Divulgación Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

[inakigarber]

Buenas tardes;
Estoy leyendo el interesante libro "biografía de la física" de George Gamow, en el que entre otras cuestiones trata sobre el trabajo de Maxwell en el electromagnetismo.
Menciona un símil al circuito L C en el que la energía del sistema va oscilando entre campos magnéticos (L) y eléctricos (C), de manera que cuando L es máximo C es mínimo y viceversa, de forma análoga a un péndulo en que la energía del sistema va oscilando entre un máximo de energía potencial (péndulo más alto, velocidad nula) y un mínimo de energía potencial (péndulo más bajo, velocidad máxima). En ausencia de otras pérdidas el sistema oscilara indefinidamente. Hasta aquí todo bien.
Volviendo al circuito L C la energía va oscilando entre un campo eléctrico máximo (que se corresponderá con un valor de L mínimo) y la situación inversa (C mínimo L máximo).
Sin embargo cuando se representa la onda electromagnética se representa como dos ondas senoidales perpendiculares entre si y también al sentido de propagación de la onda (hasta aquí no hay problema) pero cuyos valores máximos coinciden en el tiempo.
Es aquí donde me pierdo y me da la impresión que me falta algo.
¿Es incorrecto lo que he dicho? ¿Qué me falta por entender?.
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Contribuiré con lo que pienso al respecto. Si meto la pata, agradeceré infinitamente que se me corrija!

Sin entrar en el símil. Como bien dices, si pensamos en el caso de una onda plana, en cada punto del espacio los campos E y B oscilan en fase, de manera que la densidad de energía electromagnética también oscila (con frecuencia doble a la de la onda). Ahora bien, eso no sucede a la vez en todos los puntos del espacio: en un instante dado hay puntos en los que la densidad de energía electromagnética es máxima, mientras que en otros es nula, y en los demás posee valores intermedios. La propagación de la onda también implica transmisión de energía electromagnética.

Ahora trataré de entrar en el símil. Obviamente, un circuito LC cumple las ecuaciones de Maxwell, del mismo modo que sucede con una onda EM en el vacío. Una diferencia esencial está en que el primero, al menos en el caso ideal, posee dos lugares bien diferentes: la bobina, que sólo puede almacenar energía magnética, y el condensador, que sólo puede almacenar energía eléctrica. La oscilación del circuito se debe a la transferencia de energía entre esos dos lugares. Entiendo que posiblemente Gamow se refiera a algo así como que en el caso de la onda EM cada punto puede actuar como si fuese ambas cosas, transfiriéndose la energía (claro que ahora sin mediar cargas) entre puntos vecinos: bajo esta perspectiva, dos puntos adecuados serían aquéllos separados una distancia igual a media longitud de onda, según la dirección de propagación de la onda; cuando uno de ellos tiene su "condensador" y su "bobina" totalmente cargados el otro los tiene completamente descargados. Eso sí, una diferencia esencial está en que aquí la energía no retrocede...

Como dije antes, espero que los tiros vayan por ahí. Seguro que hay buenas cabezas por aquí que nos pueden ilustrar mejor!

Saludos!

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Buenas noches;
No tengo ahora delante el libro al que me refería, pero hacía alusión al circuito oscilante, como los que se utilizan en emisoras de radio. En estos circuitos la energía va oscilando entre un campo magnético y un campo eléctrico. Al valor máximo del primero le corresponde el mínimo del segundo y viceversa. Sin embargo las representaciones que veo de ondas electromagnéticas son del tipo de esta figura que adjunto.
fuente wikipedia.
Aquí vemos que los campos son oscilantes pero coinciden sus valores máximos y sus valores mínimos. ¿No es esto incompatible al funcionamiento del circuito L C? y si es asi ¿Como se mantiene la ley de conservación de la energía?
Siempre se representa así, por lo que supongo que me falta algo por entender.
Saludos y gracias.

[Alriga]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

... Menciona un símil al circuito L C en el que la energía del sistema va oscilando entre campos magnéticos (L) y eléctricos (C), de manera que cuando L es máximo C es mínimo y viceversa, ...
... Volviendo al circuito L C la energía va oscilando entre un campo eléctrico máximo (que se corresponderá con un valor de L mínimo) y la situación inversa (C mínimo L máximo) ...

Iñaki, aquí no te expresas del todo bien: L es el coeficiente de autoinducción de la bobina y no varía, como tampoco varía C la capacidad del Condensador. Lo que varía de forma alternativa es la energía instantánea almacenada por ambos elementos.

* La inductancia almacena energía en forma de campo magnético en función de la corriente i(t) que la atraviese en ese momento:
$e_L(t)=\dfrac 1 2 \ L \ [i(t)]^2$

* El condensador almacena energía en forma de campo eléctrico en función de la diferencia de potencial u(t) al que esté sometido en ese momento:
$e_c(t)=\dfrac 1 2 \ C \ [u(t)]^2$

Cuando una energía es mínima la otra es máxima y viceversa.

Saludos.

[Julián]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Un aspecto importante, la variación de los campos en ambos elementos es temporal y no temporal - espacial como requiere una variable para entrar como solución de una ecuación de onda.
La teoría de circuito es una simplificación de las ecuaciones de maxwell donde se trabaja con parámetros concentrados a diferencia de parámetros distribuidos. Si vemos a un circuito LC ideal a través de parámetros concentrados donde tenemos una bobina que concentra toda la característica de autoinducción, es decir el parámetro que concentrará la energía electrocinética y al capacitor como el elemento que concentra todo la característica de almacenamiento potencial sin un elemento que realice una transformación energética, resitencia. No hay onda.
Puede verse esto por el teorema de poynting donde se observará que no existe energía saliente ni entrante del sistema sino y su densidad de energía es constante.

Pero llendo a los parámetros distribuidos debemos aplicar Maxwell y ahí sí podemos "observar" la onda. Recordando las condiciones de frontera de los campos entre un medio conductor y un dieléctrico:

https://es.wikipedia.org/wiki/Condic...magn%C3%A9tico

$\varepsilon \vec{E} . {\vec{n}}_{12} = {\rho}_{2}$ donde $\rho$ es la densidad de carga superficial, y como el conductor es perfecto no existe campo en el interior del conductor por lo que en la frontera interior tenemos la densidad de carga y en el exterior el campo eléctrico.

Para el campo magnético tenemos que:

${\vec{n}}_{12} \times \frac{ \vec{B}}{\mu} = \vec{J}$


Pues en la siguiente imagen he dibujado en rojo el campo eléctrico y en verde el campo magnético, en azul el vector de poynting cuya dirección es la dirección de la onda EM. Por cierto del lado interno del conductor tenemos la densidad de carga y la densidad de corriente:



Pues bien, desde que el cap está cargado, existe una diferencia de densidad de carga entre las placas y no en el resto del conductor:



y luego esa diferencia de densidad de carga se desplazan, como podemos ver en la imagen primera anterior, disminuyendo la densidad de carga entre las placas de manera tal del campo eléctrica pero esa variación de carga se desplazaría a lo largo del conductor, Produciendo una densidad de corriente. ¿Se nota como cambia el análisis si hacemos un análisis punto a punto y no con parámetros distribuidos.

Es decir, hay que hacer un análisis punto a punto en el conductor. Y en este caso es mejor operar con los potenciales de retardo.

https://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_retardado

Aún así, los vectores campo magnético y campo eléctrico están en fase solamente en un dieléctrico perfecto. En medios con conductividad comienza a existir una permitividad compleja que des fasa los campos y es algo evidente porque todos confirmarán que en un circuito RLC la corriente no está en fase con la diferencia de potencial. Ahora este caso ameritaría un superconductor, y ahí por lo que he desarrollado la onda se transmite con los campos en fase.

[skynet]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

a mi también me parece sorprendente que no exista un desfase de 90º entre los campos eléctrico y magnético, si lo hubiera se cumpliría en cada punto que la intensidad del campo eléctrico sería proporcional a la variación del campo magnético y viceversa, de modo que los campos se van generando mutuamente ... pero, sin el desfase, parece como que los dos campos simplemente se transmiten en paralelo y no se cumplen las relaciónes mutuas entre las intensidades de campo y sus variaciones de modo que parecen ser independientes el uno del otro ...

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

a mi también me parece sorprendente que no exista un desfase de 90º entre los campos eléctrico y magnético...

Entiendo que estás pensando en que debería haber una oscilación entre las densidades de energía magnética y eléctrica, al estilo del circuito LC que indicó Iñaki. Además de que no se cumplirían las ecuaciones de Maxwell no tendríamos una onda en propagación.

En esta página aparece un desarrollo muy sencillo sobre la onda harmónica plana: http://laplace.us.es/wiki/index.php/...a_onda_viajera

Es fácil ver a partir de dicho desarrollo que si no hubiese un desfase nulo entre los términos oscilantes (nada impide que se superpongan términos estáticos) eléctrico y magnético no se cumplirían ni la ley de Faraday ni la de Ampère-Maxwell.

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Iñaki, aquí no te expresas del todo bien: L es el coeficiente de autoinducción de la bobina y no varía, como tampoco varía C la capacidad del Condensador. Lo que varía de forma alternativa es la energía instantánea almacenada por ambos elementos.... Cuando una energía es mínima la otra es máxima y viceversa.
Saludos.

Gracias por tu respuesta.
Tienes razón no me expresé con propiedad. Tanto L como C son valores fijos y representan al coeficiente de auto-inducción y a la capacidad respectivamente. Ahora bien, en este circuito los valores de energía (como tu bien dices) van alternándose de manera que cuando uno es máximo el otro es mínimo y viceversa (no son simultáneos) . Eso me impide entender porque cuando una onda electromagnética se propaga ambos tienen valores máximos y mínimos simultáneamente. Creo que eso tiene que ver con la información del enlace que arivasm y que por falta de tiempo aun no he revisado.
Voy a dedicarle un tiempo a esta información.
Saludos y gracias.

- - - Actualizado - - -

Gracias por tu comentaría, pero me he perdido en tu comentario. O sea que voy por partes cuando dices;

Un aspecto importante, la variación de los campos en ambos elementos es temporal y no temporal - espacial como requiere una variable para entrar como solución de una ecuación de onda.
La teoría de circuito es una simplificación de las ecuaciones de maxwell donde se trabaja con parámetros concentrados a diferencia de parámetros distribuidos. Si vemos a un circuito LC ideal a través de parámetros concentrados donde tenemos una bobina que concentra toda la característica de autoinducción, es decir el parámetro que concentrará la energía electrocinética y al capacitor como el elemento que concentra todo la característica de almacenamiento potencial sin un elemento que realice una transformación energética, resitencia. No hay onda....

Me gustaría que me aclararas este punto. En el circuito LC hay auto-inducción y capacitor. Hay transferencia continua de energía entre ambos, de manera que cuando uno está al máximo de energía el otro está al mínimo y viceversa (no son simultáneos en el tiempo) , luego hay una onda. Sin embargo, el el esquema que añadí en mi segundo post ambos campos se propagan (o al menos eso me parece) de manera que para una posición del espacio dada siempre coinciden valores máximos y mínimos simultáneamente en el tiempo.
Creo que es aquí donde tengo el problema.
¿Que debo hacer?

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

En el circuito LC hay auto-inducción y capacitor. Hay transferencia continua de energía entre ambos, de manera que cuando uno está al máximo de energía el otro está al mínimo y viceversa (no son simultáneos en el tiempo) , luego hay una onda.

Un péndulo oscilando no es lo mismo que una partícula desplazándose. Un circuito oscilando no es lo mismo que una onda EM.

Insisto: en el LC los dos componentes no ocupan el mismo lugar en el espacio. El símil con una onda EM es que ésta se parecería a que todo el espacio estuviese lleno de condensadores e inducciones.

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Un péndulo oscilando no es lo mismo que una partícula desplazándose. Un circuito oscilando no es lo mismo que una onda EM...
.

Totalmente de acuerdo. Por añadir algo, el péndulo no es la oscilación. De igual manera que la cuerda de la guitarra no es la nota que sale de la cuerda.

...Insisto: en el LC los dos componentes no ocupan el mismo lugar en el espacio. El símil con una onda EM es que ésta se parecería a que todo el espacio estuviese lleno de condensadores e inducciones.

Entonces, si pudiéramos construir circuitos LC de tamaño cero ¿significa esto que tanto la bobina como el condensador "pulsarían en fase"? Si es así tendrían valores máximos Y nulos de energía (potencial en el condensador y magnética en la bobina) simultáneamente. ¿cómo se conserva la energía en estas condiciones?
Saludos.

[arivasm]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Entonces, si pudiéramos construir circuitos LC de tamaño cero ¿significa esto que tanto la bobina como el condensador "pulsarían en fase"?

No, no. La bobina de un punto pulsa con el condensador de otro punto, y el condensador del primero pulsa con la bobina del segundo (en realidad la correspondencia no es con sólo dos puntos, sino con todos los del espacio).

Como dije antes, en las ecuaciones de Maxwell juegan un papel central los rotacionales y las divergencias de los campos, esto es, sus variaciones espaciales.

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Supongo que a costa de cometer equivocaciones, iré aprendiendo. Aunque si alguna vez llego a entenderlo lamentaré no haber sido lo bastante inteligente como para haberlo entendido antes.
De momento, este asunto me ha servido para recuperar y releer un interesante libro "El mundo y sus demonios" en el que Carl Sagan habla (entre otras cosas) sobre Maxwell y sus leyes. Copio parte del texto que habla al respecto (los números que aparecen son míos). No me cabe duda de que las definiciones que da son correctas pero quisiera me lo confirmarais.
"....El triángulo, llamado nabla (por su parecido con cierta lira antigua de Oriente Medio), expresa cómo varían los campos eléctrico y magnético en el espacio tridimensional...
1)
La primera de las cuatro ecuaciones de Maxwell expresa cómo un campo eléctrico, debido a cargas eléctricas (por ejemplo, electrones), varía con la distancia (se debilita cuanto más se aleja). Pero, cuanto mayor es la densidad de carga (cuantos más electrones haya, por ejemplo, en un espacio determinado), más fuerte es el campo.
2)
La segunda ecuación nos dice que no se puede hacer una afirmación comparable en magnetismo, porque las «cargas» magnéticas (o «monopolos» magnéticos) de Mesmer no existen: si se sierra un imán por la mitad, no habrá un polo «norte» aislado y un polo «sur» aislado; cada pieza tiene ahora sus polos «norte» y «sur».
3)
La tercera ecuación nos dice cómo un campo magnético cambiante induce un campo eléctrico.
4)
La cuarta describe lo contrario: cómo un campo eléctrico cambiante (o una corriente eléctrica) induce un campo magnético.
Las ecuaciones de Maxwell para el vacio."

De manera que el operador $\nabla$ es una magnitud vectorial (de otra forma el producto x) no tendría sentido. ¿La función que define este operador es la misma en todas las ecuaciones?.
Supongo, que las notaciones con punto representan derivadas con respecto al tiempo.
¿Es por aquí por donde debo seguir?

[Lorentz]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Supongo que a costa de cometer equivocaciones, iré aprendiendo. Aunque si alguna vez llego a entenderlo lamentaré no haber sido lo bastante inteligente como para haberlo entendido antes.

No seas tan duro contigo mismo, nadie ha nacido sabiendo.

¿La función que define este operador es la misma en todas las ecuaciones?.

No entiendo del todo tu pregunta pero a ver si esto te responde:

Las dos primeras ecuaciones están escritas del siguiente modo en medios materiales:

$\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D}= \rho$

$\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{B}=0$

Esto representa una divergencia, qué físicamente señala las fuentes de campo. Te indican que el campo eléctrico está causado por cargas eléctricas y que el magnético no tiene monopolos, sus líneas de campo se cierran.

Cuando usas coordenadas cartesianas lo que haces es como si fuera un producto escalar:

$\dst \vec{\nabla}=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$

$\dst \vec{D}=(D_x,D_y,D_z)$

$\dst \vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$

Señalo cartesianas porque en coordenadas curvilíneas tendrías que tener en cuenta los coeficientes métricos.

Las otras dos ecuaciones son:

$\dst \vec{\nabla} \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

$\dst \vec{\nabla} \times \vec{H}= \vec{J}+ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

Estos son rotacionales y con lo que se identifican es con fuentes vórtex, indican una rotación del campo alrededor de un eje. (Esto no es riguroso pero es para hacerte una idea).

De nuevo esto sería lo siguiente:

$\dst \vec{\nabla}=\left( \frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z} \right)$

$\dst \vec{E}=(E_x,E_y,E_z)$

Puedes pensar en esta operación como un pseudodeterminante:

$\dst \vec{\nabla} \times \vec{E}=\left| \begin{array}{ccc} \vec{u_x} & \vec{u_y} & \vec{u_z} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ E_x & E_y & E_z \end{array} \right|$

Donde $\vec{u_x}$ , $\vec{u_y}$ y $\vec{u_z}$ son los vectores unitarios cartesianos.

De nuevo para hacer estas operaciones en coordenadas curvilíneas tendrías que introducir coeficiente métricos, pero eso no me parecía relevante para este hilo.

Supongo, que las notaciones con punto representan derivadas con respecto al tiempo.

No sé a qué puntos te refieres, pero si lo que dices es algo del estilo de $\dst \dot{\vec{D}}$, sí quieren decir eso.

Un saludo

[Alriga]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

... De manera que el operador $\nabla$ es una magnitud vectorial (de otra forma el producto x) no tendría sentido. ¿La función que define este operador es la misma en todas las ecuaciones?.
Supongo, que las notaciones con punto representan derivadas con respecto al tiempo.
¿Es por aquí por donde debo seguir? ...

Iñaki, como te explica Lorentz $\nabla$ (Nabla) es solo un símbolo matemático que no tiene un significado simple “per se”, pero que es útil porque utilizándose de formas diferentes puede servir para expresar varios operadores matemáticos, los más importantes que se pueden expresar mediante el símbolo Nabla son:

El Gradiente
Se aplica a un campo escalar y su resultado es un campo vectorial, (“el gradiente de un escalar es un vector”). Indica la dirección en la cual el campo escalar varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación del campo en la dirección de dicho vector gradiente.

La Divergencia
Se aplica a un campo vectorial y su resultado es un campo escalar, (“la divergencia de un vector es un escalar”). La divergencia mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control.

El Rotacional
Se aplica a un campo vectorial y su resultado es otro campo vectorial, (“el rotacional de un vector es otro vector”). Muestra la tendencia de un campo vectorial a inducir rotación alrededor de un punto.

La Laplaciana
Se aplica a un campo escalar y su resultado es otro campo escalar, (“la Laplaciana de un escalar es otro escalar”). La Laplaciana es la divergencia del gradiente, y aparece en muchísimos campos de la Física.

Que para estos 4 conceptos diferentes se use el mismo símbolo matemático, (Nabla), es un ejemplo de lo ahorrativos que son los matemáticos . En los enlaces que te he proporcionado de la Wikipedia explica las 4 formas diferentes de usar el mismo símbolo para cada uno de los 4 conceptos diferentes.

Saludos.

[inakigarber]

Re: Sobre ondas electromagnéticas y circuito oscilante L C

Gracias vuestras respuestas. No se si voy a poder responder a todos.
Siguiendo el enlace que apuntó Arisvam.
En el enunciado aparece la siguiente expresión;

$$\vec{E}=\vec{E_o} cos(\omega t-kz) \vec{u_x}$$

De manera que esto representaría a una onda que avanza por el eje x cuyas variables son $t,z, \omega$, y $k$.
Entiendo que se refiere a una onda que se propaga sobre el eje x y cuyo valor depende de las variables arriba mencionadas. ¿Es correcto?
En el apartado 2 al mencionar el campo magnético tenemos;

$$\nabla x E=\begin{pmatrix} i & j &k\\ 0 & 0 & \frac{\partial }{\partial z}\\ E_{(z,t)} &0 &0\end{pmatrix}$$

cuya solución aplicando determinantes y derivadas parciales sería

$$\frac{\partial E }{\partial z}=k sen(\omega t-k z)$$

En este caso tanto el operador $\nabla$ y el campo son vectores y su producto es perpendicular a ambos.
Entonces;

$$\nabla x E=k sen(\omega t-k z)$$

Ahora bien, la ley de Faraday establece;

$$\vec{\nabla} x \vec{E}=-\frac{\partial B}{\partial t}$$

, de lo cual establecemos $-\frac{\partial B}{\partial t}=k sen(\omega t-k z)$
Para determinar el valor del campo con respecto al tiempo se calcula la integral.
que sale;

$$B=\frac{k cos(\omega t-kz)}{\omega}\vec{u_y}$$

Al amparo de estas leyes los campos eléctrico y magnético pulsan en fase.
El malentendido por mi parte viene del circuito LC arriba mencionado y también por el hecho de que al aplicar una corriente alterna a una auto inducción (una bobina) esta tiende a atrasar el campo eléctrico, de manera que tiende a atrasar el campo eléctrico

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Iñaki, como te explica Lorentz $\nabla$ (Nabla) es solo un símbolo matemático que no tiene un significado simple “per se”, pero que es útil porque utilizándose de formas diferentes puede servir para expresar varios operadores matemáticos, los más importantes que se pueden expresar mediante el símbolo Nabla son:

Gradiente...
Divergencia...
Rotacional...
Laplaciana...

Entiendo que en las Ecuaciones de Maxwell
1) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{E}$ nabla es una divergencia;
2) Ley de Gauss $\vec \nabla \cdot \vec{B}$ nabla también es una divergencia;
3) Ley de Faraday $\vec \nabla x \vec{E}$ nabla es un rotacional;
4) Ley de Ampere $\vec \nabla x \vec{B}$ nabla también es un rotacional.
¿Estoy en lo cierto?