Cálculo de la posición del punto de Lagrange en órbitas circulares L2

[Richard R Richard]

Punto de Lagrange L2



Sabemos que todo el sistema gira en torno al punto $x_{cm}$ con una velocidad angular $\omega$ que será la misma para los 3 objetos si mantienen posición estacionaria entre si, todos tendrán el mismo periodo de rotación $T$

$$\omega_{M_1}=\dfrac{V_{M_1}}{x_{cm}}=\omega_{M_2}=\dfrac{V_{M_2}}{a-x_{cm}}=\omega_{m}=\dfrac{V_{m}}{a+b-x_{cm}}=\omega_{M_1M_2}=\dfrac{V_{M_1-M_2}}{a}=\dfrac{2\pi}T$$

el segundo punto de Lagrange se halla ubicado sobre la recta que une ambos objetos a una distancia $b$ que es nuestra incógnita, del otro lado objeto $M_2$ con respecto al centro de masas.

El equilibrio de fuerzas sobre el objeto $m$ sera

$-F_{1-m}-F_{2-m}+F_c=0$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_1$ y $m$

$F_{1-m}=\dfrac{GM_1m}{(a+b)^2}$

La Fuerza de atracción gravitatoria entre $M_2$ y $m$

$F_{2-m}=\dfrac{GM_2m}{b^2}$

La fuerza centrípeta del objeto m con respecto al centro de masas

$F_c=\dfrac{m V_m^2}{a+b-x_{cm}}$

reemplazando

$$-\dfrac{GM_1m}{(a+b)^2}-\dfrac{GM_2m}{b^2}+\dfrac{m V_m^2}{a+b-x_{cm}}=0$$

de aplicar la tercera ley de Kepler se desprende que

$\omega^2=\dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{M_1G} {a^3}$

a la vez de 12 se desprende que

$V_m^2=\omega^2\cdot (a+b-x_{cm})^2$

reemplazando en 13 tenemos

$$\boxed{\dfrac{M_1}{(a+b)^2}+\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a+b-x_{cm})}{a^3}=0}$$

Nuestra incógnita es la distancia $b$ nuevamente queda por delante por resolver una ecuación polinómica de grado 5, y también podemos hacerle aproximaciones que sean útiles a la para simplificar el calculo.

podemos acomodar la ecuación 14 aproximando $x_{cm}=0$

$\dfrac{M_1}{(a+b)^2}+\dfrac{M_2}{b^2}-\dfrac{M_1(a+b)}{a^3}=0$

acomodando

$\dfrac{M_1}{(a+b)^3}+\dfrac{M_2}{b^2(a+b)}-\dfrac{M_1}{a^3}=0$

Dividiendo todo por $M_1$ y reemplazando por la definición de $u$

$\dfrac{1}{(a+b)^3}+\dfrac{u}{b^2(a+b)}-\dfrac{1}{a^3}=0$

Multiplicando todo por $a^3$ y reemplazando por la definición de $v$

$$\dfrac{1}{(1+v)^3}+\dfrac{u}{v^2(1+v)}-1=0$$

Por aproximaciones de Taylor podemos hacer si $v\approx 0$

$\dfrac{1}{(1+v)^3} \approx 1 - 3v$

$\dfrac{1}{(1+v)} \approx 1 - v$

reemplazando en 15

$1 - 3v +\dfrac{u(1-v)}{v^2}-1\approx 0$

simplificando

$-3v +\dfrac{u(1-v)}{v^2}\approx 0$

$3v \approx \dfrac{u(1-v)}{v^2}$

$3v^3 \approx u(1-v)$

Cuanto mayor es la relación $u$ más proxima a 0 sera la relación $v$ por lo que si miedo a cometer grandes errores podemos eliminarlo de la ecuación

$3v^3 \approx u$

luego

$v=\dfrac ba\approx\sqrt[3]{\dfrac u3}=\sqrt[3]{\dfrac {M_2}{3M_1}}$

$$\boxed{b\approx a\sqrt[3]{\dfrac {M_2}{3M_1}}}$$

Que resulta fácilmente calculable, si bien la aproximación indica que la distancia $b$ para el punto L1 y L2 es la misma con respecto a M_2 en sentidos opuestos sobre la misma recta, en realidad el calculo mas exacto implica que$b_{L_1}$ obtenido con la fórmula 9 es ligeramente inferior a $b_{L_2}$ obtenido con la fórmula 16.

Ej con los siguientes datos

$M_{sol}=\notcien{1,9891}{30} kg$
$M_{tierra}=\notcien{5,9736}{24} kg$
$D_{s-t}=149597870700 m$
$M_{luna}=\notcien{7,349}{22} kg$
$D_{t-l}=384400000 m$


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[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] con un gran error pues la masa de la luna, si bien es menor que la de la tierra, es lo suficentemente grande como para que al cambiarse la ubicación del centro de masas, genere gran error en el metodo de calculo $\epsilon=5.72\%$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5