Obtención de la Ecuación de Schrödinger partiendo de la Ecuación de Klein-Gordon

[QED]

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En este artículo se obtiene la ecuación de Schrödinger por aplicación de la ecuación cuántico-relativista de Klein-Gordon sobre la función de onda monocromática asociada a la partícula cuántica, considerando para ello la aproximación al límite no relativista. Las características que definen la partícula son su masa $m$, su cantidad de movimiento $\vec{p}$ y la frecuencia de la onda asociada $\nu$.

La ecuación de Klein-Gordon viene expresada de la siguiente forma

$$\boxed{\left (\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right )\Psi=0}$$

La función de onda considerada adquiere la forma

$$\Psi=\ee^{-i\omega t}\varphi (x,y,z)$$

Realizamos la primera y segunda derivación de $\Psi$ respecto del tiempo

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i \omega \ee^{-i\omega t}\varphi(x,y,z)=-i\omega\Psi$$

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\omega^2 \ee^{-i\omega t}\varphi(x,y,z)=-\omega^2\Psi$$

La energía de la partícula es

$$E=\omega\hbar, \qquad E^2=\omega^2\hbar^2, \qquad \omega=2\pi\nu, \qquad \hbar=\frac{h}{2\pi}$$

$$\omega=\frac{E}{\hbar}$$

$$\omega^2=\frac{E^2}{\hbar^2}$$

sustituyendo (5) en la primera derivada de $\Psi$ (3)

$$\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-i\frac{E}{\hbar}\Psi$$

$$E\Psi=i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}$$

sustituyendo (6) en la segunda derivada de $\Psi$ (4)

$$\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=-\frac{E^2}{\hbar^2}\Psi$$

y aplicando (8) sobre la ecuación de Klein-Gordon (1)

$$\left (-\frac{1}{c^2}\frac{E^2}{\hbar^2}-\nabla^2+\frac{m^2c^2}{\hbar^2}\right )\Psi=0$$

multiplicando ahora por $\dst -\frac{\hbar^2}{2m}$

$$\left (\frac{E^2}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^2}{2m}\right )\Psi=0$$

Consideramos ahora la expresión relativista del cuadrado de la energía de la partícula

$$E^2=p^2c^2+m^2c^4$$

y la sustituimos en (9)

$$\left (\frac{ p^2c^2+m^2c^4}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^2}{2m}\right )\Psi=0$$

$$\left (\frac{ p^2c^2}{c^2 2m}+\frac{m^2c^4}{c^2 2m}+\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2-\frac{m^2c^4}{c^2 2m}\right )\Psi=0$$

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en el límite no relativista la expresión $\dst \frac{p^2}{2m}$ corresponde a la energía cinética

$$T=\frac{p^2}{2m}$$

siendo la energía total

$$E=T+V, \qquad (V= \text{Energia potencial})$$

con lo que

$$\frac{p^2}{2m}=E-V$$

Sustituyendo ahora (12) en (11)

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
y finalmente utilizando la ecuación (7) sobre la expresión (13) concluimos

$$\boxed{-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi= i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}}$$

que es la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Demostraciones relacionadas:

- Ecuación de Schrödinger Dependiente del Tiempo
- Ecuación de Schrödinger Tridimensional
- Ecuación de Schrödinger Unidimensional
- Ecuación de Schrödinger unidimensional independiente del tiempo a través de un tratamiento variacional

Subdemostraciones:

- Obtención de la expresión relativista del cuadrado de la energía (ecuación 10)


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[Saplaya]

Hola Nissan.

Desde mi punto de vista, la "demostraccion" (mas bien deduccion)

Por eso le llamo “Obtención de...”

no es aceptable

Lo que hago en está “demostración” es seguir un camino similar al que se sigue en la construcción de la ecuación de Schrödinger partiendo de la ecuación de onda general (por ejemplo en “Introducción a la mecánica cuántica “ de Luis de la Peña páginas páginas 53 y 54) pero aplicado a la ecuación de Klein-Gordon, por lo que si en ese caso es aceptable no entiendo por que en este no lo es.

Presupones una forma para psi que no esta justificada

No se por que no lo está, esta expresión de la ecuación de onda se utiliza en otras demostraciones de la ecuación de Schrödinger y además en este caso estoy indicando que aplico la ecuación de Klein-Gordon a una onda monocromática.

La "energia de una particula" esta incorrectamente dada entre (4) y (5) donde ademas la relacion con omega no esta justificada.

Se justifican directamente del postulado de de Broglie (por ejemplo ecuación 1.4-2 de “Mecánica cuántica, fundamentos y aplicaciones” de Marcelo Alonso y Henry Valk página 42)
En cualquier caso, partiendo de los operadores cuánticos

$\hat E \rightarrow i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Rightarrow \hat E \Psi =i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}$

$\hat E \Psi=E \Psi$

lo cual, aplicado sobre la expresión de $\Psi$ propuesta, conduce directamente a las expresiones de $E$ y $\omega$ (aunque yo las he planteo directamente desde el postulado de de Broglie)

A partir de (10) todo es incorrecto matematicamente. Entre otras cosas mezclas la representacion en posiciones de los operadores con los operadores clasicos como funciones en si.

Bueno realmente el enfoque que le he dado es el de hacer uso de expresiones clásicas y las derivadas espaciales de la función $\Psi$ que entiendo es algo matemáticamente correcto. Si se quiere enfocar desde el punto de vista de que se utilizan operadores cuánticos, entonces lo que se estará mezclando con ellos son valores propios, no operadores clásicos, en cualquier caso, como los operadores cuánticos se forman a partir de las expresiones clásicas pienso que la forma no tiene por que cambiar.

Es decir, has hecho un conjunto de manipulaciones incorrectas buscando un resultado correcto.

No hago ninguna manipulación de nada, hago uso de unas determinadas expresiones como hace cualquier hijo de vecino al realizar una demostración, podría suceder que el uso fuera erróneo en alguno o algunos puntos (que creo no es el caso), pero esto solo supondría un error no una manipulación, así que insisto, no manipulo nada.


Esta “demostración” pretende ser accesible a personas con un nivel medio de física (cual es mi caso); el hecho de que no utilice una notación o un camino que consideres más adecuado no creo que la haga "inaceptable".

Gracias por tus comentarios

Un saludo

[aperea]

Las críticas (constructivas) son buenas. Coincido con Nissan en criticarte el trabajo. Aunque sea un nivel medio de física, no debes perder de vista que la física no son matemáticas, no haces física cuando haces demostraciones matemáticas, haces física cuando te planteas resolver un problema físico.

Por hablar del desarrollo, cuando analizamos el resultado, vemos que obtienes una ec. en presencia de un potencial V, partiendo de la ec. de una partícula libre. Entonces, el potencial habria surgido en el proceso de aproximacion a la mecanica no relativista. El error está en aplicar una condición doble, relativista y no relativista, para el mismo operador p2, no puede ser las dos cosas.
Y además, al tomar la aproximación no relativista para la energía $E=mc^2+p^2/2m$, nos damos cuenta que la factorización del tiempo tiene que ir en función de la energia en reposo, que es la cantidad que debemos eliminar, y no en función de la frecuencia.

Te propongo si tienes más tiempo que afrontes el problema de distinta forma, y analices cómo introducir el potencial V en la ecuación de Klein-Gordon, para que su aproximación no relativista sea la ec. de Schrodinger.

Espero que entiendas que un fisico debe enseñar a otro físico, cuando cree que así puede hacer mejor las cosas. En eso estamos todos.

[ser humano]

Aunque sea un nivel medio de física, no debes perder de vista que la física no son matemáticas, no haces física cuando haces demostraciones matemáticas, haces física cuando te planteas resolver un problema físico.

Este blog apunta a las demostraciones matematicas de las formulas implementadas en fisica.

Espero que entiendas que un fisico debe enseñar a otro físico, cuando cree que así puede hacer mejor las cosas. En eso estamos todos.

Creo que aca exponemos logros que son personales, no intentamos (o al menos yo no intento) instruir a nadie. Cada una de las demostraciones es un logro personal, que le puede ser util a otras personas, nada mas.