La ¿demostración? de la ecuación de Schrödinger

[Arri]

Echando un vistazo al blog de Demostraciones de esta página web, me he encontrado con la demostración de la ecuación de Shrödinger independiente del tiempo, que después se usa en la demostración de la ecuación de Shrödinger dependiente del tiempo. Escribo esta entrada como respuesta a ambas (en las que no comento porque ya tienen su tiempo y porque pretendo extenderme bastante) porque no estoy de acuerdo con ellas.

Antes de continuar, quiero dejar claro que sólo soy un estudiante de 3º de Física y que lo único que sé de Física Cuántica es lo que he estudiado este semestre. Pero resulta que se contradice (en cierta manera) con lo que se dice en las demostraciones que menciono aquí. Así que pido disculpas por adelantado por posibles meteduras de pata que pueda decir a continuación.

Tal como a mí me lo han contado, la ecuación de Schrödinger es un postulado de la Mecánica Cuántica, y como postulado que es no se puede demostrar. Sí es cierto que puede justificarse con argumentos físicos como los que en estas demostraciones se explican (a saber, la ecuación de ondas y el postulado de De Broglie). De hecho, podemos encontrar una "demostración" en base a esto en el libro "Física Cuántica" de Eisberg-Resnick. Pero insisto: no es una demostración, sino un razonamiento que justifica la ecuación.

Lo que a mí me han explicado es que un sistema cuántico viene descrito por su función de ondas $\psi (\vec{r},t)$, la cual ha de cumplir la ecuación de Schrödinger:

$$\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) \right) \psi(\vec{r},t) = i \hbar \frac{\partial \psi (\vec{r},t)}{\partial t}$$

Con $\nabla^2$ el operador laplaciano, que en cartesianas es $\nabla^2 = \displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$.

¿Y de dónde sale la famosa ecuación de Schrödinger independiente del tiempo?

No se trata de una ecuación aparte, ni siquiera de un caso particular de esta. Es, simplemente, una consecuencia de la resolución de la ecuación de Shrödinger para potenciales independientes del tiempo. Veámoslo:

Sea $V=V(\vec{r})$. La ecuación de Shrödinger queda como:

$$\left(- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right) \psi(\vec{r},t) = i \hbar \frac{\partial \psi (\vec{r},t)}{\partial t}$$

Consideremos, ahora, que podemos escribir nuestra función de ondas como producto de una parte dependiente del espacio y otra dependiente del tiempo, es decir:

$$\psi(\vec{r},t) = \varphi (\vec{r}) T(t)$$

Llevando esto a nuestra ecuación:

$$\left(- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right) \varphi(\vec{r})T(t) = i \hbar \frac{\partial (\varphi(\vec{r})T(t))}{\partial t}$$

Como $\varphi \neq \varphi(t)$:

$$\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r}) \right) \varphi(\vec{r})T(t) = i \hbar \varphi(\vec{r}) \frac{d T(t)}{d t}$$

Si separamos por un lado lo que depende del espacio y por otro lo que depende del tiempo (sabiendo que el operador laplaciano es puramente espacial y que el potencial es independiente del tiempo):

$$-\frac{1}{\varphi(\vec{r})}\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \varphi(\vec{r}) + V(\vec{r}) = \frac{i\hbar}{T(t)}\frac{d T(t)}{d t}$$

Tenemos una igualdad del tipo $f(\vec{r})=g(t)$, es decir, dos funciones de variables diferentes que siempre son iguales independientemente de cómo varíen estas variables. La única solución posible es que $f(\vec{r})=g(t)=constante$. En este caso, a tal constante la llamamos $E$. Obtenemos, pues, dos ecuaciones:

$$\frac{i\hbar}{T(t)}\frac{d T(t)}{dt} = E$$

$$-\frac{1}{\varphi(\vec{r})}\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \varphi(\vec{r}) + V(\vec{r}) = E \Rightarrow \left( -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\vec{r})\right)\varphi(\vec{r})= E \varphi (\vec{r})$$

De la ecuación de tiempo vemos que:

$$\frac{dT}{T}= \frac{E}{i\hbar}dt \Rightarrow \frac{dT}{T}= - \frac{Ei}{\hbar}dt \Rightarrow T(t)=e^{-iEt/\hbar}$$

La ecuación de espacio es la conocidísima ecuación de Shrödinger independiente del tiempo Ésta, como vemos, no describe por sí sola el sistema físico: es $\psi(\vec{r},t)$ la que lo describe totalmente, la función $\varphi(\vec{r})$ que aparece en la ecuación independiente del tiempo es sólo una parte de la función de ondas completa. Lo que pasa es que, como la parte temporal es siempre la misma, basta con resolver la parte espacial para resolver el problema, pues siempre tenemos que, para potenciales independientes del tiempo:

$$\psi (\vec{r},t) = \varphi(\vec{r}) e^{-iEt/\hbar}$$

[Javiershadow1]

Es verdad, la ecuación de Schrödinger no tiene una demostración formal. Parte de la teoría de estudiar a las ondas como una combianción lineal de ondas simples, cuya forma es la de la exponencial compleja de (kr-wt) y la deducción se obtiene para este caso particular. Asume que cualquier onda se puede escribir como una superposición de ondas planas, esto se puede demostrar mediante el análisis armónico de Fourier.

Bueno esto es lo que tengo entendido pero no me hagas mucho caso, pregunta a algún profesor de física.