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Hilo: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

  1. #1
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    Predeterminado Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    Hola tengo dificultades con este ejercicio

    Una cadena uniforme de longitud total a tiene una posición 0<b<a y está pendiendo por el extremo de una mesa sin rodamiento. Probar que si la cadena parte del reposo, el tiempo que tarda en deslizarse totalmente sobre la mesa es:


    \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{a}{g}}\ln \left(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right)

    Me han sugerido que divida en dos la cadena, siendo el punto de partición el punto en donde cambia de dirección la cadena. Obviamente debo aplicar la segunda ley de Newton a cada parte y tener en cuenta que en todo momento, la aceleración del centro de masa de la parte horizontal de la cadena (parte de la cadena que esta sobre la mesa) coincide con la aceleración del extremo que esta sobre la mesa y que la aceleración del centro de masa de la parte vertical de la cadena.

    Pero no me resulta del todo claro.


    Saludos

  2. #2
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    si resuelves el problema estatico, por la segunda ley de Newton llegas a que la aceleración de la cadena en funcion de la poscion b es

    a_o=g\dfrac{a-b}{a}

    lo que convierte a a_o en una aceleración en función de la posición b que es funcion del tiempo para hallar b(t)

    a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}

    esta es una ecuación diferencial que se resuelve usando los puntos 7 y 8 de

    https://forum.lawebdefisica.com/cont...dimensi%C3%B3n

    si no le hayas la forma pregunta de nuevo que lo desarrollo mas completo
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (02/12/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    Cita Escrito por Richard R Richard Ver mensaje
    si resuelves el problema estatico, por la segunda ley de Newton llegas a que la aceleración de la cadena en funcion de la poscion b es

    a_o=g\dfrac{a-b}{a}

    lo que convierte a a_o en una aceleración en función de la posición b que es funcion del tiempo para hallar b(t)

    a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}

    esta es una ecuación diferencial que se resuelve usando los puntos 7 y 8 de

    https://forum.lawebdefisica.com/cont...dimensi%C3%B3n

    si no le hayas la forma pregunta de nuevo que lo desarrollo mas completo
    Lo intentaré

    Saludos

    - - - Actualizado - - -

    Perdona Richard me he atascado ¿Podrias por favor desarrollarlo mas completo?


    Saludos

  5. #4
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    partes de
    a_{(b)}=\dfrac{\partial^2 b}{\partial t^2}=g-\dfrac g a b_{(t)}

    luego usas el desarrollo 8 que te menciones en el link

    \begin{aligned} 
\frac{\dd v}{\dd t}&=g-\dfrac g a b_{(t)}\\ 
\frac{\dd v}{\dd b}\frac{\dd b}{\dd...

    \begin{aligned} 
\frac 1 2 (v^2-v_0^2)&= \int_{b_0}^b g-\dfrac g a b_{(t)}\dd b,\\ 
v_{(b)}&=\sqr...

    pues v_0=0 y usando el punto 6

    \begin{aligned} 
\frac{\dd b}{\dd t}&=v_{(b)},\\ 
\dd t&=\frac{\dd b}{v_{(b)}},\\ 
\int_0^{t(a)} ...

    te dejo a ti que resuelvas la integral, y te fijes si reemplazando las condiciones de contorno llegas a la expresión del enunciado.

    nota que luego de integrar b_0 lo reemplazas por b que es el la variable del punto de partida de la cadena. o bien que deberas a arribar a


    t=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{a}{g}}\ln \left(\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b_0^2}}{b_0}\right)
    Última edición por Richard R Richard; 04/12/2018 a las 02:41:48.
    Saludos \mathbb {R}^3

  6. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (04/12/2018)

  7. #5
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    Bien, muchas gracias. Lo estoy intentando.

    Saludos

  8. #6
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    Otro punto de vista para enfocar el problema. Sea \lambda la densidad lineal de la cadena, (kg/m) Si cuelga verticalmente un trozo “y” mientras que hay sobre la mesa un trozo (a-y) la única fuerza vertical que actúa sobre el trozo que cuelga es su peso

    P=(\lambda \ y) \ g

    La 2ª ley de Newton, Fuerza igual a masa por aceleración:

    P=m \cdot \ddot y

    La masa acelerada es toda la de la cadena de longitud "a" por lo tanto:

    m=\lambda \cdot a

    Uniendo esas 3 expresiones obtenemos:

    \lambda \ y \ g = \lambda \ a \ \ddot y

    \ddot y - \dfrac g a \ y = 0

    Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, homogénea y de coeficientes constantes. Su bien conocida solución es:

    y(t)=c_1 \exp \sqrt{\dfrac g a}t+ c_2 \exp -\sqrt{\dfrac g a}t

    Hay 2 constantes, pero tenemos dos condiciones iniciales. La primera condición es que en t=0 el trozo que cuelga es y=b

    b=c_1+c_2

    La segunda condición es que la velocidad inicial es cero. Para hallar la velocidad derivamos y(t)

    v(t)=c_1 \sqrt{\dfrac g a} \exp \sqrt{\dfrac g a}t- c_2 \sqrt{\dfrac g a} \exp -\sqrt{\dfrac g a}t

    0=c_1-c_2

    Resolviendo el sistema (1) (2) obtenemos

    c_1=c_2=\dfrac b 2

    Por lo tanto

    y(t)=\dfrac b 2 \exp \sqrt{\dfrac g a}t+ \dfrac b 2 \exp -\sqrt{\dfrac g a}t

    La cadena se acabará de deslizar totalmente cuando y=a

    a=b \cdot \dfrac {\exp \sqrt{\dfrac g a}t + \exp -\sqrt{\dfrac g a}t}2

    Para despejar “t” recordamos la definición del coseno hiperbólico:

    a=b \cosh \sqrt{\dfrac g a}t}

    t=\sqrt{\dfrac a g}\cosh^{-1} \dfrac a b

    Ya está, ésta es la solución buscada, que si en vez de en funciones hiperbólicas inversas la quieres poner en forma de logaritmo, hay que aplicar la propiedad:

     \cosh^{-1} x=\ln\left (x+\sqrt{x^2-1}\right )

    Operando se obtiene:

    t=\sqrt[ ]{\dst\frac{a}{g}}\ln \left (\displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b}\right ) c.q.d.

    Saludos.

    PD: Puedes mirar también Una cuerda que se desliza sobre una mesa
    Última edición por Alriga; 05/12/2018 a las 16:41:56. Razón: Añadir PD
    "Das ist nicht nur nicht richtig, es ist nicht einmal falsch!"

  9. 2 usuarios dan las gracias a Alriga por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (05/12/2018),Richard R Richard (04/12/2018)

  10. #7
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    Predeterminado Re: Tiempo que tarda en deslizarse una cadena

    Si evidentemente es mas facil sila ED la haces considerando a b como la parte colgante y no como la parte que queda en la mesa como he hecho yo, que en en algun lado debe tener un error puedo supongo que se debe llegar al mismo resultado...
    Saludos \mathbb {R}^3

  11. El siguiente usuario da las gracias a Richard R Richard por este mensaje tan útil:

    cristianoceli (05/12/2018)

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