Cerrado [Desafío 1.08] Ceil in one

[La esfinge]

¡Aquí estoy de nuevo!

Tengo el inmenso placer de escribiros en muy buena compañía esta vez. A falta de uno, me acompañan dos deportistas de leyenda. El mago del balón Edison Arantes do Nascimento, más conocido como Pelé; y el felino de la pelota pequeña, Eldrick "Tiger" Woods.

Esta mañana, tras el desayuno, ambos se han puesto a competir intentando demostrar sus habilidades en sus respectivas disciplinas. Como suele pasar en estas ocasiones, ninguno fue capaz de convencer al otro, por lo que decidieron demostrar que la disciplina del contrario es más sencilla. Por su dignidad, no os voy a explicar donde acabó el swing de Pelé, ni cuantos toques fue capaz de realizar Woods.

Cuando ya me cansé de aguantar tanta testosterona, decidí que era mi turno. Les reté a que, dejando caer cualquiera de sus respectivos esféricos desde una altura de un metro y medio, sin dar velocidad inicial, fueran capaces de hacerlos revotar hasta el techo. ¡Imposible! Me dijeron. Entre ambos, fueron capaces de hilvanar un razonamiento físico: "Incluso suponiendo que no se perdiera energía por el rozamiento con el aire; incluso suponiendo que no se perdiera energía en el vote, la pelota podría únicamente llegar a su altura iniciar".

No pude retener una ligera sonrisa, y les dije que si era posible, que lo intentaran. Cada uno lo intentó por su cuenta. No lo consiguieron, obviamente. Les sugerí que aunaran esfuerzos. Pedí a Edison que sostuviera su pelota de fútbol a la altura deseada. Mientras que Eldrick debía sostener la pelota de golf justo encima de la grande. A mi señal, debían soltar ambos al unísono. Tras rebotar juntas en el suelo, la pequeña pelota de golf salió disparada hacia el techo. "¡Ceil in one!" exclamó Woods.

Tras provocar unas cuantas abolladuras más en el techo me miraron extrañados. "¿Cómo puede ser?" preguntó uno, "¿No se conserva la energía?" inquirió el otro. Pues bien, amigos, estas son las preguntas que debéis responder esta vez.

¡Suerte!

[La esfinge]

Re: [Desafío 1.8] Ceil in one

La clasificación de este desafío es:

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	N30F3B0	8	40
1	Faraday	8	40
3	Alefriz	4	20
4	Carroza	3	15

Puedes consultar las normas del desafío aquí.

[[Beto]]

Respuesta [Desafío 1.8]

Hola, para calcular la alturas que alcanzan las pelotas cuando ambas se sueltan juntas (la pequeña encima de la grande), consideraré lo siguiente:

1. No hay fricción con el aire.
2. Todos los choques son elásticos.
3. Las masas de las pelotas grande y pequeña son $M$ y $m$ respectivamente.
4. La altura desde la que se sueltan es $H$, medida desde el piso hasta la parte inferior de la pelota mas grande.
5. Los radios de las pelotas grande y pequeña son $R$ y $r$ respectivamente.

Luego pasaré a analizar por partes:

Parte 1: (Desde que se sueltan las pelotas hasta justo antes de que la pelota grande haga contacto con el piso)

Lo primero que hay que notar es que al recorrer los centros de las pelotas una misma distancia antes de que la pelota grande impacte con el piso, llegaran a ese punto con la misma velocidad $v$

Para calcular la velocidad $v$, haciendo uso de un poco de cinemática se tiene que:

$$v=\sqrt{2gH}$$

Esto debido a que cualquier punto de cualquiera de las pelotas recorre una distancia $H$, antes de que la pelota grande choque con el piso y además se esta despreciando el rozamiento con el aire.

Parte 2: (Choque de la pelota grande con el piso)

Ahora hay que ver que sucede durante el choque:

Una vez que choca la pelota grande contra el piso, casi inmediatamente invierte el sentido de la velocidad con la que llega, esto debido a que el choque es elástico y además la masa de la tierra es bastante grande.

Parte 3: (Choque entre las dos pelotas)

Entonces luego de eso la pelota grande y pequeña chocarán, los módulos de sus velocidades serán iguales pero tendrán sentidos opuestos (antes del choque) y después del choque tendrán velocidades $v_1^f$ y $v_2^f$ la pelota pequeña y grande respectivamente. Pero inmediatamente antes y después del choque la cantidad de movimiento se conserva (después ya no pues hay que recordar que están afectadas por la fuerza de gravedad), esto es:

$$\vec p_i=\vec p_f\Rightarrow Mv-mv=Mv_2^f+mv_1^f$$

Además al ser el choque entre las pelotas elástico la energía también se conserva, y se llega a que:

$$\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}Mv^2= \frac{1}{2}m(v_1^f)^2+\frac{1}{2}M(v_2^f)^2$$

Así de (1), (2) y (3) se pueden calcular las velocidades inmediatamente después de que chocan las pelotas:

$$\begin{array}{ccl}<br /> \dst v_1^f&=&\dfrac{\sqrt{2gH}(3M-m)}{M+m}\\<br /> \\<br /> v_2^f&=&\dfrac{\sqrt{2gH}(M-3m)}{M+m}<br /> \end{array}$$

Se nota claramente que $v_2^f<v_1^f$, es decir la pelota pequeña sale hacia arriba con mayor velocidad inicial adelantándose a la grande.

Parte 4: (Cálculo de la altura alcanzada por las pelotas)

En esta parte haré uso de la conservación de la energía mecánica para cada pelota, es decir debo de tener en cuenta que la energía que posee una pelota en su altura máxima es solamente potencial gravitatoria.

Para la pelota pequeña:

$$T^i+U_g^i = U_g^f \Longrightarrow \frac{1}{2} m(v_1^f)^2+mg(2R+r)=mg(H_1^f+r)$$

Donde $H_1^f$ es la altura medida desde el piso hasta la parte inferior de la pelota pequeña cuando se encuentra en su altura máxima, y tomando en cuenta (4):

$$H_1^f=2R+H\left[\frac{3M-m}{M+m}\right]^2$$

Para la pelota grande:

$$T^i+U_g^i = U_g^f \Longrightarrow \frac{1}{2} M(v_2^f)^2+MgR=Mg(H_2^f+R)$$

Donde $H_2^f$ es la altura medida desde el piso hasta la parte inferior de la pelota grande cuando se encuentra en su altura máxima, y tomando en cuenta (4):

$$H_2^f=H\left[\frac{M-3m}{M+m}\right]^2$$

Conclusión:

Como se puede observar, se tiene que:

$$H_2^f<H<H_1^f$$

Esto quiere decir que la energía se conserva, solo que en el momento en que chocan ambas pelotas la pelota pequeña adquiere una mayor energía cinética y en compensación la pelota más grande disminuye la energía que posee, es ese el motivo por el cual la pelota pequeña alcanza una altura mucho mayor que si se soltara sola, se podría decir que "cuando las dos pelotas chocan la pelota grande le transfiere parte de su energía cinética a la pequeña".

[alefriz]

ceil in one!

Al llegar ambas pelotas al suelo, la grande rebota mucho menos que lo habitual (normalmente si estuviese sola rebotaría alrededor de un 60 %, o sea, coeficiente de restitución aprox. 0,6 - pelota fútbol-), y la pequeña salta mucho más de lo habitual, superando con creces la altura inicial $H$, y chocando incluso contra el techo de la habitación.

Para explicar este fenómeno, y hacernos una idea de lo que ocurre con la pelota pequeña al rebotar sobre la grande, consideraremos el choque frontal de dos esferas rígidas, de masas $M_1$ y $M_2$, en condiciones ideales (perfecta elasticidad, ausencia de aire, gravedad uniforme, etc). Este choque frontal entre ellas ocurre inmediatamente después que la pelota grande rebota contra el suelo. Como el suelo tiene masa muy superior a las pelotas, y no hay deformación inelástica, la pelota grande no pierde energía cinética pero invierte bruscamente su dirección en 180 grados, devolviéndose hacia arriba con la misma velocidad con que llegó abajo. Nótese que mientras caen, las esferas prácticamente no interactúan entre sí porque ambas llevan igual aceleración $g$.

En consecuencia la pelota grande al rebotar en el suelo recibe un fuerte impulso de retorno hacia arriba, y la pelota pequeña, que va hacia abajo con la misma rapidez con que se devuelve la grande. Estas ecuaciones se derivan a partir de los teoremas de conservación del momento lineal (ecuación 1) y de energía cinética (ecuacion 2) para el sistema formado por ambos cuerpos durante la colisión.

La magnitud del Momento total antes del choque (subíndice “i”) debe ser igual a la magnitud del Momento total después del choque (subíndice “f”):

$M_1 \vec{V_{1i}} + M_2\vec{V_{2i}} = M_1\vec{V_{1f}} + M_2 \vec{V_{2f}} \rightarrow (1)$

Por su parte, la conservación de la energía cinética del sistema es válida sólo cuando el choque es pefectamente elástico. En tal caso, no hay disipación de energía y el coeficiente de restitución es 1. La ecuación correspondiente es:

$\frac{1}{2}M_1 V_{1i}^2 + \frac{1}{2}M_2 V_{2i}^2 = \frac{1}{2}M_1 V_{1f}^2 + \frac{1}{2}M_2 V_{2f}^2 \rightarrow (2)$

Dado que conocemos la velocidad de ambas pelotas al momento de iniciar la interacción, que no es otra que la velocidad común con que ambas llegan al suelo (excepto por el signo), podemos despejar a partir de estas dos ecuaciones las dos incógnitas $V_{1f}$ y $V_{2f}$ y obtener asíl as siguientes ecuaciones del choque frontal elástico:

$\vec{V_{1f}} = \frac{(M_1 - M_2) \vec{V_{1i}} + 2M_2 \vec{V_{2i}}}{M_1 + M_2}\rightarrow (3)$

$\vec{V_{2f}} = \frac{2M_2 \vec{V_{1i}} + (M_2 - M_1) \vec{V_{2i}}}{M1 + M2} \rightarrow (4)$


Si bien las masas son siempre positivas, no ocurre lo mismo con las velocidades, que pueden tener dos sentidos. Por simplicidad, asignaremos el signo + al sentido de subida, y el signo – al sentido de bajada.

Aplicación numérica:

Si caen las pelotas de una altura $H = 1,5 m$, la velocidad del conjunto al llegar al suelo es $V = \sqrt{2 g H} = 5,42 m/s$. Por lo tanto, las velocidades iniciales con que chocan las esferas serán: $V_{1i} = - V_{2i} = 5,42 m/s$. Por otra parte, si las masas por ejemplo fuesen: $M_1 = 0,6 kg$ y $M_2 = 0,06 kg$, al introducir los valores de $M_1, M_2, V_{1i}, V_{2i}$ (con sus signos) en la fórmula 4, obtenemos la velocidad con que la pelota pequeña sale impulsada hacia arriba, a saber: $V_{2f} = 14,29 m/s$, la cual le permitirá (idealmente) alcanzar una altura: $H* = \frac{V_{2f}^2}{2g} = 10,42 m$, casi 7 veces superior a la altura de la cual partió.

[carroza]

Desafio 1.8

La pelota de pelé es elástica, por lo que puede impulsar a la bola de golf de Tiger más allá de lo que ésta rebotaría en el suelo.

Una descripción aproximada de lo que ocurre cuando bota la pelota de pelé es la siguiente:

1) la pelota cae, y está a punto de chocar con el suelo. La velocidad de toda la pelota es
$v_0$, que cumple $E_f = m_f g h_0 = 1/2 m_f v_0^2$.

2) La pelota choca con el suelo. En este caso, la parte inferior de la pelota se frena, la superior sigue bajando, hasta que la energia de compresion de la pelota iguala a la energia total.

3) La pelota empieza a rebotar. La parte inferior sigue en contacto con el suelo, pero la parte superior comienza a moverse hacia arriba. La energia de compresión se convierte en movimiento de la parte superior (la parte inferior sigue pegada al suelo). Si idealizamos el problema, considerando una parte superior, de masa $m_f/2$, y una parte inferior de masa $m_f/2$, cuando toda la energia se convierte en movimiento de la parte superior, la velocidad, hacia arriba, de la parte superior es
$E_f=1/2 (m_f/2) v_a^2$, con lo que $v_a=\sqrt{2} v_0$.

4) La pelota sube hacia arriba, se equilibran las velocidades de la parte superior e inferior, conservando la energía, con lo que se alcanza la altura inicial $h_0$

Ahora consideremos qué ocurre cuando la bola de golf de Tiger está sobre la pelota de Pelé (consideramos que la masa de la bola de golf es muy inferior a la de la pelota de
Pelé).

1) Cuando cae, acompaña a la pelota de pelé, por lo que su velocidad es también $v_0$, justo antes de botar.

2) Cuando la pelota de pelé rebota, sale impulsada hacia arriba con la velocidad de la parte superior de la pelota de pelé $v_f=\sqrt{2} v_0$.

3) La bola de golf llega a una altura dada por $m_g g h_g = 1/2 m_g v_a^2$

4) Por lo tanto, la pelota de golf podría llegar a una altura $h_g=2h_0$, doble de la inicial. Si el techo está a menos de tres metros, le damos.

¿Qué pasa con la energía? Lo mismo que la superficie de la pelota impulsa hacia arriba a la bola de golf, ésta empuja hacia abajo a la pelota de futbol. Por ello, la pelota de futbol perdería energía, y no llegaría hasta la altura inicial $h_0$, sino solamente hasta una altura $h_f$ que cumple la conservación de la energía $(m_f +m_g) g h_0 = m_f g h_f + m_g g h_g$

Si pusieramos abajo la bola de golf, y arriba la pelota de futbol, entonces el mismo argumento nos llevaria a que la bola de golf, tendria en 3) la velocidad de la parte inferior de la pelota de futbol (cero), subiria a una altura cero tras el choque, y su energia se la llevaria la pelota de futbol, que subiria a una altura un poquito mas alta que los 1.5 metros iniciales.

[Faraday]

[Desafío 1.8] Ceil in one

Buenas!
Para explicar lo que pasa en este experimento, hay que recurrir a dos principios: el de la conservación de la Energia Cinética, y al de la Cantidad de Movimiento.

Consideramos que es un sistema elástico, despreciando el coeficiente de restitución, ya que si no los cálculos son eternos.

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Leyenda:
v = velocidad pelota pequeña / V= velocidad pelota grande
m = masa pelota pequeña / M= masa pelota grande
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Dicho esto, el experimento va así:



1) Como vemos, caen las dos pelotas, pero al rebotar la grande, empuja a la pequeña hacia arriba. Como no hay rozamiento con el aire, podemos obtener la velocidad de las dos pelotas antes del choque:



Vemos que v=V=${\sqrt (2gh)}$, ya que al no depender de la masa del cuerpo, se aplica tanto a la pelota grande como a la pequeña.


2) A continuación, aislamos las velocidades finales de las dos pelotas en función de los otros parametros usando los dos principios anteriores. (No pongo los cálculos porque son bastante largos). Obtenemos que:




Vemos que la velocidad final de la pelota grande es la misma que antes, pero la de la pequeña es v'=2V-v.
Solo nos falta sustituir en la ecuacion anterior de las velocidades tal y como se muestra, y se obtiene que la velocidad de la pelota grande es aproximadamente la misma que antes del choque; pero en cambio la velocidad de la pelota pequeña es alrededor de 3 veces mayor.

3) Con este resultado, solo nos falta aplicarlo a la variación de la Energia Mecánica:




Obtenemos el resultado deseado: la altura a la que llega la pelota pequeña después del choque es de 9 veces la altura inicial, por eso llega al techo en el juego de la Esfinge (1,5metros x 9 = 13,5metros).

Saludos!