Divulgación Accion , Cuantizacion & Indeterminacion

[Sirio XXI]

Hola, una pregunta - basica - acerca del Principio de Heisenberg;

El Principio de Indeterminacion trata al parecer con pares de magnitudes que, operadas, dan una accion (expresada en Juios por Segundo) Tales son energia x tiempo o posicion x momento

Hay algun ejemplo de pares que operados no sean una accion, pero que se vean afectados por la indeterminacion?

Gracias !

[alar]

Re: Accion , Cuantizacion & Indeterminacion

La relación de indeterminación para dos observables en un estado, $\hat{A}$ y $\hat{B}$ es $\Delta A \Delta B\geqslant\frac{1}{2}|<\psi[\hat{A},\hat{B}]\psi>|$. Por lo tanto sólo has de pensar dos observables que no conmuten y que su producto no tenga unidades de momento angular. Por ejemplo el operador posición $\hat{x}$ y el hamiltoniano de una partícula libre $H=\frac{p^{2}}{2m}$ no conmutan y las unidades de su producto son Energía x posición.

O también más simple, la relación de conmutación de los momentos angulares $[J_{i},J{j}]=i\hbar \epsilon_{ijk}J_{k}$ tampoco tiene unidades de momento angular o acción (si no de momento angular al cuadrado)

[Sirio XXI]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Gracias alar, permiteme preguntarlo en la forma con la que estoy familiarizado (tu respuesta esta por encima de mi nivel "divulgacion");

Si nos limitamos a esta relacion de incertidumbre;

$\Delta p * \Delta q \leqslant h/4\pi$

El termino a la derecha de la desigualdad se expresa al parecer en Julios x Segundo (porque esas son las unidades de la constante de Plank) y en ese caso, es una medida de la accion. Pero entonces, el termino a la izquierda debe ser tambien una accion

Esto es asi porque esta relacion es un caso particular de la formula mas general que has escrito tu?

Gracias !

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

El termino a la derecha de la desigualdad se expresa al parecer en Julios x Segundo (porque esas son las unidades de la constante de Plank) y en ese caso, es una medida de la accion. Pero entonces, el termino a la izquierda debe ser tambien una accion

El que cierto cálculo posea unidades de una magnitud no significa que el cálculo en cuestión se refiera a esa magnitud. Algunos ejemplos: el teorema de la energía cinética, $\Delta E_c=W$. Sería erróneo afirmar que la energía cinética es lo mismo que el trabajo, o viceversa. Otro, la relación de Mayer, $c_p-c_V=R$, no implica que la constante de los gases ideales sea un calor específico molar. El primer principio de la Termodinámica, $\Delta U=Q+W$, el trabajo no es lo mismo que el calor, etc.

Un ejemplo aún más extremo: el trabajo y el momento de una fuerza tienen las mismas unidades, pero son cosas totalmente diferentes.

Esto es asi porque esta relacion es un caso particular de la formula mas general que has escrito tu?

Efectivamente

[Sirio XXI]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Ok, vamos a verlo desde este punto de vista (y me limito a la formula para posicion y momento, o energia y tiempo, es mas facil)

$\Delta p * \Delta q \leqslant h/4\pi$ o $\Delta E * \Delta t \leqslant h/4\pi$

Si medimos simultaneamente la posicion y el momento (o la energia y el tiempo) de un sistema, hemos medido de hecho la accion del sistema, porque nada nos impide ahora multiplicar la una por la otra, y obtener asi la accion (en J*s)

No veo distinction entre la medida simultanea de poscion y momento (o energia y tiempo) y la medida directa de la accion de un sistema. En este sentido, creo que en esta formula, el termino de la izquierda es siempre la misma cosa que el termino de la derecha (una accion)

Por supuesto, si la medida no es simultanea, no hemos medido la accion del sistema, y estoy de acuerdo en que la multiplicacion de posicion por momento (o energia y tiempo), aunque se exprese en J*s, no es una accion (pero es que no es nada, medir la posicion hoy y el momento manana no creo que represente la medida de nada real)

Estas de acuerdo con esta interpretacion?

Por cierto, hay alguna forma practica de medir directamente la accion de un sistema?

Gracias !

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Lo primero que hay que señalar es que las dos formas que indicas para el principio de incertidumbre en modo alguno son análogas. Por desgracia, con frecuencia los textos de divulgación (o las propias clases que se imparten en secundaria) tienden a ocultar ese hecho. Resumiendo muy rápido, mientras que $\Delta p\Delta q\geqslant \hbar/2$ sí es una expresión exacta del principio de incertidumbre, $\Delta E\Delta t\geqslant \hbar/2$ no lo es.

El motivo está en lo que te ha escrito anteriormente alar: las relaciones de incertidumbre entre dos magnitudes son de la forma $\Delta A \Delta B\geqslant\frac{1}{2}|<\psi[\hat{A},\hat{B}]\psi>|$. De este modo, para que exista una relación de incertidumbre debe suceder que los operadores de las magnitudes tengan un conmutador no nulo, $[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\neq 0$

Así pues, para que se pueda dar una relación de incertidumbre la primera condición obvia es que las magnitudes en cuestión tengan un operador asociado. Y aquí está el quiz del asunto: mientras que posición ($\hat{X}=x$), momento ($\hat{P}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}$) y energía (operador hamiltoniano, $\hat{H}$, que recordemos que depende del número de partículas del sistema y de las energías potenciales) tienen operadores asociados, el tiempo no lo tiene.

Entonces, ¿de dónde sale la famosa relación de incertidumbre energía-tiempo? Hay varias vías. Una sencilla es hacer una reinterpretación de la incertidumbre posición-momento, pero cargada de demasiadas suposiciones (lo que limita su validez). Otras más formales pasan por considerar las transformadas de Fourier para paquetes de ondas o de especular qué forma podría tener un operador tiempo que llevase a dicha relación. Si tienes interés, puedes echarle un vistazo por ejemplo a este documento: https://rmf.smf.mx/pdf/rmf-e/51/1/51_1_23.pdf

Soy consciente de que al largar toda esta parrafada me estoy yendo del nivel que pretendes, por cómo le contestaste a alar. El mensaje es que no tiene sentido que te pongas a especular sobre si medir posición y momento, o energía y tiempo es una acción o no y si el principio de incertidumbre equivale a la existencia de una incertidumbre de la acción, pues entonces estás jugando a cosas que salen del nivel de divulgación o de Física básica.

Por cierto, la respuesta es que depende. Para una partícula, la acción se define como $S=\int_{t_1}^{t_2}L(q,p)\dd t$ (donde $L$ es el lagrangiano), con lo que medir posición y momento en todos los instantes de tiempo que median entre $t_1$ y $t_2$ sí equivale a medir la acción. Pero fíjate que ni siquiera es una magnitud instantánea; no tiene sentido decir "mido la acción en este instante", como tampoco lo tiene decir "mido el trabajo en esta posición" (sino "entre esta y esta otra posición"). En segundo lugar, medir energía y tiempo no significa medir lagrangiano y tiempo.

Desconozco cuáles son los motivos por los que estás intrigado con las cuestiones que expones en este hilo. Por mi experiencia docente, apuesto que es un juego (útil e instructivo). Si es así conviene saber que, haciendo un símil, la Luna se alcanza con un Saturno V, no con cohetes de agua. Quiero decir que esos juegos, aunque buenos para ejercitar conocimientos, tienen límites. Y es bueno saber cuándo las herramientas de que disponemos ya no dan para más.

Si de verdad quieres profundizar (en incluso especular) en las relaciones de incertidumbre debes ahondar en de dónde salen (el camino de alar) y no darlas por hechas.

[inakigarber]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Me parece una aportación muy interesante la tuya, pero hay algunos aspectos que me intrigan;

Lo primero que hay que señalar es que las dos formas que indicas para el principio de incertidumbre en modo alguno son análogas. Por desgracia, con frecuencia los textos de divulgación (o las propias clases que se imparten en secundaria) tienden a ocultar ese hecho. Resumiendo muy rápido, mientras que $\Delta p\Delta q\geqslant \hbar/2$ sí es una expresión exacta del principio de incertidumbre, $\Delta E\Delta t\geqslant \hbar/2$ no lo es...

No entiendo este comentario, si ambas se miden en las mismas magnitudes (energía x tiempo) ¿porque la primera es exacta y la segunda no lo es?

[FONT=Verdana]Así pues, para que se pueda dar una relación de incertidumbre la primera condición obvia es que las magnitudes en cuestión tengan un operador asociado. Y aquí está el quiz del asunto: mientras que posición ($\hat{X}=x$), momento($\hat{P}=-i\hbar\dfrac{\partial}{\partial x}$) y energía (operador hamiltoniano, $\hat{H}$, que recordemos que depende del número de partículas del sistema y de las energías potenciales) tienen operadores asociados, el tiempo no lo tiene.[/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]

[/FONT]Tampoco comprendo de donde sale la definición del momento.
[FONT=Verdana]
[/FONT]

Desconozco cuáles son los motivos por los que estásintrigado con las cuestiones que expones en este hilo. Por mi experienciadocente, apuesto que es un juego (útil e instructivo). Si es así conviene saberque, haciendo un símil, la Luna se alcanza con un Saturno V, no con cohetes deagua. Quiero decir que esos juegos, aunque buenos para ejercitar conocimientos,tienen límites. Y es bueno saber cuándo las herramientas de que disponemos yano dan para más.

[FONT=Verdana]
[/FONT]
Buen consejo, creo que debería aplicármelo también para mi mismo. Yo también me he bajado los enlaces que propones.

Saludos, gracias y Feliz año.


[/FONT]

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

si ambas se miden en las mismas magnitudes (energía x tiempo) ¿porque la primera es exacta y la segunda no lo es?

Como comenté anteriormente, el que las dimensiones de dos operaciones sean iguales no significan que sean la misma cosa (el ejemplo del trabajo y el momento de una fuerza es uno de los más claros). Aquí podrías decirme que no es lo mismo, pues en el ejemplo del trabajo y el momento de una fuerza las operaciones son diferentes, mientras que aquí ambas son productos. Si miras el lado izquierdo de la desigualdad la operación sí es la misma (un producto de dos incertidumbres). La diferencia está en el lado derecho: en el caso de la posición y el momento sale de aplicar el conmutador de sus operadores a cualquier estado del sistema, descrito por cualquier función de onda (esto es muy importante). En el caso del par energía-tiempo la cosa es diferente, como podrás apreciar en los enlaces que mencioné.

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]

[/FONT]Tampoco comprendo de donde sale la definición del momento.

Si no me equivoco, el operador momento lineal se postula de esa manera (o si se prefiere, se deriva de cómo se postula que debe ser la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, mira por ejemplo aquí: http://la-mecanica-cuantica.blogspot...tematicas.html)[/FONT]

Saludos y feliz año (a ver si es verdad que tenemos un año más feliz, al menos a escala global, que los últimos que llevamos).

[alexpglez]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Creo que, hay que aclarar que $\Delta p$, $\Delta x$ etc. es un concepto estadístico llamado desviación típica parecido a la desviación media.

La desviación media es la media de las desviaciones a la media:
En el caso de un número finito n de valores, llamemos los distintos valores que toma la posición de una partícula en el espacio $x_1\;...\;x_n$ con probabilidad $p_1\;...\;p_n$. La media es justo:

$$<x>=\frac{x_1p_1+...+x_np_n}{p_1+...p_n}$$

Las desviaciones a la media serán los n valores $s_n=|x_n-<x>|$. Y la desviación media es justamente la media de estos valores:

$$\frac{s_1p_1+...+s_np_n}{p_1+...p_n}$$

En cambio la desviación típica se define justamente así:

$$\Delta x=\sqrt{\frac{s_1^2p_1+...+s_n^2p_n}{p_1+...p_n}}$$

Desconozco la razón, pero creo que resulta más útil estadísticamente.
Para el caso infinito, se generaliza la definición anterior con ayuda de las integrales.

Esto de momento no es nada extraño, sino es teoría intuitiva de la probabilidad y estadística. Lo extraño (si uno está acostumbrado a la concepción clásica probabilística) es que es que se cumpla el principio de incertidumbre de Heissenberg:
Imaginemos un cierto experimento de una partícula que la medimos en un cierto instante del tiempo, imaginemos un suceso elemental o posible estado de la partícula. Según la teoría de la probabilidad clásica, la posición y el momento están determinados, por tanto la media de cada magnitud en este suceso elemental será la misma, y las desviaciones medias y típicas van a ser 0 y esto viola el principio de incertidumbre. Luego la teoría de la probabilidad clásica no describe bien la mecánica cuántica, y esto es lo extraño de la mecánica cuántica.

Saludos

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Imaginemos un cierto experimento de una partícula que la medimos en un cierto instante del tiempo, imaginemos un suceso elemental o posible estado de la partícula. Según la teoría de la probabilidad clásica, la posición y el momento están determinados, por tanto la media de cada magnitud en este suceso elemental será la misma, y las desviaciones medias y típicas van a ser 0 y esto viola el principio de incertidumbre.

Con frecuencia se asocia el principio de incertidumbre con medidas, cuando en realidad ello no es así. La incertidumbre cuántica no es un problema de medida, sino que obedece a la propia naturaleza de las magnitudes cuánticas.

Aunque es frecuente la línea siguiente de pensamiento, no es correcta: si tuviésemos infinitas partículas idénticas y en idénticas condiciones y determinásemos su posición y momento entonces no tendremos un único resultado, sino una distribución de valores, cumpliéndose que las medidas de dispersión cumplirán una relación como la que indica el principio de incertidumbre de Heisenberg. Ojo: no digo que eso no sea así, sino que no es el alma mater del principio de incertidumbre, sino una consecuencia del mismo!

Por cierto, al hilo de la intervención de Álex: el que se emplee la desviación típica o cualquier otra medida de dispersión tan sólo afecta al factor que aparece en el lado derecho de la relación de incertidumbre. Es $\frac{1}{2}$ si se manejan desviaciones típicas (lo que se traduce en $h/4\pi$ en la incertidumbre posición-momento).

La esencia del principio de incertidumbre es otra: en Mecánica cuántica las magnitudes clásicas, como posición, momento, etcétera no están bien definidas (una explicación por ejemplo aquí). Es incorrecto pensar que la partícula en realidad ahora está "aquí" o "en tal sitio". De acuerdo con el formalismo de la Mecánica cuántica en cada instante la partícula no está en un sitio determinado, pues la función de onda que describe su estado se extiende a todo el espacio.

La "rareza" de la Mecánica cuántica no es tanto el principio de incertidumbre, sino esto último: la partícula "está en todas partes a la vez". Por supuesto, como tantas veces nos cuentan en los institutos, este aspecto sólo es esencial si las descripciones microscópicas son claves. Si no es así y podemos conformarnos con promedios extendidos a volúmenes suficientemente "enormes" (pero que siguen siendo minúsculos para nuestra escala) entonces el formalismo clásico es válido y esas "rarezas" se desvanecen. Obviamente, la rareza procede del hecho de que nosotros mismos, y los "equipos" de detección que la naturaleza nos ha proporcionado, son gigantescos en comparación con las escalas que requieren de la descripción cuántica.

[Sirio XXI]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Soy consciente de que al largar toda esta parrafada me estoy yendo del nivel que pretendes, por cómo le contestaste a alar. El mensaje es que no tiene sentido que te pongas a especular sobre si medir posición y momento, o energía y tiempo es una acción o no y si el principio de incertidumbre equivale a la existencia de una incertidumbre de la acción, pues entonces estás jugando a cosas que salen del nivel de divulgación o de Física básica.

Gracias por la parrafada (que esta por encima de mi nivel "divulgacion", si)

La intencion del hilo es entender, al menos en los casos mas sencillos, que dice el principio de indeterminacion. La razon de especular con la cuantizacion es que parece ser el origen de la incertidumbre (?) Visto desde un punto de vista "divulgacion";

- La medida de la posicion de una particula puede ser cualquiera, en principio
- La medida de su momento, tambien
- Las medidas simultaneas de posicion y momento no, porque su producto es la accion de la particula, y tiene que ser un numero entero por la constant de Planck
- Ignorar este vinculo entre las dos magnitudes, da lugar a un error del orden de magnitud de la constant de Planck, incluso en un experimento mental

En fin, este hilo es al nivel divulgacion, y parece que la respuesta es que a ese nivel no se puede discutir adecuadamente. Lo cual es una respuesta, y la agradezco


Gracias !

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

- La medida de la posicion de una particula puede ser cualquiera, en principio
- La medida de su momento, tambien
- Las medidas simultaneas de posicion y momento no

No confundamos valor con incertidumbre del valor. Lanzar al aire un dado puede dar cualquier valor del 1 al 6 (si el dado no está trucado). Eso es diferente de que deba existir cierta varianza en los resultados. Lo que nos dice el principio de incertidumbre es que las incertidumbres de la posición y del momento no son independientes. No es lo mismo que decir que al medir simultáneamente posición y velocidad los valores no puedan ser cualesquiera. Claro que pueden ser cualesquiera. Las que no pueden ser cualesquiera son las estadísticas de sus valores: sus incertidumbres deben cumplir la relación de Heisenberg.

- Las medidas simultaneas de posicion y momento no, porque su producto es la accion de la particula

No. El producto de la posición y del momento para nada es la acción de la partícula.

Veamos un ejemplo clásico sencillo: un cuerpo cae libremente desde cierta altura y partiendo del reposo. Tomemos el origen de coordenadas en el punto de partida y coordenadas positivas hacia abajo. Su posición será $x=\frac{1}{2}gt^2$, su momento $p=mgt$; el producto de ambas es $xp=\frac{1}{2}mg^2t^3$. ¿Cuál es su acción, calculada entre $t=0$ y $t$?. La energía cinética es $K=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mg^2t^2$, la energía potencial es $U=-mgx=-\frac{1}{2}mg^2t^2$. El lagrangiano es $L=K-U=mg^2t^2$. La acción entre $t=0$ y $t$ es $S=\int_0^t L \dd t=\frac{1}{3}mg^2t^3\neq xp$

Insisto por enésima vez: que las unidades sean las mismas no significa que las magnitudes sean las mismas.

- Las medidas simultaneas de posicion y momento no, porque su producto es la accion de la particula, y tiene que ser un numero entero por la constant de Planck

La frase completa es falsa: una cosa es que la acción esté cuantizada por la constante de Planck (que sí sucede en Mecánica cuántica) y otra cosa diferente es que eso sea lo que motiva el principio de incertidumbre.

Espero que no te tomes a mal mis palabras: ¡la frase que acabo de citar te la estás sacando de la manga!

- Ignorar este vinculo entre las dos magnitudes, da lugar a un error del orden de magnitud de la constant de Planck, incluso en un experimento mental

De nuevo estás malinterpretando el principio de incertidumbre: no hay ningún vínculo mágico entre la posición y el momento. Simplemente son dos magnitudes que en Mecánica cuántica juegan un papel secundario. Son sus definiciones las que conducen a esa relación entre sus incertidumbres.

En fin, este hilo es al nivel divulgacion, y parece que la respuesta es que a ese nivel no se puede discutir adecuadamente. Lo cual es una respuesta, y la agradezco

Espero que tu intención no sea discutir cómo debe interpretarse el principio de incertidumbre! Entiendo que lo que pretendes es preguntar si es correcto justificar el principio de incertidumbre a partir de la cuantización de la acción.

Como se ha dicho, en primer lugar las relaciones de incertidumbre no sólo afectan a magnitudes cuyo producto tiene dimensiones de acción. Reitero una vez más el magnífico apunte que al respecto ha hecho alar. Olvídate si quieres de los detalles: lo que él te ha señalado es que no sólo el principio de incertidumbre toma la forma posición-momento, sino que hay otras en las que el lado derecho ni siquiera es la constante de Planck por un número.

¿Hay alguna relación indirecta con la acción? Podríamos ponernos muy "clásicos" y decir que indirectamente sí, que la cuantización de la acción motiva el desarrollo de la Mecánica cuántica, etc. Pero eso sería como decir que la ingeniería romana es la que motiva las leyes de Newton y que entonces es la que está en la base de la Física. Opino que el punto de vista correcto es otro: la Mecánica cuántica tiene sus postulados, de los cuales se sigue (o forma parte, pues hay ese otro punto de vista) el principio de incertidumbre, y también se sigue la cuantización de la acción.

Buscar otros vínculos es buscarle tres pies al gato.

[inakigarber]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Como comenté anteriormente, el que las dimensiones de dos operaciones sean iguales no significan que sean la misma cosa (el ejemplo del trabajo y el momento de una fuerza es uno de los más claros). Aquí podrías decirme que no es lo mismo, pues en el ejemplo del trabajo y el momento de una fuerza las operaciones son diferentes, mientras que aquí ambas son productos. Si miras el lado izquierdo de la desigualdad la operación sí es la misma (un producto de dos incertidumbres). La diferencia está en el lado derecho: en el caso de la posición y el momento sale de aplicar el conmutador de sus operadores a cualquier estado del sistema, descrito por cualquier función de onda (esto es muy importante). En el caso del par energía-tiempo la cosa es diferente, como podrás apreciar en los enlaces que mencioné....

Parto de la idea de que todo lo que se expresa en las mismas unidades es lo mismo, pero creo que esto es una equivocación mía. Como dices anteriormente, la energía, se define como fuerza x espacio, pero también el momento de una fuerza se define como fuerza x espacio ¿son lo mismo? (creo que no).

Bien, por otra parte, en la relación $\Delta{E}\Delta{t}\geqslant{\hbar/2}$ tengo el producto de dos escalares (E y t), es decir, dos magnitudes definidas solamente por el valor de su módulo, en tanto que en el producto $\vec{\Delta{p}}\vec{\Delta{x}}\geqslant{\hbar/2}$, tengo un producto escalar de dos vectores, es decir dos magnitudes para cuya correcta estimación debo conocer con el mínimo margen de error posible ($\Delta\approx0$) dos medidas, el módulo de la magnitud (fuerza ó momento) y también su dirección, sin las cuales no queda definida la magnitud. ¿Es esto importante, o continuo echando balones fuera?

[FONT=Verdana]Si no me equivoco, el operador momento lineal se postula de esa manera (o sise prefiere, se deriva de cómo se postula que debe ser la ecuación deSchrödinger independiente del tiempo, mira por ejemplo aquí: http://la-mecanica-cuantica.blogspot...tematicas.html)....[/FONT]

Lo preguntaba por ver donde esta esa información. En lo que respecta al segundo enlace, conozco el blog en cuestión, estoy leyéndolo desde el principio, pero a duras penas consigo entender algo y avanzar. Tal vez yo también estoy intentando alcanzar la luna con cohetes de agua. De momento, me conformo con comprobar (eso creo que sí comprendo) que $-\frac{i \hbar \partial }{\partial_x}$ se expresa en magnitudes de $mv$, que son las mismas que las del momento lineal.

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

Hola a todos. Solo vengo a comentar una cosa rápida:

Bien, por otra parte, en la relación $\Delta{E}\Delta{t}\geqslant{\hbar/2}$ tengo el producto de dos escalares (E y t), es decir, dos magnitudes definidas solamente por el valor de su módulo, en tanto que en el producto $\vec{\Delta{p}}\vec{\Delta{x}}\geqslant{\hbar/2}$, tengo un producto escalar de dos vectores, es decir dos magnitudes para cuya correcta estimación debo conocer con el mínimo margen de error posible ($\Delta\approx0$) dos medidas, el módulo de la magnitud (fuerza ó momento) y también su dirección, sin las cuales no queda definida la magnitud. ¿Es esto importante, o continuo echando balones fuera?

No, $\Delta x$ y $\Delta p$ no son vectores, son escalares. Como dice alexpglez, son desviaciones típicas:

$\Delta x=\sqrt{\left< x^2\right>-\left< x\right>^2}$

$\Delta p=\sqrt{\left< p^2\right>-\left< p\right>^2}$

[arivasm]

Re: Accion , Cuantizacion &amp; Indeterminacion

...en tanto que en el producto $\vec{\Delta{p}}\vec{\Delta{x}}\geqslant{\hbar/2}$, tengo un producto escalar de dos vectores...

Aunque Weip ya ha señalado el error voy a completar el comentario.

El principio de incertidumbre posición-momento debe expresarse como $\Delta q\Delta p_q\geqslant \hbar/2$, donde $q$ es una coordenada y $p_q$ el momento asociado. De este modo, si manejamos coordenadas cartesianas lo que tenemos es que $\Delta x\Delta p_x\geqslant \hbar/2$ , $\Delta y\Delta p_y\geqslant \hbar/2$ y también $\Delta z\Delta p_z\geqslant \hbar/2$. Lamentablemente, es frecuente ver escrito $\Delta x\Delta p\geqslant \hbar/2$ con lo que es fácil malinterpretarlo o intentar arreglar el gazapo como ha hecho Iñaki, a quien por cierto admiro por su tesón en el estudio de la Mecánica cuántica (pues le he leído una buena colección de preguntas muy interesantes).

Por cierto, Iñaki, quizá te merezca la pena cambiar el blog por un buen libro. Por algún sitio ya comenté que el Cohen-Tannoudji fue mi texto de cabecera, y donde encontré más claridad conceptual (pero creo recordar que también había quien decía que era un peñazo!). Si puedes échale un vistazo al primer volumen (mira los capítulos por orden y no te preocupes, al menos de entrada, por los complementos).