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Hilo: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

  1. #1
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    Predeterminado Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Buenos días, estaba leyendo un libro de Mecánica Cuántica y me he encontrado con un ejercicio que sinceramente no soy capaz de resolver.

    Calcule los eigenvectores y eigenvalores de {\sigma}_{n} siendo {\sigma}_{n} =
     \begin{pmatrix} 
cos(\theta) & sin(\theta) \\ 
sin(\theta)  & -cos(\theta) 
\end{pmatrix}

    Asuma que |{\lambda}_{1 }> =  \vec{v} = (cos(\alpha), sin(\alpha)) en forma de vector columna al ser un ket, donde alpha es un parámetro desconocido.

    Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas. Resumiendo intenté hallar los autovalores y los autovectores a partir de la ec. \sigma|{\lambda}_{1 }> = \lambda |{\lambda}_{1 }> pero me quedé atascado.Muchas gracias!!

  2. #2
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Cita Escrito por Alofre Ver mensaje
    Debo señalar que en el libro no enseñan diagonalización, o sea que supongo que habrá otra forma de hacerlo pero yo me he quedado atascado en todas.
    Si es un libro de cuántica no tiene porque tener algo básico de matemáticas, si no sería imposible escribir un texto de cualquier cosa avanzada.

    ?Has obtenido los autovalores? Para los autovectores necesitaras alguna propiedad trigonométrica que se suelen olvidar, tipo ángulo doble, ángulo mitad,... Pero obtener los 2 autovalores debería ser fácil si tienes en cuenta que det(\sigma_n - \lambda I) = 0
    Última edición por Dj_jara; 25/06/2018 a las 11:51:46.
    "No one expects to learn swimming without getting wet"

    \displaystyle E_o \leq \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}

  3. El siguiente usuario da las gracias a Dj_jara por este mensaje tan útil:

    Alofre (25/06/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    ¡Hola!

    Como dice Dj_jara, en los libros de mecánica cuántica no suele explicarse nada de álgebra lineal, cálculo o ecuaciones diferenciales porque son cosas que se dan por sabidas. Si quieres puedes mirarte la diagonalización en este documento. Es bastante aplicado, ni siquiera habla de espacios vectoriales, pero tiene ejemplos resueltos y te servirá para poder avanzar un poco más en el libro que estás siguiendo.
    Última edición por Weip; 25/06/2018 a las 12:51:09.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  5. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    Alofre (25/06/2018)

  6. #4
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
    En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
    En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
    cos(\theta-\alpha)={\lambda}_{1}*cos(\alpha)
    sin(\theta-\alpha)={\lambda}_{1}*sin(\alpha)

    Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!

  7. #5
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Cita Escrito por Alofre Ver mensaje
    Disculpas porno explicarme bien, con un libro de Mecánica Cuántica me refería a un libro más o menos divulgativo, que por ejemplo, explica cosas bastante elementales como el producto escalar.
    En primer lugar muchas gracias por el documento, me lo leeré (o al menos lo intentaré :-))
    En segundo lugar yo llegué al siguiente sistema:
    cos(\theta-\alpha)={\lambda}_{1}*cos(\alpha)
    sin(\theta-\alpha)={\lambda}_{1}*sin(\alpha)

    Alguien podría darme una idea de como continuar? Muchas gracias!!
    Si divides la primera ecuación con la segunda tendrás algo que sólo depende de alfa y theta, si elevas las dos ecuaciones al cuadrado y las sumas tendrás algo que sólo depende the lambda.
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    \displaystyle E_o \leq \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}

  8. El siguiente usuario da las gracias a Dj_jara por este mensaje tan útil:

    Alofre (25/06/2018)

  9. #6
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Ya veo, muchas gracias!!

  10. #7
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Cita Escrito por Alofre Ver mensaje
    Calcule los eigenvectores y eigenvalores de {\sigma}_{n} siendo

    \sigma_n= \begin{pmatrix} 
\cos \theta & \sin \theta \\ 
\sin \theta & -\cos \theta 
\end{pmatrix}
    Uso "x" en vez de "\theta" para no escribir tanto LateX. Si la matriz es

    \sigma_n=\begin{pmatrix}\cos x & \sin x \\ 
\sin x & -\cos x 
\end{pmatrix}

    El polinomio característico det(\sigma_n - k I) = 0 queda:

    \begin{vmatrix}\cos x- k & \sin x \\ 
\sin x & -\cos x-k 
\end{vmatrix}=0

    (\cos x-k)(-\cos x-k)-\sin^2 x = 0

    k^2-(\sin^2 x+\cos^2 x)=0

    k^2=1

    Por lo tanto los valores propios (eingenvalues) son

    k=-1

    k= 1

    La matriz diagonalizada está formada por los valores propios en la diagonal, por lo tanto será:

    D=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 
0 & 1 
\end{pmatrix}

    Cada vector propio (eingenvector) asociado al valor propio se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo (A-k I)\vec v=\vec 0

    Para k=-1 planteando el sistema y resolviéndolo, obtengo como vector propio.

    \vec v_1=\begin{pmatrix} -\tan \dfrac x 2 \\ 
1 
\end{pmatrix}

    Y para k=1 obtengo como vector propio:

    \vec v_2=\begin{pmatrix} \cot \dfrac x 2 \\ 
1 
\end{pmatrix}

    NOTA: lo he comprobado y todo es correcto.

    Sobre este tema puede interesarte el hilo Operador asociado a determinados valores y vectores propios

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 27/06/2018 a las 09:05:05. Razón: Añadir cálculo de los vectores propios

  11. #8
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Esto ... tres cosas
    - "A" en tu ejemplo que es?
    - D se tendría que diagonalizar así o también podría ser:
     \begin{pmatrix} 
1 & 0 \\ 
0 & -1 
\end{pmatrix}
    - En el libro el resultado es

    Autovector 1 = (cos x/2, sin(x/2))
    Autovector 2 = (-sin(x/2), cos(x/2))

    Muchas gracias y disculpad tantas preguntas

  12. #9
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Buenas

    -A es la matriz que quieres diagonalizar

    - Se podría diagonalizar perfectamente de ese modo, a cada autovalor hay un autovector asociado y el orden que les pongas sólo te cambiará el orden de la base de autovectores que estés usando.

    - Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes.
    Última edición por Lorentz; 27/06/2018 a las 12:51:20.
    "An expert is a person who has made all the mistakes that can be made in a very narrow field."

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  13. 2 usuarios dan las gracias a Lorentz por este mensaje tan útil:

    Alofre (03/07/2018),Alriga (27/06/2018)

  14. #10
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Cita Escrito por Alofre Ver mensaje
    ... - "A" en tu ejemplo que es? ...
    En la expresión \boxed{A=P D P^{-1}} en nuestro caso particular la matriz A es la matriz que aquí hemos llamado \sigma_n y que queremos diagonalizar. La solución que he obtenido en #7 es:

    1)

    D=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 
0 & 1 
\end{pmatrix}

    P=\begin{pmatrix} -\tan \dfrac x 2 & \cot \dfrac x 2 \\ 
1 & 1 
\end{pmatrix}

    Como correctamente te explica Lorentz, si intercambias los autovalores, hay que intercambiar los autovectores, por ello es igual de correcto:

    2)

    D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 
0 & -1 
\end{pmatrix}

    P=\begin{pmatrix} \cot \dfrac x 2 & -\tan \dfrac x 2 \\ 
1 & 1 
\end{pmatrix}

    Como te explica Lorentz, cada vector propio lo puedes multiplicar por una constante y seguirá siendo un vector propio:

    Cita Escrito por Lorentz Ver mensaje
    ... Si te das cuenta, multiplicando por coseno en uno y multiplicando por seno en el otro te quedan los mismos resultados. Hay infinitos autovectores pero se escoge una base de ellos, de modo que tanto los que puso Alriga como los que ponen en el libro son equivalentes ...
    Por lo tanto la opción (2) es equivalente a

    D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 
0 & -1 
\end{pmatrix}

    P=\begin{pmatrix} \cos \frac x 2 & -\sin \frac x 2 \\ 
\sin \frac x 2 & \cos \frac x 2 
\end{pmat...

    Ahora si te apetece, como ejercicio para practicar, calcula la matriz inversa de P, (en este caso es muy fácil porque la matriz es 2x2 y el determinante es 1)

    P^{-1}=\begin{pmatrix} \cos \frac x 2 & -\sin \frac x 2 \\ 
\sin \frac x 2 & \cos \frac x 2 
\end...

    Con la matriz inversa que obtengas, haz los productos P D P^{-1}. Si no yerras en los cálculos, deberás obtener como resultado de esos productos la matriz original \sigma_n

    Saludos.
    Última edición por Alriga; 28/06/2018 a las 15:13:05. Razón: LaTeX

  15. #11
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    En efecto, lo que te ha escrito Alriga es a lo que me refería (pero de una forma mucho más clarificadora que la mía )

    Si tienes alguna duda más no dudes en preguntar
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  16. 2 usuarios dan las gracias a Lorentz por este mensaje tan útil:

    Alofre (03/07/2018),Alriga (27/06/2018)

  17. #12
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    Predeterminado Re: Autovectores, autovalores y operadores para el espín

    Vale, muchas gracias por todo, creo que lo he entendido

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