Proceso Isotérmico

[Richard R Richard]

Proceso Isotérmico

Se denomina proceso isotérmico a un cambio reversible en un sistema termodinámico, siendo dicho cambio a temperatura constante en todo el sistema
Como la energía interna de un gas ideal sólo depende de la temperatura y ésta permanece constante en la expansión isoterma, su variación es nula , el calor tomado del foco es igual al trabajo realizado por el gas, el primer principio se establece como:

$\Delta U=0$

$Q = W$

Representación gráfica





Una curva isoterma es una línea que sobre un diagrama representa los valores sucesivos de las diversas variables de un sistema en un proceso isotermo. Las isotermas de un gas ideal en un diagrama P-V, llamado diagrama de Clapeyron, son hipérbolas equiláteras, cuya ecuación es

$PV = Cte.$

Análisis matemático . Aplicando el primer principio de la termodinámica se obtiene:

$dQ = dU + dW$

Entonces integrando la expresión anterior, tomando como estado inicial el estado 1 y estado final el estado 2, se obtiene:

$\dst \int\limits_{1}^{2} \, dQ = \dst \int\limits_{1}^{2} \, dU + \dst \int\limits_{1}^{2} \, dW$

$dW = \vec F\;\cdot\;d\vec r\; = PAdx=PdV$

Entonces el trabajo efectuado por el gas sobre los alrededores como resultado de la expansión es un trabajo que realiza el sistema sobre el medio es positivo y uno que el medio realiza sobre el sistema o de compresión es negativo:

$\dst \int\limits_{1}^{2} \, dQ = \dst \int\limits_{1}^{2} \, dU + \dst \int\limits_{1}^{2} \, PdV$

Pero para integrar la tercera integral, es necesario conocer la forma de variación de la presión P con el volumen, durante el proceso isotérmico con gases ideales, se tendría la relación:

$PV = nRT \Longrightarrow \; P = \dfrac{nRT}{V}$

Por lo tanto reemplazando esta ecuación por integral se tiene que:

$\dst \int\limits_{1}^{2} \, dQ = \dst \int\limits_{1}^{2} \, dU + \dst \int\limits_{1}^{2} \, \dfrac{nRT}{V}dV$

Como los valores n y R son constantes y en este caso la temperatura también es constante, éstas pueden salir fuera de la integral obteniéndose:

$\dst \int\limits_{1}^{2} \, dQ =\dst \int\limits_{1}^{2} \, dU + nRT\dst \int\limits_{1}^{2} \, \dfrac{dV}{V}$

integrando:

$Q\big|_1^2 = U\big|_1^2 + nRT\ln V\big|_1^2$

$Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT(\ln V_2 - \ln V_1)$

$Q_2 - Q_1 = U_2 - U_1 + nRT\ln \left (\dfrac{V_2}{V_1} \right )$

Pero se sabe que la energía interna depende sólo de la energía interna como función de la temperatura), y como en este proceso ésta se mantiene constante, pues no hay cambio en la energía interna del gas $U_2 = U_1 \to \Delta U=0$ por lo que la expresión se reduce a:

$Q_2 - Q_1 = nRT\ln \left (\dfrac{V_2}{V_1} \right )$

$\Delta\;Q = \Delta\;W = nRT\ln \left (\dfrac{V_2}{V_1} \right )$

El trabajo es entonces igual al calculo del área bajo la curva de T=cte en el diagrama PV

Entropía

Dado que el proceso es a temperatura constante, la variación de la entropía del gas vale

$\Delta S = \dfrac{Q}{T_A} = nR\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)$

Si el gas se expande entonces su entropía aumenta y si se comprime disminuye.

Usando términos de la presión, con la ley de Boyle

$P_AV_A=P_BV_B\qquad\Rightarrow\qquad \Delta S = -nR\ln\left(\dfrac{P_B}{P_A}\right)$


Termodinamica, resumen de conceptos básicos
Proceso Isentrópico o isoentrópico y proceso adiabático: proceso a entropía constante
Proceso Isocórico:proceso a volumen constante
Proceso Isobárico: proceso a presión constante
Proceso Isotérmico: proceso a temperatura constante
Proceso Isoentálpico: proceso a entalpía constante
Procesos Politrópicos:generalidades de los procesos termodinámicos.