Se busca obtener la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, es decir, la ecuación diferencial respecto a las coordenadas espaciales y el tiempo, de la función de onda de un sistema cuántico tridimensional. Al igual que se hizo en el caso independiente del tiempo, se demuestra para la partícula libre de momento y posteriormente se postula su validez para cualquier sistema cuántico.
Tomamos la función de onda asociada a la partícula
y la derivamos respecto de
multiplicamos ahora por
como , sustituyendo
Seguidamente multiplicamos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo por [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , lo cual nos da
sustituyendo (1) en (3)
como solo depende de se cumple que
sustituyendo (5) en (4)
y finalmente, sustituyendo (2) en (6)
que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
Demostraciones relacionadas:
- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional
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