laminas delgadas

Yo me refería a que quizá sea esto:

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

de ser eso esa seria la forma "facil" no? y la solucion seria la que explicaste vos? digamos que el grafico del enunciado estaria mal entonces y tambien redactado mal cuando habla de espesor d en realidad seria una separacion d?
Me aconsejas que intente hacerlo adoptando esa interpretacion?

[arivasm]

Re: laminas delgadas

Sí, ésta sería la interpretación fácil y que conducía al resultado que señalé antes. Sin duda, te aconsejo que intentes antes éste. Por cierto que, visto el apartado B), ganarás tiempo si lo haces por cálculos cinemáticos, como te dijo Al, mejor que por energías. La razón es general: salvo casos peculiares, puesto que el tiempo no aparece en la energía, siempre que nos pidan cálculos relativos a él el uso de energías como mucho ayudará, pero no resolverá el ejercicio. En este caso sucede lo mismo con la distancia "vertical".

[Al2000]

Re: laminas delgadas

Estuve jugando un rato con las expresiones y se puede obtener una relación sencilla para la coordenada X (horizontal). Si se coloca el origen de coordenadas en el plano limítrofe entre los planos negativo y positivo, el campo en la región de interés (puntos internos del plano positivo) es

- Plano negativo, puntos exteriores: $\dst \boldsymbol E_- = - \frac {\rho d}{2 \epsilon_0}\, \boldsymbol i$

- Plano positivo, puntos interiores: $\dst \boldsymbol E_+ = \frac \rho {\epsilon_0} \left (x - \frac d 2 \right )\, \boldsymbol i$

- Campo resultante puntos interiores plano positivo: $\dst \boldsymbol E = \frac \rho {\epsilon_0} (x-d)\, \boldsymbol i$

Por lo tanto la aceleración en X del electrón es: $\dst a_x = - \frac {\rho e}{\epsilon_0 m_e} (x-d)$

Queda la ecuación diferencial $\dst \frac {d^2 x}{dt^2} + \omega ^2 (x-d) = 0$, con $\dst \omega = \sqrt {\frac {\rho e}{\epsilon_0 m_e}}$, y cuya solución es $\dst x = d + C_1 \, \mathrm {sen} \, \omega t + C_2 \cos \omega t$. Poniendo que $x(0) = d,\,\,v_x(0) = v_{0x}$, se obtienen entonces

$$x_{(t)} = d + \frac {v_{0x}} \omega \, \mathrm {sen} \, \omega t$$

$$v_{(t)} = v_{0x} \cos \omega t$$

Bueno, hasta allí lo dejo. Espero no haber cometido algún error.

Saludos,

Al

[arivasm]

Re: laminas delgadas

Sí, está claro que si el problema se enfoca como aparece en el dibujo (es decir, si la carga se mueve -libremente- por el interior del dieléctrico) la aceleración (en el interior del dieléctrico positivo) se corresponderá, en el sentido X, con un MAS, cuyo punto de equilibrio estará en el borde derecho del dieléctrico y de amplitud $v_0\sin\alpha/\omega$ (algo que se puede obtener a partir del hecho de que la partícula entra por el punto de equilibrio, con lo que la componente x de la velocidad en ese lugar -puesto que el MAS es en sentido X- será el producto de la amplitud por $\omega$-). En el sentido Y el movimiento es uniforme.

Bueno, siendo más precisos, debería decir que el movimiento de la partícula será la composición de un MAS en X con uno uniforme en Y.

De esa manera, es fácil ver que la respuesta de A) será aquélla que haga que dicha amplitud sea igual a $d$. Y B) también se vuelve fácil, el tiempo que piden será el correspondiente a media "oscilación", es decir, $t=\pi/\omega$, y la distancia solicitada será $y=v_{0,y}t=\pi v_0\sin\alpha/\omega$.

[LauraLopez]

Re: laminas delgadas

lo que puso AL es para la solucion dificil no? bueno empezare intentando resolver y ver como lo hiciste para la forma facil