Demostración geométrica del teorema de Pitágoras

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Aunque no os lo creáis, la primera vez que vi esto fue dibujado en una pared el baño de la universidad, al lado del teléfono de un chapero. Por algún motivo, lo he recordad y creo que puede ser interesante compartirlo con vosotros. Lo de Pitágoras, el teléfono no lo comparto.

Se trata de tomar un cuadrado de lado $c$, e inscribirlo en otro más grande, tal y como veis en el gráfico anterior. Los vértices del cuadrado interior cortan los del exterior dividiéndolos en dos segmentos de longitudes $a$ y $b$. Es fácil darse cuenta que esta división es la misma en cada uno de los cuatro lados del cuadrado mayor.

Por lo tanto, los lados del cuadrado mayor miden $a+b$. Su área, por lo tanto, es simplemente

$$A = (a+b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2 .$$

Cuando insertamos el cuadrado menor, esta área queda dividida en cinco zonas diferentes, el cuadrado interior (de lado $c$), y cinco triángulos rectángulos de catetos $a$ y $b$, e hipotenusa $c$. Por lo tanto,

$$A = A_c + 4 A_\text{triangulo} .$$

Por supuesto, el área del cuadrado interior es simplemente $A_c = c^2$. Para calcular el área de los triángulos, nos fijamos por ejemplo en el que hemos resaltado en verde en la figura. La base de dicho triángulo es $a$, mientras que su altura es $b$. El área será igual al producto de ambas cantidades dividido por dos,

$$A_\text{triangulo} = \frac12 a b .$$

Por lo tanto, tenemos

$$A = c^2 + 2 a b .$$

Si igualamos esta última expresión con la que habíamos obtenido al principio, obtenemos la siguiente igualdad,

$$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2 a b .$$

El término $2ab$ aparece a ambos lados de la igualdad, y por lo tanto se puede cancelar. Nos queda el archiconocido teorema de Pitágoras,

$$\boxed{ a^2 + b^2 = c^2 . }$$

Como veis, esta es una forma extremadamente simple de demostrar este teorema que todos aprendemos de pequeños. Se basa únicamente en la definición de área como "base por altura" (recordad que el área del triángulo también proviene de ahí, ya que dos triángulos juntos invertidos producen un cuadrilátero).

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Uhhh, interesante articulo! pero parece que a Alfre le intereso mas la fuente de tu inspiracion...yo pensaba que escribir cosas en los baños era cosa de mi facultad...incluso ponen telefonos para citas y eso...

Es que si a alfre le interesa algo minimamente normal o relacionado con el fondo de los mensajes, yo creo que su cabeza explota :P

[ser humano]

yo creo que su cabeza explota :P

como el ordenador

[inakigarber]

Si me huvieran pedido les demostrara el teorema de pitágoras les hubiera dicho que era incapaz de hacerlo. De haberlo intentado habria hecho un monton de numeros para nada. Cuando vi el dibujo que abria el blog, no pude menos que rendirme a la evidencia. Es sencillo a mas no poder. A veces un simple y sencillo dibujo puede abrirnos la mente a metas que nos parecian vedadas.