Hola compañeros. A continuación vamos a demostrar la regla de derivación para derivar una función elevada a otra función. A diferencia del resto de demostraciones, esta vez no haremos uso de la definición de derivada, sino que lo demostraremos a partir de operaciones algebraicas.
Una función del tipo:


No es una función potencial, puesto que el exponente no es constante. Tampoco es una función exponencial, puesto que la base no es constante, luego no podremos basarnos en las reglas de derivación de estas funciones.
En primer lugar, hagámoslo con una función particular, cuando



El primer paso que haremos será tomar logaritmos neperianos a ambos miembros (por esta razón, a este método también se le conoce como derivación logarítmica):


Por las propiedades de los logaritmos tenemos que:


Ahora si hacemos la derivada en ambos miembros tenemos:


Con las reglas anteriormente demostradas de la derivada de la función logarítmica y de la derivada del producto :


Despejando:


Pero como :


Ya hemos justificado de dónde sale esa fórmula, pero, ¿qué ocurre si ?

A continuación, vamos a demostrar una expresión general para derivar (1) por el mismo método anterior.


Tomamos neperianos en ambos miembros:


A continuación derivamos:


Hacemos común denominador:


Despejamos recordando que :


Operando:


Luego queda demostrado que:


¡Un saludo!
Ángel