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Hilo: Cálculo del instante de vuelco de una figura compuesta por dos cuerpos de distinta densidad

  1. #1
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    Predeterminado Cálculo del instante de vuelco de una figura compuesta por dos cuerpos de distinta densidad

    Buenas noches:

    Mi nombre es Ignacio y acabo de registrarme en este foro. Aprovecho la ocasión para felicitar tanto a l@s usuari@s como administradores de esta comunidad, así como para saludarles.

    Tengo una duda con un problema de mecánica, el cual me gustaría que me ayudaseis a resolver:

    Se trata de obtener el punto (ángulo) al cual vuelca por rotación alrededor de un punto, un conjunto formado por dos cuerpos cilíndricos apilados. Estos cuerpos poseen distintas densidades, siendo mayor la del cuerpo de menor volumen. El conjunto anteriormente referido presenta el cilindro superior, desplazado r/2 de su eje de simetría vertical, en la manera que describo en la fotografía adjunta a este mensaje. Ambos cilindros tienen el mismo radio (r = 27 mm). Vamos a suponer que los cilindros están unidos entre sí, es decir, que no se van a desplazar separadamente sino como un conjunto. Además, no van a deslizar.

    Para realizar los cálculos, lo primero que se me ocurrió es evaluar el sumatorio de momentos creados por el peso de cada cilindro, pero teniendo en cuenta que la fuerza ejercida por el cilindro superior está fuera del eje de simetría del cilindro inferior. Aquí el problema que encuentro es que el momento creado por el cilindro superior (con momentos según la regla de la mano derecha, según el eje x) actúa en una dirección diferente que el otro sumatorio de momentos creado por las componentes normal y tangencial del peso, a medida que se inclina el conjunto (es decir, el conjunto se está inclinando de tal manera que gira alrededor del eje y).

    Nombre:  7UXhvI.png
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    ¿Podríais ayudarme a calcular el ángulo al cual vuelca el conjunto? Entiendo que actúan dos momentos en ejes distintos, pero no sé cómo dar solución al problema.

    Gracias,
    Ignacio
    Imágenes adjuntas Imágenes adjuntas  

  2. #2
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    Predeterminado Re: Cálculo del instante de vuelco de una figura compuesta por dos cuerpos de distinta densidad

    Hola IgnacioPR Bienvenido al foro!!!! como nuevo miembro te será útil leer consejos para recibir ayuda de forma efectiva.

    también te será útil leer Cómo introducir ecuaciones en los mensajes


    Básicamente el ejercicio se resuelve aplicando el concepto de equilibrio inestable de momentos, esto es cuando el centro de masas del conjunto este ubicado sobre la misma vertical que el punto de apoyo.

    si al punto de apoyo lo tomás como origen de coordenadas la dirección x es radial, y la y en altura de los cilindros verás que

    las masas de los cilindros son el producto de la densidad por el volumen y como los cilindros tienen el mismo radio, la discrepancia de volumen solo se ve afectada por la altura entonces la posición del centro de masas cuando el sistema está en horizontal es

    en dirección x horizontal

    x_{CM}=\dfrac{\rho_1h_1(r-\dfrac r2)+\rho_2h_2r}{\rho_1h_1+\rho_2h_2}


    en dirección y vertical

    y_{CM}=\dfrac{\rho_1h_1\dfrac {h_1}2+\rho_2h_2\dfrac {h_2}2}{\rho_1h_1+\rho_2h_2}


    luego cuando inclinas el piso un angulo \alpha la posición del CM variara y en particular te interesa que coincida con el punto de apoyo cuya posición es 0.

    x=0=x_{CM}\cos \alpha-y_{CM}\sin\alpha

    de esta ecuación llegas a que

    \tan \alpha=\dfrac{x_{CM}}{y_{CM}}

    luego despejas el ángulo
    Última edición por Richard R Richard; 08/12/2018 a las 22:11:22.
    Saludos \mathbb {R}^3

  3. #3
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    Predeterminado Re: Cálculo del instante de vuelco de una figura compuesta por dos cuerpos de distinta densidad

    Hola a todos.

    Otra forma de enfocar el problema, sería considerar el equilibrio de cada cilindro:

    Nombre:  ANGLE DE BOLCADA DE DOS CILINDRES.jpg
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    \sum{M_0}=0 \Longrightarrow P_2sin\alpha(h_1+\dfrac{h_2}{2})-P_2cos\alpha\dfrac{r}{2}+P_1sin\alph....

    Agrupando y despejando:

    tan\alpha=\dfrac{r(P_1+\dfrac{P_2}{2})}{\left[P_1\dfrac{h_1}{2}+P_2(h_1+\dfrac{h_2}{2})}\right]

    Saludos cordiales,
    JCB.
    Última edición por JCB; 25/12/2018 a las 02:32:31. Razón: Error en expresión final.

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