Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo

[QED]

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Se busca obtener la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial respecto a las coordenadas espaciales y el tiempo, de la función de onda $\Psi$ de un sistema cuántico tridimensional. Al igual que se hizo en el caso independiente del tiempo, se demuestra para la partícula libre de momento $\vec{p}$ y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.





Tomamos la función de onda asociada a la partícula

$$\Psi=\ee^{-i\omega t}\varphi$$

y la derivamos respecto de $t$

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\omega \ee^{-i\omega t}\varphi=-i\omega \Psi$$

multiplicamos ahora por $i\hbar$

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\hbar \omega \Psi$$

como $E=\hbar \omega$, sustituyendo

$$i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=E\Psi$$

Seguidamente multiplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo cual nos da

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\ee^{-i\omega t}\nabla^2{\varphi}+\ee^{-i\omega t}V{\varphi}=\ee^{-i\omega t}E{\varphi}$$

sustituyendo (1) en (3)

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\ee^{-i\omega t}\nabla^2{\varphi}+V{\Psi}=E{\Psi}$$

como $\ee^{-i\omega t}$ solo depende de $t$ se cumple que

$$\nabla^2 \Psi=\nabla^2 (\ee^{-i\omega t}\varphi)=\ee^{-i\omega t}\nabla^2 \varphi$$

sustituyendo (5) en (4)

$$- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\Psi}+V{\Psi}=E{\Psi}$$

y finalmente, sustituyendo (2) en (6)

$$\boxed{- \frac{{\hbar}^2}{2m}\nabla^2{\Psi}+V{\Psi}=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$$

que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional



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