Divulgación Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

[inakigarber]

Buenas noches;

Siguiendo el libro de Cohen, estoy tratando de entender el desarrollo de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, pero me doy cuenta de que he debido interpretar algo mal.
Bien, veamos;
$\boxed{-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta\varphi_{(\vec r)}+V_{(\vec r)}\varphi_{(\vec r)}=\hbar \omega\varphi_{(\vec r)}}$
Mas adelante, establece que esta ecuación puede simplificarse quedando de esta manera;
$\boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}$
Hasta ahora habia interpretado el signo $\Delta$ como incremento de $\varphi_{(\vec r)}$, pero si esto fuera así, este paso sería imposible, por tanto, la duda es la siguiente;
¿Qué significa $\Delta$ en esta ecuación?

Por otra parte, si se puede sacar factor común de [FONT=Verdana]$\varphi_{(\vec r)}$[/FONT][FONT=Verdana][FONT=Verdana], y dado que en el otro extremo de la ecuación, la misma función multiplica también,
[/FONT][/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]¿Por qué no se elimina completamente de la ecuación dividiendo ambos extremos por dicha función?[/FONT][/FONT]
Obviamente, hay algo que he entendido mal en esta cuestión y creo que conviene aclararlo y eliminar el error.

Saludos y gracias.

[Weip]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Hola inakigarber.

¿Qué significa $\Delta$ en esta ecuación?

$\Delta$ es el laplaciano. Igual te es más cómodo utilizar la notación $\nabla^2$. Aquí no me explayo más porque seguro que lo conoces de la mecánica clásica y del cálculo en varias variables pero si quieres comentarlo más detenidamente dílo.

Por otra parte, si se puede sacar factor común de [FONT=Verdana]$\varphi_{(\vec r)}$[/FONT][FONT=Verdana][FONT=Verdana], y dado que en el otro extremo de la ecuación, la misma función multiplica también,
[/FONT][/FONT]

[FONT=Verdana][FONT=Verdana]¿Por qué no se elimina completamente de la ecuación dividiendo ambos extremos por dicha función?[/FONT][/FONT]

Fíjate que lo que estás preguntando es si puedes cancelar la $x$ en $f(x)=g(x)$. En el fondo es una cuestión de notación pues tienes dos operadores [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E$ que no son nada más que aplicaciones (llámalas funciones si te resulta más familiar aunque nadie usa ese lenguaje en este contexto) con lo cual siempre se aplican a algo, y ese algo es el vector [FONT=Verdana]$\varphi{(\vec r)}$. En el lenguaje que solemos usar de las funciones deberíamos escribir [/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E(\varphi{(\vec r)})$ pero en este contexto se eliminan los paréntesis de forma que uno escribe [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E\varphi{(\vec r)}$. Vamos, que en vez de $f(x)$ ecribimos $fx$ entendiendo que esto último es una notación y no un producto (a menos que $f$ sea multiplicar por constante).

Aún así fíjate que de la misma forma en que puedes escribir la igualdad de funciones $f=g$ también puedes escribir igualdades entre operadores:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero siempre tienes que tener en mente que aquí nadie ha cancelado nada pues no estás haciendo ningún producto.

Espero haberte ayudado.

Edito: Por si acaso, es cierto que en el miembro de la derecha de la ecuación poner o quitar los paréntesis da igual porque $E$ es multiplicar por constante pero en el miembro de la izquierda esto no es así de forma que de ninguna manera hay cancelación.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Gracias, has sido de mucha ayuda.
En primer lugar;

Hola inakigarber.

$\Delta$ es el laplaciano. Igual te es más cómodo utilizar la notación $\nabla^2$. Aquí no me explayo más porque seguro que lo conoces de la mecánica clásica y del cálculo en varias variables pero si quieres comentarlo más detenidamente dílo.

Si, creo que lo conozco (aunque dada mi poca formación en física a veces me viene bien recordar esos conceptos). Si lo hubiera visto escrito esta manera, $\nabla^2$, lo habría entendido mejor.

Hola inakigarber.
....Fíjate que lo que estás preguntando es si puedes cancelar la $x$ en $f(x)=g(x)$. En el fondo es una cuestión de notación pues tienes dos operadores [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E$ que no son nada más que aplicaciones (llámalas funciones si te resulta más familiar aunque nadie usa ese lenguaje en este contexto) con lo cual siempre se aplican a algo, y ese algo es el vector $\varphi{(\vec r)}$. En el lenguaje que solemos usar de las funciones deberíamos escribir [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E(\varphi{(\vec r)})$ pero en este contexto se eliminan los paréntesis de forma que uno escribe [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y $E\varphi{(\vec r)}$. Vamos, que en vez de $f(x)$ ecribimos $fx$ entendiendo que esto último es una notación y no un producto (a menos que $f$ sea multiplicar por constante).

Aún así fíjate que de la misma forma en que puedes escribir la igualdad de funciones $f=g$ también puedes escribir igualdades entre operadores:



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Pero siempre tienes que tener en mente que aquí nadie ha cancelado nada pues no estás haciendo ningún producto.

Espero haberte ayudado.

Entonces, entiendo que lo que se quiere decir en esta expresión $\boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}$
es que ambos extremos de la ecuación son funciones (no sé si esta expresión es adecuada) de $\varphi_{(\vec r)}$[FONT=Tahoma], es decir que ambos tienen un mísmo valor igual (lo cual es obvio tratandose de una ecuación) que varía en función de

[FONT=Verdana]$\varphi_{(\vec r)}$.

Saludos y gracias.
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[Weip]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Entonces, entiendo que lo que se quiere decir en esta expresión $\boxed{\left [-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V_{(\vec r)}\right]\varphi_{(\vec r)}=E\varphi_{(\vec r)}}$
es que ambos extremos de la ecuación son funciones (no sé si esta expresión es adecuada) de $\varphi_{(\vec r)}$[FONT=Tahoma], es decir que ambos tienen un mísmo valor igual (lo cual es obvio tratandose de una ecuación) que varía en función de

[FONT=Verdana]$\varphi_{(\vec r)}$.

Saludos y gracias.
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Sí, esa es la idea, aunque el término función no se usa. En su lugar se utiliza el de operador. Una función come números y escupe números mientras que los operadores comen funciones y escupen funciones. Así pues llamamos función a $\varphi$ y operador a $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec r)}$. Por ahora quédate esto como un cambio de lenguaje y ya verás a medida que avances porqué es adecuado usar la palabra operador y no función. Meterse en ello ahora es un follón. Por último, decir que verás también en algunos libros que para distinguir los operadores de las funciones de toda la vida usan un gorrito: $\hat{A}$. Otros escriben simplemente $A$. Cuestión de criterios.

¡Saludos!

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Sí, esa es la idea, aunque el término función no se usa. En su lugar se utiliza el de operador. Una función come números y escupe números mientras que los operadores comen funciones y escupen funciones. Así pues llamamos función a $\varphi$ y operador a $-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta+V{(\vec r)}$. Por ahora quédate esto como un cambio de lenguaje y ya verás a medida que avances porqué es adecuado usar la palabra operador y no función. Meterse en ello ahora es un follón. Por último, decir que verás también en algunos libros que para distinguir los operadores de las funciones de toda la vida usan un gorrito: $\hat{A}$. Otros escriben simplemente $A$. Cuestión de criterios.

¡Saludos!

Perdón por el retraso, he estado un tiempo apartado del foro. Me sorprende esa afirmación de que "Una función come números y escupe números mientras que los operadores comen funciones y escupen funciones." (el subrayado es mio) , habia pensado (supongo que equivocadamente) que conceptos como derivadas, integrales y transformadas de Fourier podrían considerarse como operadores. He buscado información en internet, y la que he encontrado en la wikipedia , pues casí que me ha confundido más.

Encuentro que el operador espacio es $\hat x=x$, por tanto, ambos son lo mismo, pero por lo referente al momento lineal, el operador es $\hat p_{x}=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$, por una parte, me doy cuenta de que, al menos en el caso del momento lineal un operador es algo que no puede estar solo (excepto el $\hat x$ que es su propio operador). Me causan confusión el signo negativo y el hecho de que $\hat p$ se define como una derivada de "algo" con respecto al tiempo, en tanto que el momento lineal se define como masa por velocidad, es decir $m\dfrac{dx}{dt}$.

[FONT=Verdana]Esto ¿explicaría la extraña (e inquietante) ecuación de Born?[/FONT]

$[Q,P]=QP-PQ=i\hbar I$

[Weip]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

Perdón por el retraso, he estado un tiempo apartado del foro. Me sorprende esa afirmación de que "Una función come números y escupe números mientras que los operadores comen funciones y escupen funciones." (el subrayado es mio) , habia pensado (supongo que equivocadamente) que conceptos como derivadas, integrales y transformadas de Fourier podrían considerarse como operadores. He buscado información en internet, y la que he encontrado en la wikipedia , pues casí que me ha confundido más.

Sí, los conceptos que comentas puedes interpretarlos como operadores, y como ves se usan mucho porque cosas tan básicas como el momento lineal se construyen a través de la derivada.

Encuentro que el operador espacio es $\hat x=x$, por tanto, ambos son lo mismo, pero por lo referente al momento lineal, el operador es $\hat p_{x}=-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}$, por una parte, me doy cuenta de que, al menos en el caso del momento lineal un operador es algo que no puede estar solo (excepto el $\hat x$ que es su propio operador). Me causan confusión el signo negativo y el hecho de que $\hat p$ se define como una derivada de "algo" con respecto al tiempo, en tanto que el momento lineal se define como masa por velocidad, es decir $m\dfrac{dx}{dt}$.

[FONT=Verdana]Esto ¿explicaría la extraña (e inquietante) ecuación de Born?[/FONT]

$[Q,P]=QP-PQ=i\hbar I$

Cuidado porque no creo que debas comparar el operador momento lineal de la cuántica con el momento lineal de la mecánica newtoniana directamente. Son objetos muy distintos. Si quieres una especie de "interpretación clásica" (con muchas comillas) del operador momento lineal lo podrás encontrar en sus valores y vectores propios. Más adelante verás que igual que pasa con las matrices los operadores se pueden diagonalizar. Por ejemplo en tu libro te explicarán el caso de una partícula en una caja y te describiran el proceso de encontrar los valores propios de la energía solucionando la ecuación de Schrödinger. Estos valores propios darán los niveles de energía famosos y esta será una conexión directa con tu idea intuitiva de energía. En cambio si miras el operador energía pues no encontraras una interpretación clara de qué significa o qué conexión tiene con la función energía de la mecánica newtoniana. Lo mismo pasa con los demás operadores. Además que su forma depende de una base.

Sobre la conexión con la ecuación de Born, puedes comprobar que los operadores posición y momento de la wikipedia obedecen esa relación. De hecho esa relación te fija la forma de los operadores de posición, momento y el espacio de Hilbert. Pero esto creo que es una historia aparte.

Por último decir que creo que debes avanzar más en tu libro para poder entender estas cosas con perspectiva porque si no los árboles no te dejarán ver el bosque. Espero haberte ayudado.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

..Cuidado porque no creo que debas comparar el operador momento lineal de la cuántica con el momento lineal de la mecánica newtoniana directamente. ...

Quizá una forma clara de entenderlo sea el ejemplo de una derivada, no es lo mismo (o no tiene porque serlo) el objeto que se deriva, el resultado de dicha derivada y el hecho de derivar en si. No es lo mismo el momento lineal, el operador que uso para tratar dicho momento y el resultado final de la operación. Al menos yo lo entiendo así.

...Más adelante verás que igual que pasa con las matrices los operadores se pueden diagonalizar. Por ejemplo en tu libro te explicarán el caso de una partícula en una caja y te describiran el proceso de encontrar los valores propios de la energía solucionando la ecuación de Schrödinger. Estos valores propios darán los niveles de energía famosos y esta será una conexión directa con tu idea intuitiva de energía. En cambio si miras el operador energía pues no encontraras una interpretación clara de qué significa o qué conexión tiene con la función energía de la mecánica newtoniana. Lo mismo pasa con los demás operadores. Además que su forma depende de una base.[FONT=Verdana]

Sobre la conexión con la ecuación de Born, puedes comprobar que los operadores posición y momento de la wikipedia obedecen esa relación. De hecho esa relación te fijala forma de los operadores de posición, momento y el espacio de Hilbert. Pero esto creo que es una historia aparte.

Porúltimo decir que creo que debes avanzar más en tu libro para poder entender estas cosas con perspectiva porque si no los árboles no te dejarán ver elbosque. Espero haberte ayudado.[/FONT]

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[FONT=Verdana]Supongo que es cuestión de tiempo, de mucha paciencia y de seguir estudiándolo.[/FONT]

Si, creo que me has resultado de ayuda.

Saludos y gracias.
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