Cálculo de la posición del punto de Lagrange en órbitas circulares L1

[Richard R Richard]

Se denomina puntos de Lagrange a los puntos del espacio donde al situar un objeto de masa despreciable $m$ por ejemplo un satélite artificial , este permanece en posición estacionaria con respecto a otros 2 objetos de masa no despreciable $M_1$ y$M_2$. En estos puntos se verifica el equilibrio entre las fuerzas gravitatorias que ejercen la masas y la fuerza centrípeta de rotación de la órbita que describe el objeto respecto al centro de masa del sistema $M_1$ - $M_2$ .

En la práctica sucede generalmente que uno de los dos cuerpos tiene una masa muy superior a la del otro llamaremos $M_1$ a este y $M_2$ a la otra Ej masa del sol vs masa de la tierra o masa de la tierra vs masa de la luna.

$M_1>M_2>>>m$

Si la masa de $M_1$ es muy grande con respecto a $M_2$ el centro de masas del conjunto $M_{1-2}$ estará muy próximo al centro de masas de $M_1$, de ese modo la mayoría de los libros toman como origen del sistema de referencia al centro de masas de $M_1$, y no al centro de masas del conjunto, por el escaso error que se comete.

Primero presentaré la forma correcta o más precisa de determinarlo, aplicando la mecánica newtoniana y luego aplicaré varias aproximaciones, para simplificar el cálculo.

Llamaré

$a$ a la distancia radial entre $M_1$ y $M_2$

$b$ a la distancia radial entre $M_2$ y el objeto $m$

[TEX ]v [/TEX] a la relación entre ambas distancias $v=\frac ba$

$u$ a la relación entre las masas $u =\frac{M_2}{M_1}$

La posición del centro de masas del conjunto $M_{1-2}$ será

$x_{cm}=\dfrac{a\cdot M_2}{M_1+M_2}$

Hay 5 lugares físicamente posibles que presentan esa propiedad los que pasaré a describir. En particular este artículo lo dedicaré al punto de Lagrange L1 y para para los demás.

Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5

Punto de Lagrange L1



Sabemos que todo el sistema gira en torno al punto $x_{cm}$ con una velocidad angular $\omega$ que sera la misma para los 3 objetos si mantienen posición estacionaria entre si, todos tendrán el mismo periodo de rotación $T$

$$\omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1}}{x_{cm}}=\omega_{M_2}=\dfrac{V_{M_2}}{a-x_{cm}}=\omega_{m}=\dfrac{V_{m}}{a-b-x_{cm}}=\omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1-M_2}}{a}=\dfrac{2\pi}T<br />$$

El primer punto de Lagrange se halla ubicado entre ambos objetos a una distancia $b$ del objeto $M_2$ que es nuestra incoógnita.

El equilibrio de fuerzas sobre el objeto $m$ sera

$$-F_{1-m}+F_{2-m}+F_c=0$$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_1$ y $m$

$$F_{1-m}=\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2}$$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_2$ y $m$

$$F_{2-m}=\dfrac{GM_2m}{b^2}$$

La fuerza centrípeta del objeto m con respecto al centro de masas

$$F_c=\dfrac{m V_m^2}{a-b-x_{cm}}$$

reemplazando 3,4,5 en 2

$$-\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2}+\dfrac{GM_2m}{b^2}+\dfrac{m V_m^2}{a-b-x_{cm}}=0$$

de aplicar la tercera ley de Kepler se desprende que

$$\omega^2=\dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{M_1G} {a^3}$$

a la vez de 1 se desprende que

$$V_m^2=\omega^2\cdot (a-b-x_{cm})^2$$

reemplazando 7 y 8 en 6 tenemos

$-\dfrac{GM_1m}{(a-b)^2}+\dfrac{GM_2m}{b^2}+\dfrac{mGM_1(a-b-x_{cm})^2}{a^3(a-b-x_{cm})}=0$

luego podemos simplificar y reacomodar

$$\boxed{\dfrac{M_1}{(a-b)^2}-\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a-b-x_{cm})}{a^3}=0}$$

Nuestra incógnita es la distancia $b$ queda por delante por resolver una ecuación polinómica de grado 5, bastante difícil, pero no imposible, programas de calculo dan solución inmediata, o podemos hacer aproximaciones que sean útiles a la para simplificar el calculo.

Empecemos acomodando la ecuación 9 aproximando $x_{cm}=0$

$\dfrac{M_1}{(a-b)^2}-\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a-b)}{a^3}=0$

reordenando

$\dfrac{M_1}{(a-b)^3}-\dfrac{M_2}{b^2(a-b)}-\dfrac{M_1}{a^3}=0$

dividiendo todo por $M_1$ y reemplazando por la definición de $u$

$\dfrac{1}{(a-b)^3}-\dfrac{u}{b^2(a-b)}-\dfrac{1}{a^3}=0$

multiplicando todo por $a^3$ y reemplazando por la definición de $v$

$$\dfrac{1}{(1-v)^3}-\dfrac{u}{v^2(1-v)}-1=0$$

por aproximaciones de Taylor podemos hacer

$\dfrac{1}{(1-v)^3} \approx 1 + 3v$

$\dfrac{1}{(1-v)} \approx 1 + v$

reemplazando en 13

$1 + 3v -\dfrac{u(1+v)}{v^2}-1\approx 0$

simplificando

$3v -\dfrac{u(1+v)}{v^2}\approx 0$


$3v \approx \dfrac{u(1+v)}{v^2}$


$3v^3 \approx u(1+v)$

cuanto mayor es la relación $u$ mas proxima a 0 sera la relación $v$ por lo que si miedo a cometer grandes errores podemos eliminarlo de la ecuación

$3v^3 \approx u$

luego

$v=\dfrac ba \approx \sqrt[3]{\dfrac u3}=\sqrt[3]{\dfrac {M_2}{3M_1}}$

$$\boxed{b\approx a\sqrt[3]{\dfrac{ M_2}{3M_1}}}$$

que es fácilmente calculable.

Ej con los siguientes datos

$M_{sol}=\notcien{1,9891}{30} kg$
$M_{tierra}=\notcien{5,9736}{24} kg$
$D_{s-t}=149597870700 m$
$M_{luna}=\notcien{7,349}{22} kg$
$D_{t-l}=384400000 m$

$b_{L1s-t}\cong 1496504983,60m \mapsto \epsilon=0,338$%

$b_{L1s-t}=1491449063,15m$

$b_{L1t-l}\cong 61528122,60 m$ con un gran error pues la masa de la luna, si bien es menor que la de la tierra, es lo suficentemente grande como para que al cambiarse la ubicación del centro de masas, genere gran error en el metodo de calculo $\epsilon=6,67\%$

$b_{L1t-l}=57677987.73m$

Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5

[LoveByron]

Entonces, a ver si lo he entendido. Considerando un sistema de referencia inercial, el equilibrio de fuerzas gravitatorias entre F1 y F2 provoca una fuerza centrípeta de sentido hacia el sentido del centro de masas (mismo sentido que F1), gracias a la que el objeto m puede entrar en órbita, de manera que -F1 + F2 = -Fc. Igualando todo a cero se queda -F1 + F2 + Fc = 0. ¿Es eso?

[Richard R Richard]

Sí, en realidad se entiende mejor si escribes la ecuación de Newton como siempre la hemos visto $F_{1m}- F_{2m}=F_c$ , el cuerpo más masivo tira más que el menos masivo , la diferencia es la fuerza centrípeta que permite a m rotar sincrónicamente alrededor de CM .
Esta es una simplificación elegante del problema de las tres cuerpos, dónde las reacciones de fuerza de m sobre los objetos más masivos no se tienen en cuenta, para no liar más el problema con diminutas correcciones.

[LoveByron]

De acuerdo, muchas gracias