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Hilo: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

  1. #1
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    Predeterminado Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

    Buenas noches;

    Siguiendo el libro de Cohen, estoy tratando de entender el desarrollo de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, pero me doy cuenta de que he debido interpretar algo mal.
    Bien, veamos;
    \boxed{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\varphi_{(\vec r)}+V_{(\vec r)}\varphi_{(\vec r)}=\hbar \omega\v...
    Mas adelante, establece que esta ecuación puede simplificarse quedando de esta manera;
    \boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}
    Hasta ahora habia interpretado el signo \Delta como incremento de \varphi_{(\vec r)}, pero si esto fuera así, este paso sería imposible, por tanto, la duda es la siguiente;
    ¿Qué significa \Delta en esta ecuación?
    Por otra parte, si se puede sacar factor común de \varphi_{(\vec r)}, y dado que en el otro extremo de la ecuación, la misma función multiplica también,
    ¿Por qué no se elimina completamente de la ecuación dividiendo ambos extremos por dicha función?
    Obviamente, hay algo que he entendido mal en esta cuestión y creo que conviene aclararlo y eliminar el error.

    Saludos y gracias.
    Última edición por inakigarber; 09/10/2018 a las 22:03:44.
    Cuando aumenta nuestro área de conocimiento aumenta nuestro perímetro de ignorancia (autor desconocido)
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  2. #2
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    Predeterminado Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

    Hola inakigarber.

    Cita Escrito por inakigarber Ver mensaje
    ¿Qué significa \Delta en esta ecuación?
    \Delta es el laplaciano. Igual te es más cómodo utilizar la notación \nabla^2. Aquí no me explayo más porque seguro que lo conoces de la mecánica clásica y del cálculo en varias variables pero si quieres comentarlo más detenidamente dílo.

    Cita Escrito por inakigarber Ver mensaje
    Por otra parte, si se puede sacar factor común de \varphi_{(\vec r)}, y dado que en el otro extremo de la ecuación, la misma función multiplica también,
    Cita Escrito por inakigarber Ver mensaje
    ¿Por qué no se elimina completamente de la ecuación dividiendo ambos extremos por dicha función?
    Fíjate que lo que estás preguntando es si puedes cancelar la x en f(x)=g(x). En el fondo es una cuestión de notación pues tienes dos operadores {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}\right) y E que no son nada más que aplicaciones (llámalas funciones si te resulta más familiar aunque nadie usa ese lenguaje en este contexto) con lo cual siempre se aplican a algo, y ese algo es el vector \varphi{(\vec r)}. En el lenguaje que solemos usar de las funciones deberíamos escribir {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}\right)(\varphi{(\vec r)}) y E(\varphi{(\vec r)}) pero en este contexto se eliminan los paréntesis de forma que uno escribe {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec{r})}\right)\varphi{(\vec r)} y E\varphi{(\vec r)}. Vamos, que en vez de f(x) ecribimos fx entendiendo que esto último es una notación y no un producto (a menos que f sea multiplicar por constante).

    Aún así fíjate que de la misma forma en que puedes escribir la igualdad de funciones f=g también puedes escribir igualdades entre operadores:

    {-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}=E

    Pero siempre tienes que tener en mente que aquí nadie ha cancelado nada pues no estás haciendo ningún producto.

    Espero haberte ayudado.

    Edito: Por si acaso, es cierto que en el miembro de la derecha de la ecuación poner o quitar los paréntesis da igual porque E es multiplicar por constante pero en el miembro de la izquierda esto no es así de forma que de ninguna manera hay cancelación.
    Última edición por Weip; 10/10/2018 a las 07:07:27.
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  3. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    inakigarber (09/10/2018)

  4. #3
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    Predeterminado Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

    Gracias, has sido de mucha ayuda.
    En primer lugar;
    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    Hola inakigarber.

    \Delta es el laplaciano. Igual te es más cómodo utilizar la notación \nabla^2. Aquí no me explayo más porque seguro que lo conoces de la mecánica clásica y del cálculo en varias variables pero si quieres comentarlo más detenidamente dílo.

    Si, creo que lo conozco (aunque dada mi poca formación en física a veces me viene bien recordar esos conceptos). Si lo hubiera visto escrito esta manera, \nabla^2, lo habría entendido mejor.
    Cita Escrito por Weip Ver mensaje
    Hola inakigarber.
    ....Fíjate que lo que estás preguntando es si puedes cancelar la x en f(x)=g(x). En el fondo es una cuestión de notación pues tienes dos operadores {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}\right) y E que no son nada más que aplicaciones (llámalas funciones si te resulta más familiar aunque nadie usa ese lenguaje en este contexto) con lo cual siempre se aplican a algo, y ese algo es el vector \varphi{(\vec r)}. En el lenguaje que solemos usar de las funciones deberíamos escribir {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}\right)(\varphi{(\vec r)}) y E(\varphi{(\vec r)}) pero en este contexto se eliminan los paréntesis de forma que uno escribe {\left (-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec{r})}\right)\varphi{(\vec r)} y E\varphi{(\vec r)}. Vamos, que en vez de f(x) ecribimos fx entendiendo que esto último es una notación y no un producto (a menos que f sea multiplicar por constante).

    Aún así fíjate que de la misma forma en que puedes escribir la igualdad de funciones f=g también puedes escribir igualdades entre operadores:



    {-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec{r})}=E

    Pero siempre tienes que tener en mente que aquí nadie ha cancelado nada pues no estás haciendo ningún producto.

    Espero haberte ayudado.
    Entonces, entiendo que lo que se quiere decir en esta expresión \boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}
    es que ambos extremos de la ecuación son funciones (no sé si esta expresión es adecuada) de \varphi_{(\vec r)}, es decir que ambos tienen un mísmo valor igual (lo cual es obvio tratandose de una ecuación) que varía en función de
    \varphi_{(\vec r)}.

    Saludos y gracias.
    Última edición por inakigarber; 10/10/2018 a las 21:24:59.
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  5. #4
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    Predeterminado Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

    Cita Escrito por inakigarber Ver mensaje
    Entonces, entiendo que lo que se quiere decir en esta expresión \boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}
    es que ambos extremos de la ecuación son funciones (no sé si esta expresión es adecuada) de \varphi_{(\vec r)}, es decir que ambos tienen un mísmo valor igual (lo cual es obvio tratandose de una ecuación) que varía en función de
    \varphi_{(\vec r)}.

    Saludos y gracias.
    Sí, esa es la idea, aunque el término función no se usa. En su lugar se utiliza el de operador. Una función come números y escupe números mientras que los operadores comen funciones y escupen funciones. Así pues llamamos función a \varphi y operador a -\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec r)}. Por ahora quédate esto como un cambio de lenguaje y ya verás a medida que avances porqué es adecuado usar la palabra operador y no función. Meterse en ello ahora es un follón. Por último, decir que verás también en algunos libros que para distinguir los operadores de las funciones de toda la vida usan un gorrito: \hat{A}. Otros escriben simplemente A. Cuestión de criterios.

    ¡Saludos!
    \dst\oint_S \vec{E} \cdot \dd \vec{S}=\dst\frac{Q}{\epsilon_0}

  6. El siguiente usuario da las gracias a Weip por este mensaje tan útil:

    inakigarber (11/10/2018)

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