Física y matemática necesaria para lanzar un cohete.-3 Un modelo con fricción.

[Richard R Richard]

3 Un modelo con fricción.

La fricción es el principal factor por el cual el cálculo de la trayectoria de un cohete hasta una órbita predeterminada se vuelve difícil de abordar matemáticamente.
Más allá de que podemos hacer modelos simplificados como los de gravedad constante y ahora uno de proporcionalidad con la velocidad relativa a la atmósfera, hay que reconocer que dichas constancias, son la que en primera medida se introducen para que los estudiantes comiencen a empaparse de la dura realidad que viene cuando se abandonan tales suposiciones.

Veamos cuando niños alguna vez hemos sacado la cabeza fuera de la ventanilla de coche para sentir ese viento en la cara, hemos visto que a mayor velocidad mayor en la fuerza que tenemos que hacer para resistirlo, lo que en términos sencillos aerodinámicos podríamos expresar que existe una relación proporcional entre la fuerza de fricción y la velocidad , cuya constante de proporcionalidad la denominamos $b$

así $\vec F_f=-b\vec v$

como anticipara previamente la fricción es una fuerza externa al sistema cohete por que debemos volver a aplicar la formula (1)

$\vec F_{ext} = M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}$

viendo que considerar la gravedad constante no agrega por ahora complejidad la ecuación 1 se plantea en este caso así

$-gM+(-b\vec v)=M \dfrac{d\vec v}{ dt} + \vec u_{rel} \dfrac{dM}{ dt}$

pasando de términos y dejando listo para integrar

$\dfrac{d\vec v}{ dt} +\dfrac{b}{M}\vec v=-g-\vec u_{rel} \dfrac{dM}{M dt}$

de nuevo si $M=M_o-Ct$

se convierte en una ED cuya solución es

$v(t)=u_{rel}\left[1-m_0^{-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{C}}\right]+\dfrac{g}{C-b}\left[(M_o-Ct)-M_o^{1-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{C}}\right]+v_oM_o^{-\frac{b}{C}}(M_o-Ct)^{\frac{b}{D}}$

y la posición en función del tiempo vuelve a salir por integración como

$y(t)=y_o+\dfrac{C u_r t}{b}+\left[\dfrac{u_r\left(\dfrac{C^2}{b}-C\right)-v_o(C-b)+M_og}{C^2-b^2}\right]\cdot\left[(M_o-Ct)^{1+\frac bC}M_o^{-\frac bC}-M_o\right]-\dfrac{g}{2C(C-b)}\left[(M_o-Ct)^2-M_o^2\right]$

Como pueden ver las formulas comienzan a complicarse para un simple mortal que como yo que no las he calculado sino buscado en buenos apuntes sobre el tema.

Sería bueno que si hacen las integrales ,las desarrollen y hallan un gazapo que lo publiquen, así corrijo y si más adelante hacemos citas, usaremos fórmulas correctas.



La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista