Cálculo de la posición del punto de Lagrange en órbitas circulares L3

[Richard R Richard]

Punto de Lagrange L3



Sabemos que todo el sistema gira en torno al punto $x_{cm}$ con una velocidad angular $\omega$ que sera la misma para los 3 objetos si mantienen posición estacionaria entre si, todos tendrán el mismo periodo de rotación $T$

$$\omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1}}{x_{cm}}=\omega_{M_2}=\dfrac{V_{M_2}}{a-x_{cm}}=\omega_{m}=\dfrac{V_{m}}{b-a+x_{cm}}=\omega_{M_1M_2}=\dfrac{V_{M_1-M_2}}{a}=\dfrac{2\pi}T<br />$$

El tercer punto de Lagrange se halla ubicado sobre la recta que une ambos objetos a una distancia $b$ que es nuestra incógnita, del otro lado objeto $M_1$ con respecto al centro de masas.

El equilibrio de fuerzas sobre el objeto $m$ sera

$F_{1-m}+F_{2-m}-F_c=0$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_1$ y $m$

$F_{1-m}=\dfrac{GM_1m}{(b-a)^2}$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_1$ y $m$

$F_{2-m}=\dfrac{GM_2m}{b^2}$

La fuerza centrípeta del objeto m con respecto al centro de masas

$F_c=\dfrac{m V_m^2}{b-a+x_{cm}}$

reemplazando

$$\dfrac{GM_1m}{(b-a)^2}+\dfrac{GM_2m}{b^2}-\dfrac{m V_m^2}{b-a+x_{cm}}=0$$

de aplicar la tercera ley de Kepler se desprende que

$\omega^2=\dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{M_1G} {a^3}$

a la vez de 17 se desprende que

$V_m^2=\omega^2\cdot (b-a+x_{cm})^2$

reemplazando en 18 tenemos

$$\boxed{\dfrac{M_1}{(b-a)^2}+\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(b-a+x_{cm})}{a^3}=0}$$

Nuestra incógnita es la distancia $b$ nuevamente queda por delante por resolver una ecuación polinómica de grado 5, y también podemos hacerle aproximaciones que sean útiles a la para simplificar el calculo .Podemos acomodar la ecuación 19 aproximando $x_{cm}=0$

$\dfrac{M_1}{(b-a)^2}+\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(b-a)}{a^3}=0$

multiplicando por $(b-a)^2$

$M_1+\dfrac{M_2(b-a)^2}{b^2}-\dfrac{M_1(b-a)^3}{a^3}=0$

Dividiendo todo por $M_1$ y reemplazando por la definición de $u$

$1+\dfrac{u(b-a)^2}{b^2}-\dfrac{(b-a)^3}{a^3}=0$

Multiplicando todo por $a^3$ y reemplazando por la definición de $v$

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aqui la relacion v no tiende a 0 , por lo que $1-\frac{1}{v}$ será cercano a 0 a la vez $u$ es cercano a 0 entonces el término $u(1-\frac{1}{v})$ es depreciable

reemplazando en 20

$1-(v-1)^3=\approx 0$

simplificando

$1\approx (v-1)^3$

$1\approx (v-1)$

$2\approx v)$

Luego

$$\boxed{b\approx 2a}$$

la distancia al objeto M_1 será

$(b-a)\approx 2a-a=a$

Esto quiere decir que el objeto m se ubicará en una órbita cuyo radio es similar al del objeto $M_2$ pero del otro lado del objeto
$M_1$

$M_{sol}=\notcien{1,9891}{30} kg$
$M_{tierra}=\notcien{5,9736}{24} kg$
$D_{s-t}=149597870700 m$
$M_{luna}=\notcien{7,349}{22} kg$
$D_{t-l}=384400000 m$

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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con un error pues la masa de la luna, si bien es menor que la de la tierra, es lo suficientemente grande como para que al cambiarse la ubicación del centro de masas, $\epsilon=0,15\%$ que es mas pequeño que los errores en $L_1$ y $L_2$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5