Procesos Politrópicos

[Richard R Richard]

Un proceso politrópico es una denominación general que engloba a los procesos de expansión y compresión, relacionando la presión y el volumen de un cierto gas, teniendo como ecuación:

$PV^n=Cte$


Donde $n$y $Cte$ son constantes. Según el valor que tome la constante $n$ llamada exponente politrópico, define un caso especial de proceso politrópico, en los cuales están los más conocidos:

Proceso	Variable establecida constante	$n=\dfrac{(C_p-C_m)}{(C_v-C_m)}$	Relación	Gráfico
Isométrico	$V$	$\infty$	$PV^{\infty} = cte$
Isobárico	$P$		$PV^{0 } = cte$
Isotérmico	$T$	$1$	$PV = cte$
Adiabático	$Q = 0$	$K$	$PV^{K } = cte$

Los procesos politrópicos en gases ideales pueden deducirse con la primera ley de la termodinámica en forma diferencial:

$dU=\delta Q-\Delta W=\delta Q-P\Delta V$

Se definen estos procesos como aquel que tiene lugar con capacidad calórica constante: $C=n_oC_m=\dfrac{\delta Q}{dT}=Cte<br />$

Sustituyendo en la primera ley, tenemos:
$dU= n_oC_m dT -P\Delta V$

Utilizando la ecuación de la energía interna para un gas ideal $dU=n_oC_mdT$

reorganizando nos queda $(C_v-C_m)n_odT=-PdV$

Utilizando la ecuación de estado termodinámico $PV=n_oRT$

$\dfrac{(C_v-C_m)}{R}\dfrac{dT}T=-\dfrac{dV}{V}$

O bien

$\dfrac{dT}T+\dfrac{dV}{V}\dfrac{R}{(C_v-C_m)}=0$


Aquí podemos definir un parámetro n que vine dada por:

$n=\dfrac{(C_p-C_m)}{(C_v-C_m)}$

Se puede relacionar este proceso en las variables P, V y T:

Variables	diferenciales	integral
$T,V$	$\dfrac{dT}{T}+(n-1)\dfrac{dV}{V}=0$	$\dfrac{T_B}{T_A}=\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)^{1-n}$
$P,V$	$\dfrac{dP}{P}+n\dfrac{dV}{V}=0$	$\dfrac{P_B}{P_A}=\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)^{-n}$
$T,P$	$\dfrac{dT}{T}+\dfrac{n-1}{n} \dfrac{dP}{P}=0$	$\dfrac{T_B}{T_A}=\left(\dfrac{P_B}{P_A}\right)^{ \frac{n-1}{n}}$

Si se sabe o se supone que un proceso es politrópico, y si se definen dos puntos de estado, el valor de n puede también hallarse mediante el uso de logaritmos.

Escribiendo la ecuación $PV^n=Cte$ en forma$\dfrac{P_B}{P_A}=\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)^{-n}$ y tomando logaritmos, nos queda que:


$n=\dfrac{log\dfrac{P_B}{P_A}}{log \dfrac{V_B}{V_A}}$


Entonces de la definición del trabajo, se puede calcular el trabajo efectuado por un proceso politrópico usando la integral:

$W_{AB}=\dst\int\limits_{A}^{B} \, dW= \dst\int\limits_{A}^{B} \, PdV$


Por medio de la relación $PV^n= P_AV_A^n= P_BV_B^n$ se reescribe la integral como $W_{AB}= \dst\int\limits_{A}^{B} \, PdV= P_AV_A^n \dst\int\limits_{A}^{B}\dfrac{dV}{V^n}=\dfrac{ P_BV_B - P_AV_A }{1-n}$

Que es aplicable para cualquier fluido, y también con esta definición se puede deducir:

$W_{AB}= \dfrac{ n_oR(T_B-T_A) }{1-n}<br />$

Que es aplicable para cualquier gas ideal.


Entropía

Si una cantidad de gas que va de un estado en el que tiene una presión pA, una temperatura TA y ocupa un volumen VA a uno en que tienen los valores pB, TB y VB.
El proceso para ir de uno a otro es arbitrario, puede ser cuasiestático o no serlo. El proceso no importa, ya que la entropía es una función de estado y para hallar su variación podemos elegir cualquier proceso reversible.


Podemos, entonces considerar un proceso en el que primero variamos su volumen, manteniendo su constante su presión pA y posteriormente modificamos su presión a volumen constante VB. Esto nos da la variación total de entropía

$\Delta S = nC_p\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)+nC_v\ln\left(\dfrac{P_B}{P_A}\right)$

Esta es la expresión general de la variación de entropía de un gas ideal entre dos estados cualesquiera.




Aunque también expresar la variación de entropía en términos de la presión y la temperatura, o de la temperatura y el volumen. Tenemos que



$\dfrac{p_BV_B}{T_B}=\dfrac{p_AV_A}{T_A}\qquad\Rightarrow\qquad \dfrac{P_B}{P_A}=\dfrac{\dfrac{T_B}{T_A}}{\dfrac{V_B}{V_A}}$

Sustituyendo y desarrollando el logaritmo

$\Delta S = nC_p\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)+nC_v\ln\left(\dfrac{\dfrac{T_B}{T_A}}{\dfrac{V_B}{V_A}}\right) = n(C_p-C_v)\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)+nC_v\ln\left(\dfrac{T_B}{T_A}\right)$

Aplicando la ley de Mayer

$C_p =C_v + R\qquad\Rightarrow\qquad \Delta S = nR\ln\left(\dfrac{V_B}{V_A}\right)+nC_v\ln\left(\dfrac{T_B}{T_A}\right)$

Si en lugar del cociente entre presiones hallamos el cociente entre volúmenes llegamos a


$\Delta S = nC_p\ln\left(\dfrac{T_B}{T_A}\right)-nR\ln\left(\dfrac{P_B}{P_A}\right)$



Termodinamica, resumen de conceptos básicos
Proceso Isentrópico o isoentrópico y proceso adiabático: proceso a entropía constante
Proceso Isocórico:proceso a volumen constante
Proceso Isobárico: proceso a presión constante
Proceso Isotérmico: proceso a temperatura constante
Proceso Isoentálpico: proceso a entalpía constante
Procesos Politrópicos:generalidades de los procesos termodinámicos.