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Hilo: Significado de derivada

  1. #1
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    Predeterminado Significado de derivada

    Buenas tardes.

    Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo "f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo f(x,y) = (\phi(x,y),\psi(x,y)) con x,y \in \mathbb{R}? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?

    Gracias de antemano.

  2. #2
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    Predeterminado Re: Significado de derivada

    El una variable, una derivada se define como un límite. Para que exista, ha de existir derivada "por la izquierda" y "por la derecha", en tanto que han de existir dichos límites. Si quieres llevar la deriva de 1 variable a dimensiones superiores, nos aparece que no solo hay izquierda y derecha sino múltiples direcciones. Así, nos aparece el concepto de límite (y, por consiguiente, derivada) direccional. Bajo ciertas direcciones privilegiadas, a estas derivadas direccionales se le conocen como derivadas parciales, que seguro las conoces.
    Una manera de generalizar el concepto de derivada de más dimensión, para funciones f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m es mediante la diferencial. La diferencial de f, usualmente denotada Df, es una matriz m\times nde funciones, en la que cada término es la parcial de cada uno de los campos escalares, con respecto a cada variable. Por ejemplo, en la función que mencionas, se tiene que

    Df=\begin{pmatrix} \frac{\partial \phi }{\partial x} &  \frac{\partial \phi }{\partial y} \\ \fra...

    Interpretar geométricamente la diferencial no es sencillo. Viene a dar toda la información que te da una derivada de 1 variable, pero para funciones de varias. Te invito a que investigues un poco más sobre la diferencial y hagas dudas más concretas si surgieran.

    Saludos,
    Última edición por angel relativamente; 26/04/2019 a las 20:24:30.
    k_BN_A \cdot \dst \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \cdot 50 \cdot 10_{\text{hex}} \cdot \dfrac{2...

  3. El siguiente usuario da las gracias a angel relativamente por este mensaje tan útil:

    AlexFeynman (26/04/2019)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Significado de derivada

    Muchas gracias por la respuesta, Ángel, ahora me pondré a investigar más.
    Última edición por AlexFeynman; 26/04/2019 a las 20:33:35.

  5. #4
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    Predeterminado Re: Significado de derivada

    Cita Escrito por AlexFeynman Ver mensaje
    "f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 "
    Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}^2 "?
    Última edición por Malevolex; 26/04/2019 a las 21:02:41.
    "Es mejor preguntar y ser tonto por un día, que no preguntar y ser tonto por el resto de tu vida" Desayuno con partículas

    \dst\frac{\mathrm{dq} }{\mathrm{dt}  } \int F \dd t K log W

  6. #5
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    Predeterminado Re: Significado de derivada

    Cita Escrito por AlexFeynman Ver mensaje
    Hace poco descubrí, sin aprender, que hay ciertas funciones en variable compleja que tienen derivada y se llaman funciones holomorfas. Mi pregunta es que, siendo las funciones complejas del tipo "f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 ", ¿Existen derivadas para las funciones del tipo f(x,y) = (\phi(x,y),\psi(x,y)) con x,y \in \mathbb{R}? Y si existen, ¿Cuál es su interpretación?
    Hay que tener en cuenta que una función compleja bajo las condiciones adecuadas la puedes derivar de dos maneras. Una es la que te ha explicado angelrelativamente que es la derivada en el sentido real, y la otra es el concepto que tiene verdadera importancia: la derivada en sentido complejo. En realidad, una función holomorfa es una función diferenciable en \mathbb{R}^2 pero que, además, cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto es, si f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(u(x,y), v(x,y)) con z=x+iy entonces f es holomorfa si y sólo si es diferencible en sentido real y además:

    \dst\frac{\partial u}{\partial x}=\dst\frac{\partial v}{\partial y}

    \dst\frac{\partial u}{\partial y}=-\dst\frac{\partial v}{\partial x}

    Así pues el ser derivable en sentido complejo (ser holomorfa) es un concepto más restrictivo que ser diferenciable en \mathbb{R}^2. De hecho, lo es hasta el punto de que las funciones holomorfas son analíticas y viceversa. Por eso muchas veces se llama a las funciones holomorfas funciones analíticas directamente.

    Cita Escrito por Malevolex Ver mensaje
    Una duda, ¿No te refieres a funciones de variable compleja de la forma f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C}^2 "?
    Una función de variable compleja suele ser del tipo f: U\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}. Como \mathbb{C}=\mathbb{R}^2 lo que escribe AlexFeynman tiene lógica: f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2.
    Última edición por Weip; 26/04/2019 a las 21:39:58.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  7. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    AlexFeynman (26/04/2019)

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