Primera Ley de Kepler

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Primera Ley de Kepler

Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, que está ubicado en uno de los focos de la elipse.

Para demostrar esta ley tenemos que estudiar la trayectoria, en principio de carácter desconocido, que describe un cuerpo que orbita alrededor del Sol (o de cualquier otro cuerpo). Consideramos el cuerpo central fijo en un punto y el cuerpo a analizar orbitando a su alrededor; si bien es cierto que ambos cuerpos orbitarán alrededor de su centro de masas, podemos considerar el Sol fijo debido a que su masa muy superior a la del cuerpo hará que el centro de masas esté muy cercano al centro de masas del Sol, en cualquier caso todos los resultados que obtengamos son aplicables si la masa considerada es la masa reducida del sistema.

De acuerdo con la figura, el cuerpo se halla en un momento determinado en una posición definida por el vector $\vec{\rho}$ y se mueve con una velocidad $\vec{v}$ que podemos descomponer en $\vec{v}_{\rho}$ según la dirección de $\vec{\rho}$ y $\vec{v}_{\alpha}$ normal a este; definiendo la velocidad angular como

$$\omega=\frac{\dd\alpha}{\dd t}$$

la componente normal será

$$v_{\alpha}=\rho\omega$$

y la $v_\rho$ será

$$v_\rho=\frac{\dd \rho}{\dd t}$$

Conforme a lo visto en la demostración de la 2ª Ley de Kepler, el momento angular $\vec{L}$ permanece constante lo cual supone que el movimiento se desarrolla en un mismo plano siempre y que el módulo $L$ del momento angular es una constante a lo largo de todo el recorrido. De la definición de $L$

$$L=m\rho^2\omega$$

obtenemos

$$\omega\rho=\frac{L}{m\rho}$$

$$\omega=\frac{L}{m\rho^2}$$

más adelante haremos uso de las expresiones (2) y (3).

Las energías cinética y potencial del cuerpo serán

$$T=\frac{1}{2}m(v_\rho^2+\rho^2\omega^2)$$

$$V=\frac{-GMm}{\rho}=\frac{-Km}{\rho}$$

con $M$ masa del cuerpo fijo, $m$ masa del cuerpo que orbita, $G$ la constante de gravitación y $K$

$$K=GM$$

por tanto la energía total

$$E=T+V=\frac{1}{2}m(v_\rho^2+\rho^2\omega^2)-\frac{Km}{\rho}$$

de aquí podemos despejar $v_\rho$

$$v_\rho=\sqrt{\frac{2E}{m}-\rho^2\omega^2+\frac{2K}{\rho}}$$

sustituimos ahora (2) en (7) y reordenando obtenemos

$$v_\rho=\sqrt{-\frac{L^2}{m^2}\frac{1}{\rho^2}+2K\frac{1}{\rho}+\frac{2E}{m}}$$

En este punto paramos el desarrollo momentáneamente y calculamos el diferencial de $\alpha$

$$\frac{\dd \alpha}{\dd \rho}=\frac{\dd \alpha}{\dd t}\frac{\dd t}{\dd \rho}=\omega\frac{1}{v_\rho}$$

luego

$$\dd \alpha=\frac{\omega}{v_\rho}\dd \rho$$

Valiéndonos ahora de (3) y (8), las sustituimos en (9) y obtenemos

$$\dd \alpha=\frac{\frac{L}{m}\frac{1}{\rho^2}\dd \rho}{\sqrt{-\frac{L^2}{m^2}\frac{1}{\rho^2}+2K\frac{1}{\rho}+\frac{2E}{m}}}$$

$$\dd \alpha=\frac{\frac{1}{\rho^2}\dd \rho}{{\sqrt{-\frac{1}{\rho^2}+\frac{2m^2K}{L^2}\frac{1}{\rho}+\frac{2mE}{L^2}}}}$$

a fin de simplificar la forma de la ecuación obtenida, para ver que tipo de integral tenemos que resolver, hacemos los cambios

$$A=-1$$

$$B=\frac{-2m^2K}{L^2}$$

$$C=\frac{2mE}{L^2}$$

$$\dd \alpha=\frac{\frac{1}{\rho^2}\dd \rho}{{\sqrt{A\frac{1}{\rho^2}-B\frac{1}{\rho}+C}}}$$

y ahora el cambio

$$u=-\frac{1}{\rho}$$

siendo

$$u^2=\frac{1}{\rho^2}, \qquad \dd u=\frac{1}{\rho^2}\dd \rho<br />$$

con lo que la diferencial queda

$$\dd \alpha=\frac{\dd u}{\sqrt{Au^2+Bu+C}}$$

La solución a esta integral es

$$\alpha=\frac{1}{\sqrt{-A}}\cos^{-1}\left(\frac{2Au+B}{\sqrt{B^2-4AC}}\right)$$

donde la constante de integración se iguala a cero tomando el origen de ángulo adecuado. Ahora sustituiremos (10) en (14)

$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{-2u+B}{\sqrt{B^2+4C}}\right)$$

$$\cos{(\alpha)}=\frac{-2u+B}{\sqrt{B^2+4C}}$$

como (ecuación 13)

$$u=-\frac{1}{\rho}, \qquad \to -2u=\frac{2}{\rho}<br />$$

$$\cos{(\alpha)}=\frac{\frac{2}{\rho}+B}{\sqrt{B^2+4C}}$$

$$\frac{2}{\rho}=\sqrt{B^2+4C}\cos{(\alpha)}-B$$

$$\boxed{\rho=\frac{-2}{B-\sqrt{B^2+4C}\cos{(\alpha)}}}$$

que es la ecuación, en coordenadas polares, que define la trayectoria del cuerpo en orbita. Como la ecuación de la elipse en coordenadas polares, respecto a un sistema de referencia situado en su foco, es

$$\boxed{\rho=\frac{q}{1-e\cos{(\alpha)}}}$$

$$q=\frac{b^2}{a}, \qquad e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}, \qquad 0 \le e < 1$$

Comparando (15) con (16) vemos que la trayectoria corresponde a una elipse con

$$q=\frac{-2}{B}$$

$$e=\sqrt{1+\frac{4C}{B^2}$$

"con lo que queda demostrada la 1ª Ley de Kepler"

los valores de $q$ y $e$ serán,

para $q$, sustituyendo (11) en (17)

$$q=\frac{-2L^2}{-2m^2K}=\frac{L^2}{m^2K}$$

y sustituyendo (6) en (19)

$$\boxed{q=\frac{L^2}{m^2MG}}$$

para $e$, sustituyendo (11) y (12) en (18)

$$e=\sqrt{1+\frac{8mE/L^2}{4m^4K^2/L^4}}=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m^3K^2}}$$

sustituyendo (6) en (21)

$$\boxed{e=\sqrt{1+\frac{2EL^2}{m^3M^2G^2}}}$$

Demostraciones relacionadas:

- Segunda ley de Kepler
- Tercera Ley de Kepler (órbitas circulares)
- Tercera Ley de Kepler (órbitas elípticas)

Subdemostraciones:

- Ecuación de la energía potencial V, ecuación (5)
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[sol]

Hola!! Creo que esta mal la notación de la velocidad en esta demostración, a la que llaman velocidad normal (v\alpha) seria tangencial me parece. Y normal se le llama a la velocidad (v\rho). Gracias

[sol]

gracias, me parece muy bueno tu aporte!!

[Saplaya]

Hola Sol.

Las componentes de la velocidad $\vec{v}_{\rho}$ y $\vec{v}_{\alpha}$ no son componentes normal y tangencial a la trayectoria, están referidas al vector $\vec{\rho}$ que define la posición del punto estudiado respecto al foco; siendo $\vec{v}_{\rho}$ en dirección según $\vec{\rho}$ y $\vec{v}_{\alpha}$ normal a este. Esto está explicado en el párrafo que hay bajo la primera figura.

Saludos y gracias por leerme.