El espaciotiempo proyectivo de Minkowski

[Weip]

En anteriores artículos de blog escribí sobre geometría proyectiva pero no comenté nada acerca de su relación con la física. Ahora quiero exponerla en el ámbito de la relatividad especial. El objetivo presentar las definiciones básicas de la versión proyectiva del espaciotiempo de Minkowski y construir el cono de luz. Para ello partiré de los conceptos que ya presenté en "El mundo donde todas las rectas se cortan" así que hablaré de espacios proyectivos y de variedades lineales sin definirlos. Empecemos.

Definición 1: Llamaremos espaciotiempo de Minkowski $\mathcal{M}$ al par $\left( \mathbb{R}^4, \left<, \right> \right)$ donde $\mathbb{R}^4$ lo consideramos como espacio vectorial y $\left<, \right>: \mathbb{R}^4 \times \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}$ es una forma bilineal, simétrica y no degenerada dada por:

$\left<x, y\right>=-x_0y_0+x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3$

Donde $x=(x_0,x_1,x_2,x_3)$ y $y=(y_0,y_1,y_2,y_3)$ son vectores de $\mathbb{R}^4$. A esta aplicación la llamaremos métrica de Minkowski.

La imagen típica del espaciotiempo de Minkowski es la siguiente:

Nosotros queremos una versión proyectiva de este espacio así que tenemos que añadir un hiperplano en el infinito al espaciotiempo de Minkowski con estructura de espacio afín. Las imagenes serán en dos dimensiones así que dibujaremos una recta en el infinito pero en realidad debería ser una variedad lineal de dimensión tres.

Definición 2: Llamaremos espaciotiempo proyectivo de Minkowski $\mathcal{P}\left(\mathcal{M}\right)$ a $\mathcal{M} \cup H_{\infty}$ donde $H_{\infty}$ es el hiperplano del infinito de dimensión tres.

Fijaos que $\mathcal{P}\left( \mathcal{M} \right)$ en dos dimensiones es algo así:

Para formarnos una imagen más global de este espacio vamos a definir el concepto de cuádrica:

Definicion 3: Una cuádrica proyectiva es la clase módulo multiplicación por constante (*) de una forma bilineal simétrica.

Una cuádrica vendría a ser como una generalización de una variedad lineal pero que está descrita por una ecuación de segunda grado en varias variables. Las cuádricas en dimensión dos se les llama cónicas. De este modo las parábolas, los elipsoides y demás figuras que seguro que conocéis son cuádricas.

Ahora os preguntareis ¿y para qué sirve estudiar las cuádricas en relatividad especial? Si os fijáis la expresión $-t^2+x^2+y^2+z^2 =-1$ define un hiperboloide de dos hojas en un espacio de Minkowski. Alguna vez habréis visto imágenes como esta:

Estoy hablando justamente de esa hipérbola. En el caso del espaciotiempo proyectivo de Minkowski:

La hipérbola es el "círculo" que veis en la imagen. Pero cuidado que no es un círculo, esta cónica corta en dos puntos distintos al hiperplano del infinito. Cuesta de imaginar pero en el proceso de paso entre geometría proyectiva a geometía afín la hipérbola "se parte" y queda la imagen que todos conocemos. Ya nos queda poco para poder definir el cono de luz. Antes necesitamos el concepto de tangencia.

Definición 4: Un punto $q$ pertenece a una cuádrica $Q$ de forma bilineal simétrica asociada $\left<, \right>$ si $\left<q, q \right>=0$.

Definición 5: Sea $Q$ una cuádrica y $p \in Q$. La recta tangente por $p$ es la recta $\left< p, x\right>=0$.

Recordemos que al ser $\left<,\right>$ una forma bilineal tenemos que $\left<p, x\right>=p^TAx$ donde $A$ es la matriz simétrica asociada a nuestra forma bilineal. Una recta tangente a una cuádrica la podemos visualizar de la siguiente forma:

Ahora ya estamos preparados para definir el cono de luz en $\mathcal{P}\left(\mathcal{M}\right)$.

Definición 6: El cono de luz es el conjunto de rectas que son tangentes al hiperboloide de cuatro dimensiones definido por $-t^2+x^2+y^2+z^2=-1$ en los puntos de intersección entre la cuádrica y $H_{\infty}$.

La historia queda así:

Toda esta construcción nos permite ver claramente la diferencia entre la relatividad especial y la mecánica newtoniana. Cuando la velocidad de la luz tiende a infinito el cono de luz de ecuación $\tau=0$ (**) tiende a $t=0$ y el hiperboloide $\tau=1$ tiende a $H_{\infty}$ con lo que para una velocidad de la luz infinita pasamos de $\mathcal{P}\left( \mathcal{M}\right)$ al $\mathbb{R}^3$ de toda la vida.

Y hasta aquí el artículo de blog. Cualquier recomendación, duda o errata que encontréis las podéis dejar en los comentarios. En futuros artículos me meteré aún más en física con las transformaciones de Lorentz en este contexto.

(*) Recordad que en la definición de espacio proyectivo tenemos una aplicación exhaustiva $\pi:E - \left\{ \vec{0} \right\} \to \mathbb{P}$ que cumple que si $\vec{u}, \vec{v} \in E - \left\{ \vec{0} \right\}$ con $\pi(\vec{u})=\pi(\vec{v})$ si y solo si $\vec{u}=\lambda \vec{v}$. De aquí viene lo de "clase módulo multiplicación por constante". Así pues las cuádricas son la imagen por $\pi$ de una forma bilineal simétrica.

(**) $\tau$ es el tiempo propio. Las ecuaciones $\tau=0$ y $\tau=1$ no son más que la ecuación de las rectas tangentes y reescribir la ecuación del hiperboloide que he presentado anteriormente.

[Weip]

Ah vale lo de $\mathbb{R}^3_1$ es para separar el espacio del tiempo. Lo de la signatura es el número de valores propios positivos y negativos de la forma bilineal simétrica. En el caso de la métrica de Minkowski es (3,1) si usas la convención (-,+,+,+) o (1,3) si usas (+,-,-,-). Lo de subir y bajar índices pues no lo he necesitado pero no creo que ahí esté la diferencia entre $\mathbb{R}^4$ y $\mathcal{M}$. La historia es que el $\mathbb{R}^4$ "de toda la vida" se suele equipar con un producto escalar mientras que en $\mathcal{M}$ hemos de usar la métrica de Minkowski, que no es definida positiva. Eso hace que le geometría sea un poco diferente.

[guibix]

Gran artículo Weip.
Nunca había visto esa forma de pasar de un círculo a una hipérbola. Claro que de geometría proyectiva se muy poco.
Felicidades!!

PD: creo que en la frase "Cuando la velocidad de la luz tiene a infinito el cono de luz de ecuación..." se fugó una "d" a otra dimensión .

[Weip]

Ups me comí una d. Gracias guibix.