Física y matemática necesaria para lanzar un cohete.-8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.

[Richard R Richard]

8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.


Bueno llegamos al punto que lo inicio todo, pero que es una órbita

Según la RAE

Curva debida a la acción gravitacional, descrita por un cuerpo celeste que se mueve en torno a otro.

Aclaro, no necesariamente “celeste” por el significado de “cuerpo celeste”, sino que cualquier cuerpo puede hacer una Órbita, no por el color claro está, incluso en RG, la luz también puede describir una Órbita en un lugar muy especial.

Según https://definicion.de/orbita/

Es la trayectoria que recorre un cuerpo en el espacio a causa de la acción gravitatoria que ejercen los astros.

Según https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%93rbita

En física, una órbita es la trayectoria que describe un objeto físico alrededor de otro mientras está bajo la influencia de una fuerza central, como la fuerza gravitatoria.

Orbit In english

the curved path of a celestial object or spacecraft round a star, planet, or moon, especially a periodic elliptical revolution.

En esta última definición incluyen una aclaración sobre la diferencia entre una trayectoria y una órbita.

Mientras que la trayectoria es la curva seguida por un objeto, la órbita es la parte de la trayectoria que responde casi fielmente ciertas familias de curvas conocidas, ya sean elípticas, circulares, parabólicas, e hiperbólicas.

Este tipo de trayectorias, se mantiene prolongadamente en el tiempo, y pueden producir o no curvas cerradas, que es el significado más común que el hemos dado cotidianamente.

Pero vemos como explica la física newtoniana su existencia y que conceptos mínimos hay que manejar, para poder entenderla, que como dije en el hilo que abrió este debate, son por mucho, más sencillas de calcular, la trayectoria de lanzamiento de un cohete.
Lo que vamos tener en cuenta son

• Las tres leyes de Newton.

• Las tres leyes de Kepler.

• La conservación del momento lineal y el momento angular.

• La conservación de la energía mecánica en sistema de fuerzas centrales, en cuerpo sin propulsión.

• La no conservación entonces cuando si la hay.

Veamos un pequeño porque de cada una antes de ir a la matemáticas de las cosas
Las leyes de Newton dan el marco para todo aquello que se modifica por la gravedad, es decir si no hubiese gravedad, la única trayectoria de los cuerpos macroscópicos sin carga sería la trayectoria recta.
Las leyes de Kepler, son las primeras observaciones que derivaron en un estudio más profundo y llevaron a las leyes de conservación.
Las leyes de la conservación del momento son las que nos dan el marco cinético y dinámico de la trayectoria.
Y a la conservación de la energía nos da un marco para estudiar las posibles evoluciones de la trayectoria tanto sea con aporte o no de energía al sistema.

El potencial gravitatorio

Sabemos que fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es atractiva y que es proporcional a la masa de ambos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

$F=G\dfrac{mM}{R^2}$

Pero en cualquier cuerpo el potencial gravitatorio depende solo de las masas y de la inversa de la distancia al espacio , de esto se desprende que la fuerza es el gradiente del potencial en la dirección radial.

$F=\nabla T$

Luego $T= -G\dfrac{mM}{R}$

Por la conservación de la energía todo cambio en el potencial gravitatorio sabemos que se convertirá en energía cinética

$E_m=K+T$

Y que dado un sistema de referencia centrado en el CM del cuerpo masivo que crea el campo gravitatorio, podemos descomponer la velocidad instantánea en las direcciones radial y tangencial.

$\vec v=\vec v_R +\vec v_T$

Por lo que la energía cinética K se puede expresar como la suma de las energías cinéticas de esas componentes radiales y tangenciales

$K=\dfrac 12mv_R^2+\dfrac 12mv_T^2$

La componte tangencial está relacionada con el momento angular por medio de

$\vec L=\vec R\times \vec v_T=\vec R\times\ vec R \times \vec \omega$

De modo que podemos escribir la ecuación de la energía mecánica en función de cantidades
que se conservan los módulos de algunos vectores, si sucede que no hay aplicación de fuerzas internas ni externas

$E_m=\dfrac 12 mv_R^2+\dfrac{L^2}{2 mR^2} -G\dfrac{mM}{R}$

Vemos que la energía que tiene una órbita es una función matemática de pocos parámetros y por lo tanto sencilla.

Vemos que una órbita entonces es aquella trayectoria que conserva la energía mecánica, es decir todos los puntos de una misma órbita tiene la misma energía mecánica, no importa en qué termino de los tres la tenga , lo importante es que su suma sea la misma para que en determinado momento , el cuerpo pase por ese punto con , velocidad establecida.

Podemos estudiar y ve que cuando la energía mecánica Em de la trayectoria es positiva tenemos que se describe una curva hiperbólica.

Si la $Em$ es exactamente 0 tenemos curvas parabólicas,
Si la $Em$ es negativa la curva es elíptica, un caso especial es la circunferencia.

En caso de ausencia de momento angular L es nulo, la trayectoria es una recta.

Veamos algunos conceptos asociados a órbitas que es preciso conocer

Idealicemos a los cuerpos celestes

• No tiene atmósfera
• Son esféricos
• Su densidad es uniforme

Velocidad de escape.

La velocidad de escape para una determinada posición r , es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo respecto del centro del cuerpo celeste, para que este permanezca alejándose siempre del cuerpo celeste.
Para ello la energía cinética debería agotarse en el infinito , pero allí el potencial es nulo, Luego la energía que hay que aportarle al objeto es la necesaria para hacer nula su energía mecánica es decir que su trayectoria sea una curva parabólica.

$Em_{final}=0=- G\dfrac{mM}{R}+\dfrac 12 mv^2$

Despejando

$v=v_{escape}=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}$

Órbita circular

Es un caso especial de órbita elíptica donde la fuerza de gravedad es exactamente el valor de la fuerza centrípeta

$G\dfrac{mM}{R^2}=m\dfrac{v^2}{R}$
Luego
$v=\sqrt{ \dfrac{GM}{R}}$


Órbitas elípticas

Órbita baja : son aquellas trayectorias que son curvas elípticas donde la distancia radial va de los 200 a 2000km de altura. En estas órbitas periódicamente debe aplicarse una corrección o impulso , porque la fricción de los últimos vestigio de atmósfera , friccionan, haciendo que se pierda altura.

Órbita alta, son aquellas que superan los 2000km de apoastro, dentro de estas , las más utilizadas son las geoestacionarias que son aquellas que mantiene posición relativa con la superficie de la Tierra, es decir , giran con la misma velocidad angular que la Tierra sobre el ecuador de oeste hacia el este, se las hace los más circular posible, porque es una órbita compartida con muchos satélites.

La velocidad es

$v=\dfrac{2\pi R_{orb}}{1dia86400s/dia}=\sqrt{\dfrac{GM}{R_orb}}$

$R_{orb}=\left(\dfrac{86400\sqrt{GM }}{2\pi}\right)^{\frac23}=42164km$

Respecto del centro de la Tierra

Cuando una órbita elíptica alcanza la mínima distancia al centro de la Tierra a ese punto se lo llama periastro, y al máximo apoastro.
Como la trayectoria es una elipse, la suma de las distancia del apoastro más la del periastro , se corresponde con 2 semiejes mayores de la elipse.

$2a=r_p+r_a$

En el apoastro y en el periastro la velocidad solo es tangencial, por lo que por la conservación del momento angular

$L=v_ar_a=v_pr_p$

De aquí

$v_a= \dfrac{v_pr_p}{r_a}$

Para el cálculo del periastro y apoastro se recurre a la ecuación de la energía mecánica en
ambos puntos

$E_m=\dfrac{L^2}{2mr_a^2}-G\dfrac{mM}{r_a}= \dfrac{L^2}{2mr_p^2}-G\dfrac{mM}{r_p}$

De esta igualdad y la anterior

$\dfrac{v_a^2}2=GM \dfrac{r_p}{r_a (r_p+r_a)}$

Operando se demuestra que

$Em=-G\dfrac{mM}{2a}$

Para cualquier punto de esa trayectoria elíptica
Sabiendo que si e es la excentricidad de la elipse

$r_a=a(1+e)$

Y

$r_p=a(1-e)$

Se puede expresar la velocidad en cualquier punto de órbita a una distancia R de la Tierra como

$E_m=\dfrac 12 mv^2 -G\dfrac{mM}{R}=-G\dfrac{mM}{2a}$

Así

$v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$

* no tiene mucho sentido que postee todo el desarrollo, sino no habría curiosidad matemática... lo dejo para la tarea entonces.

Esta la velocidad a alcanzar en el lanzamiento para tener la órbita elíptica deseada al momento de dejar de acelerar, donde r es la altura donde apago motores y a es el semieje mayor de la órbita
Solo hay que estar seguros de que en ningún momento $r< R_t+h_atm$ es decir que el periastro no sea menor a la altura adonde se encuentre la atmósfera,
Y ya no hay mucho más secreto. Por eso es mucho más fácil calcular la órbita que planear el lanzamiento hasta la órbita.

Las órbitas hiperbólicas son las que superan la velocidad de escape, son las necesarias para vuelos interplanetarios y también para la llegada a la luna, donde se debe calcular que exceso de energía cinética permita hacer órbitas elípticas alrededor de la luna, por lo que es preciso acelerar en el momento justo , en la dirección correcta desde una órbita baja de la Tierra.
Si buscamos el mínimo energía potencial de la órbita vemos que la solución nos lleva que el radio de esa órbita es el semieje mayor de una órbita elíptica, y así rápidamente concluyes que la excentricidad es nula como no podría ser de otra manera, como caso particular es la circunferencia respecto de las elipses.

La velocidad orbital media de la Tierra es muy parecida a la velocidad de la órbita circular cuyo radio es el semieje mayor $a\cong\dfrac{2A}{B}$ , en el caso ideal debe darse la igualdad.

La estabilidad de la órbita no tiene mucho que ver con la excentricidad, hay planetas en órbitas más excéntricas y son estables, la estabilidad está dada cuando no hay un tercer cuerpo que pueda alterar la trayectoria de modo que siempre la energía mecánica de esa órbita permanezca constante .

Cuanto más excéntrica la órbita más probabilidad de acercarse a la órbita de otro cuerpo del mismo sistema, ... las consecuencias son por lo general el cambio del plano de la órbita del cuerpo menos masivo, como es el caso como Plutón y Caronte, y la de los planetas enanos transneptunianos, donde se cree que la presencia de un noveno planeta 20 veces más masivo que la Tierra que los anduvo hace tiempo desviando las trayectorias, pero hasta ahora no podido ser descubierto dicho cuerpo, sobre lo cual hay muchos científicos dedicados a la caza del escurridizo planeta IX.

Una consecuencia relativista de la excentricidad es que al aumentar la velocidad en el perihelio, y hallarse en la zona de mayor curvatura de espacio tiempo ,las órbitas resultantes resultan tener precesión, tal es el caso de Mercurio, pero también ser observa en forma menos marcada en las órbitas de Venus y la Tierra.




La física y las matemáticas necesarias para lanzar un cohete al espacio exterior.
1. El modelo sencillo: un sistema de masa variable.
2. Un modelo con gravedad
3. Un modelo con fricción.
4. Un modelo con gravedad variable
5. Un modelo con fricción variable, aerodinamía.
6. Argumentos para optimizar.
7. Ventanas de lanzamiento, fuerzas ficticias, navegación
8. Órbitas, definiciones, estimación, formulación.
9. Leyes de conservación, que se conserva y que no.
10. Consumo energético para el cambio de órbitas
11. Órbitas de transferencia
12. Sistema Tierra Luna , problema de los dos cuerpos.
13. Puntos de Lagrange de un sistema de tres cuerpos
14. Asistencia gravitatoria
15. Reentrada atmosférica.
16. Una pincelada relativista