Proceso Isentrópico o isoentrópico y proceso adiabático

[Richard R Richard]

Proceso isentrópico o isoentrópico

Un proceso isentrópico o isoentrópico , es aquel en el que la entropía del sistema permanece constante.

De acuerdo a la segunda ley de la termodinámica , se verifica que :

$\delta Q \le TdS$

donde $\delta Q$ es la cantidad de energía que el sistema gana por transferencia de calor, $T$ es la temperatura de la fuente térmica que interviene en el proceso (si el proceso es reversible la temperatura de la fuente térmica será igual a la del sistema), y $dS$ es el cambio en la entropía del sistema en dicho proceso. El símbolo de igualdad implicaría un proceso reversible. La reversibilidad es la capacidad de un sistema termodinámico macroscópico de experimentar cambios de estado físico, sin un aumento de la entropía, resultando posible volver al estado inicial cambiando las condiciones que provocaron dichos cambios.

• En un proceso adiabático reversible no hay transferencia de calor $Q$, y por tanto el proceso es isentrópico .
• En un proceso adiabático irreversible, la entropía se incrementará, de modo que es necesario eliminar el calor del sistema (mediante refrigeración ) para mantener una entropía constante. Por lo tanto, un proceso adiabático irreversible no es isentrópico.
• En un proceso isotérmico la temperatura es la variable conjugada de la entropía por lo que los procesos isotérmicos no son isentrópicos Por ej el sistema estará termicamente conectado a un baño de temperatura constante.

Proceso adiabático

Un proceso adiabático es aquel en el cual el fluido del sistema termodinámico realiza un trabajo pero no intercambia calor con su entorno $Q=0$. Como dije un proceso adiabático que es además reversible se conoce como proceso isentrópico . Una pared aislada se aproxima bastante a un límite de un sistema adiabático. Al estudiar con gases ideales el calentamiento y enfriamiento adiabático son procesos ocurren debido al cambio en la presión de un gas , que con lleva variaciones en volumen y temperatura.

De acuerdo con principio de conservación de la energía o bien el primer principio de la termodinámica,

$\Delta U + W = Q=0$

donde U es la energía interna del sistema y W es el trabajo realizado por el sistema. Cualquier trabajo realizado debe ser realizado a expensas de la energía interna U , mientras que no haya sido suministrado calor Q desde el exterior. El trabajo W realizado por el sistema se define como

$W = P \Delta V$


En el experimento sobre expansión libre de Joule, se demostró que la energía interna de un gas perfecto era independiente del volumen V, o la presión P, sólo función de la temperatura T.Lo que conduce a que, para un gas ideal:

$dU = nC_v \ dT = \delta Q - \delta W$

Pero si en la expansión adiabática, $\delta Q = 0\qquad \delta W = P \delta V$

de donde se obtiene la siguiente relación:

$\delta U = nC_v \ \delta T = - P \ \delta V$

Como en el gas ideal se cumple:

$P \ V = n \ R \ T$

$C_p - C_v = R$

$\gamma = C_p / C_v$

Los valores $C_p$ y $C_v$ son función del número de átomos en la molécula.

recordemos que

Gas ideal	$C_v$ molar	$C_p$ molar	$R=C_p-C_v$	$\gamma=\dfrac{C_p}{C_v}$
monoatómico	$\dfrac{3}{2}$	$\dfrac{5}{2}$	1	5/3=1.66
diatómico	$\dfrac{5}{2}$	$\dfrac{7}{2}$	1	7/5=1.4

Despejando $P$ y sustituyendo $P$ y $R$ en la última ecuación queda

$n \dfrac{dT}{T} = - \dfrac{\left (\gamma -1 \right ) \ dV}{V}$

Resolviendo la ecuación diferencial de primer grado, integrando entre los estados inicial A y final B:

$\dfrac{T_B}{T_A} = \left ( \dfrac{V_A}{V_B} \right )^{\left (\gamma - 1 \right )}$

Teniendo en cuenta que al trabajar con gases perfectos se cumple $T = P V / nR$, la puede ponerse:

$\dfrac{P_B \ V_B}{P_A \ V_A} =\left ( \dfrac {V_A}{V_B} \right ) ^{ \left ( \gamma - 1 \right )}$

$\dfrac{P_B}{P_A} = \left ( \dfrac {V_A}{V_B} \right ) ^ {\left ( \gamma \right )}$

quedando

$P_B V_B ^ \gamma = P_A V_A ^ \gamma = Cte$

Si se operando sobre estas ecuaciones

$\dfrac{T_B}{T_A} = \left ( \dfrac{P_B}{P_A} \right ) ^ {\left ( \frac{ \gamma -1 }{\gamma} \right )}<br />$

La curva de un proceso adiabático en un diagrama P-V es las siguiente:

• Cada adiabática se aproxima asintóticamente a ambos ejes del diagrama P-V (al igual que las isotermas).
• Cada adiabática se intersecta con cada isoterma en un solo punto.
• Una curva adiabática pierde más presión que una isoterma durante una expansión, por lo que inclinación es mayor (es más vertical).
• Si las isotermas son cóncavas hacia la dirección "noreste" (45°), $1=1/Tan 45$ entonces las adiabáticas son cóncavas hacia la dirección "este noreste" (31°). $\tan 31 =0.6=\dfrac{1}{\gamma} =\dfrac{C_v}{C_p}=\dfrac{3}{5}$ para gases monoatómicos, y hacia la dirección "este noreste" (35°). $\tan 35 =0.71=\dfrac{1}{\gamma}=\dfrac{C_v}{C_p}=\dfrac{5}{7}$ para gases diatómicos

Trabajo

Según se dedujo anteriormente, la ecuación que describe un proceso adiabático del gas ideal, en un proceso reversible:

$P V^{\gamma} = cte$

Al no haber suministro externo de calor, cualquier trabajo $W$ realizado será a expensas de la energía $U$ ,

$P V^{\gamma} = K$

Despejamos la presión en función del volumen

$P=\dfrac{K}{V^{\gamma}}$

Ahora derivando la fórmula del trabajo e integrándola a la vez tenemos :

$\dst\int\limits_{A}^{B} \, dW= \dst\int\limits_{A}^{B} \, PdV$

Ahora reemplazamos

$W=\dst\int\limits_{A}^{B} \, \dfrac{K}{V^{\gamma}}dV$

Ahora sabemos que "K" es una constante , entonces esta sale fuera de la integral:

$W=K\dst\int\limits_{A}^{B} \dfrac{1}{V^{\gamma}}dV =\dfrac{KV^{1-{\gamma}}}{1-{\gamma}} \big|_{A}^{B}$


entonces reemplazamos $P V^{\gamma} = K$en la ecuación:

$W= \dfrac{PV^{\gamma}(V^{1-{\gamma}})\big|_{A}^{B}}{1-{\gamma}}$

$W= \dfrac{P_{B}V^{\gamma}_{B}V^{1-{\gamma}}_{B} - P_{A}V^{\gamma}_{A}V^{1-{\gamma}}_{A}}{1-{\gamma}}$

luego de resolver la ecuación nos quedará esta forma:

$W=\dfrac{P_{B}V_{B}-P_{A}V_{A}}{1-\gamma}$

entonces

$W= \dfrac{\Delta (P V)}{1-\gamma} =\dfrac{nR\Delta T}{1-\gamma}$

O sea

$W =-\Delta U= \dfrac{P_{B}V_{B}-P_{A}V_{A}}{1-{\gamma}}<br /> = \dfrac{nR(T_{B}-T_{A})}{1-{\gamma}}$

Termodinamica, resumen de conceptos básicos
Proceso Isentrópico o isoentrópico y proceso adiabático: proceso a entropía constante
Proceso Isocórico:proceso a volumen constante
Proceso Isobárico: proceso a presión constante
Proceso Isotérmico: proceso a temperatura constante
Proceso Isoentálpico: proceso a entalpía constante
Procesos Politrópicos:generalidades de los procesos termodinámicos.