Puntos de Lagrange L4 y L5


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Estos puntos no están ubicados sobre la recta que une con por lo que el equilibrio de fuerzas será un poco mas complejo.

Destacare algunas relaciones que serán utiles sobre la marcha

establecer una relación entre la posición del centro de masas y la relación de masas




Ley del seno : la relación entre los lados de un triangulo y sus ángulos opuestos es


ademas sabemos que


las ecuaciones que relacionan las velocidades angulares seran


usando los 5to término y 7mo término de 26 ,y reemplazando por 23


En el equilibrio de fuerzas entre y tenemos que la fuerza de atracción gravitatoria entre ambas debe igualarse con la fuerza centrípeta de proveniente de la rotación sobre el centro de masa.



Reemplazando por su definición



simplificando


Sobre el objeto podemos descomponer las fuerzas de atracción de las masas y en dirección a y su perpendicular.

En dirección a R tenemos



donde







reemplazando


en el eje perpendicular a R la sumatoria de fuerzas debe anularse, pues la componente de velocidad debe ser nula para que permanezca estático.




Las 4 ecuaciones



se pueden tratar algebraicamente para develar nuestras incógnitas y en un proceso laborioso comenzando por despejar e igualar en 27 y 28 podemos despejar

de 27 tenemos




y de 28




entonces


reemplazando en 29




dividiendo por ambos lados de la igualdad


si en la expresión 30 reemplazamos el valor de y despejamos


de las igualdades 24 sabemos
y




reemplazando en 33




simplificando y reemplazando por las definiciones 22 y 23




simplificando nuevamente


de la primer línea de 24 tenemos


reemplazando y operando entre 34 y 35


por lo que la expresión 33 se simplifica a


a la vez en la igualdad 32 podemos reemplazar las expresiones 36 y 37




operando




multiplicando por ambos miembros y recordando la propiedad del seno de la suma de los angulos de 25


de la última línea de 24


reemplazando en 38




dividiendo por ambos miembros y simplificando




de 24 y 36 nos queda




operando con las últimas dos igualdades



resultando que




La posición de los tres objetos estará en los vértices de una triangulo equilátero, a la vez pueden darse dos situaciones geométricas simétricas para ubicar con respecto a una única posición de y se denomina L4 a la que antecede en el sentido de giro a y L5 a la posición posterior.










Punto de Lagrange L1
Punto de Lagrange L2
Punto de Lagrange L3
Punto de Lagrange L4 y L5