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Hilo: Una duda sobre series

  1. #1
    Avatar de soitib
    soitib Invitado

    Exclamation Una duda sobre series

    Tengo un ejercicio de series, que no sé resolver y creo que es pq no entiendo bien el enunciado, a ver si alguien es capaz de explicármelo.

    Sea la sucesión de las sumas parciales: Sn = (4n+3)/(2n-1)

    (a) Obtener el término general de la serie
    (b) Calcular la suma si la serie converge


    Gracias y un saludo!

  2. #2
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    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    hola,

    yo no se obtener el termino general de la serie, pero la suma es igual al limite de sn, si existe(que en este caso si)

  3. #3
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    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Cita Escrito por soitib Ver mensaje
    Tengo un ejercicio de series, que no sé resolver y creo que es pq no entiendo bien el enunciado, a ver si alguien es capaz de explicármelo.
    Hola, intentaré resolver el ejercicio.

    Cita Escrito por soitib Ver mensaje
    Sea la sucesión de las sumas parciales: Sn = (4n+3)/(2n-1)
    Eso dignifica que:

    S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\frac{4n+3}{2n-1}

    Cita Escrito por soitib Ver mensaje
    (a) Obtener el término general de la serie
    Acá te estan pidiendo a_n, tienes que tener en cuenta que:

    S_n=\sum_1^na_n=\frac{4n+3}{2n-1}

    Acá tienes que recordar que:

    \sum_1^k\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}

    Entonces tenemos que encontrar el valor de k, que hace que la expresión (3) sea idéntica a (2), del siguiente modo:

    \frac{k}{k+1}=\frac{4n+3}{2n-1}

    De donde se obtiene que:

    k=-\frac{2n-4}{2n+3}

    Por tanto:

    a_n=\frac{1}{\left(\frac{2n-4}{2n+3}\right)\left(\frac{2n-4}{2n+3}-1\right)}=\frac{(2n+3)^2}{7(4-...

    Cita Escrito por soitib Ver mensaje
    (b) Calcular la suma si la serie converge
    Si converge, pues:

    \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{2n-1}=\frac{4}{2}



  4. #4
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    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Cita Escrito por N30F3B0 Ver mensaje
    Eso dignifica que:

    S_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_n=\frac{4n+3}{2n-1}



    Acá te estan pidiendo a_n, tienes que tener en cuenta que:

    S_n=\sum_1^na_n=\frac{4n+3}{2n-1}

    Acá tienes que recordar que:

    \sum_1^k\frac{1}{k(k+1)}=\frac{k}{k+1}

    Entonces tenemos que encontrar el valor de k, que hace que la expresión (3) sea idéntica a (2), del siguiente modo:

    \frac{k}{k+1}=\frac{4n+3}{2n-1}

    De donde se obtiene que:

    k=-\frac{2n-4}{2n+3}

    Por tanto:

    a_n=\frac{1}{\left(\frac{2n-4}{2n+3}\right)\left(\frac{2n-4}{2n+3}-1\right)}=\frac{(2n+3)^2}{7(4-...
    Eso que estas haciendo tiene un problema, (aparte de que usas el mismo indice que varia con la serie que el número final), si la suma parcial es
    \sum_{i=1}^n a_i = \frac{4n+3}{2n-1}
    y tu haces
    S_n = \sum_{i=1}^k \frac{1}{k(k+1)}
    si eso lo igualas a la suma parcial n-essima, obtienes claramente k = n (que no se cumple), entoces hay que concluir que los terminos de la serie no tienen la forma de
    \frac{1}{k(k+1)}
    .

    Obtener el termino de la serie es bastante fácil, miremos como son las sumas parciales
    S_n = \sum_{i=1}^n a_i = \frac{4n+3}{2n-1}
    donde n es un número real sin determinar, ahora restemos la suma parcial (n-1)-essima
    S_n - S_{n-1} = a_n = -\frac{10}{(2n-1)(2n-3)}
    Última edición por Dj_jara; 15/02/2009 a las 14:56:28.
    "No one expects to learn swimming without getting wet"

    \displaystyle E_o \leq \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle}

  5. El siguiente usuario da las gracias a Dj_jara por este mensaje tan útil:

    [Beto] (15/02/2009)

  6. #5
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    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Me equivoqué

  7. #6
    Avatar de soitib
    soitib Invitado

    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Gracias a todos por vuestra ayuda!!!
    La única duda que me queda es la siguiente: para calcular la suma de la serie se hace un límite cuyo resultado es 2. Pero esto... ¿me asegura que la serie converge? Es decir, ¿no tendría que aplicar previamente un criterio de convergencia antes de pasar al cálculo del límite?

  8. #7
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    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Es que la sumabilidad o no de una serie infinita se suele definir en términos del límite de la sucesión de sumas parciales S_n; si esta sucesión tiende a un número cuando n \rightarrow \infty, se dice que la serie converge y además vale lo que vale tal límite.

    Por supuesto, el cálculo de a lo que converge una serie infinita (si es que converge) admite más métodos de resolución; la serie \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} se suele calcular con el desarrollo en serie de Fourier de la función x^2; otros se basan en resultados ya conocidos, como \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = e; otros pasan por una descomposición en fracciones simples y aplicar las fórmulas pertinentes. En este caso, podías haber deducido el término general de la serie infinita y aplicarle como bien dices algún criterio, pero es que en este caso aparte de poder comprobar la convergencia ya te dan la sucesión de sumas parciales que te permite calcular fácilmente a qué converge la serie.



    Saludos.
    Última edición por Metaleer; 15/02/2009 a las 18:08:47.

  9. #8
    Avatar de soitib
    soitib Invitado

    Predeterminado Re: Una duda sobre series

    Muchas gracias por la aclaración.

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