Cerrado [Desafío 1.16] El salto de Apolo

[La esfinge]

¡Hola de nuevo a todos!

¿Que rápido pasa el verano, verdad? Parece que acabábamos de empezar las vacaciones, pero setiembre ya está aquí. ¿Habéis salido de viaje? Yo he ido al Monte Olimpo, residiendo en el palacio de Zeus; un gran anfitrión, como siempre.

En mi estancia en el hogar de los dioses, mi principal actividad ha sido disfrutar de los juegos en Pekín, naturalmente. Todos los habitantes de la cima helena han estado muy atentos al desarrollo de las competiciones que se organizan en el lejano oriente en su honor.

De hecho, la atención a todo lo que pasaba en Beijin llegaba hasta la obsesión en el Olimpo. Todas las conversaciones que yo iniciaba acababan tratando sobre los juegos. Recuerdo una, con Apolo, que comparaba las antiguas olimpiadas con las modernas. "La mayor diferencia es la vestimenta", comentaba entre carcajadas. "Además, ahora hay más deportes. Cada vez incluyen nuevas disciplinas. La que más me gusta de las nuevas es eso que hacen con bicicletas, el BMX".

Durante la hora siguiente no tuve más remedio que escuchar toda la historia del BMX; una versión con bicicletas del motocross. Apolo explicaba con pasión como los corredores atrabesaban una recta llena de montículos, a menudo saltando de la cima de uno hasta la cima del otro.

Finalmente, Apolo no pudo resistirse más y me confesó que se había estado montando un circuito en uno de los valles del monte. Aún estaba en construcción, la recta principal tan sólo tenía un pequeño tobogan; una especie de baden de tres metros de profundidad y de perfil parabólico. "He observado que, en obstáculos como este, muchos de los competidores prefieren saltar de borde a borde en vez de recorrer la superfície del obstáculo", continuó explicando el dios de la luz y el sol, "así que he probado a hacerlo así: salto de forma que mi máxima altura es igual a la profundidad del tobogán (es decir, tres metros sobre el nivel de los bordes). No obstante, he observado que mi tiempo por vuelta es peor cuando doy el salto que si recorro el tobogán por su superfície".

Noté cierto semblante preocupado cuando Apolo continuaba con su discurso "Me extraña, ¿por qué es más lento saltar como yo lo hago? Y, si es así, ¿por qué los concursantes de la BMX prefieren sortear los obstáculos saltando?".

"No te preocupes, Apolo", le tranquilicé, "tengo unos amigos que podrán ayudarte a entenderlo". Sí, esos sois vosotros. ¡Buena suerte!

[La esfinge]

RE: [Desafío 1.16] El salto de Apolo

El resultado de este desafío es el siguiente:

Pos	Nombre	Puntos	Reputación
1	N30F3B0	10	50
2	Fastolfe	6	30
3	neometalero	0	0

Una forma sencilla de razonar la respuesta, sin cálculos, es la siguiente: Las dos trayectorias posibles son idénticas, pero invertidas verticalmente. Por la conservación de la energía, ambas trayectoria llegan al extremo opuesto del tobogán con la misma velocidad. No obstante, la trayectoria de salto se realiza a una velocidad horizontal constante, mientras que en la trayectoria que consiste en bajar por el tobogán el ciclista se acelera en el tramo de bajada. Empiezan y terminan con la misma velocidad, pero en la trayectoria inferior la velocidad horizontal siempre es mayor a la trayectoria de salto, por lo tanto va a tardar más.

Por otra parte, los especialistas en BMX prefieren saltar, pero lo hacen de otra forma; procuran coger la menor altura posible, de forma que la velocidad horizontal sea máxima. El error de Apolo es coger tanta altura como profundidad tiene el obstáculo, en vez de una trayectoria mucho más plana.

[neometalero]

[Desafío 1.16] El salto de Apolo

Respecto al asunto de que los tiempos por vuelta son mayores, es porque saltandolos asi , el ciclista está un tiempo mayor en el aire que de la otra forma.
El motivo por el que los ciclistas prefieren saltar de borde a borde quizas sea porque así cogen mayor velocidad para entrar en el siguiente obstaculo, tal vez debido a que ahi la superficie es distinta o a la propia curvatura del obstaculo en el borde.
No se si es correcto y si deberia hacer una explicacion mas detallada, pero es mi primera vez.

[Fastolfe]

Una explicacion

Pensando el problema que expone Apolo sobre que el ciclista de BMX demora menos tiempo recorriendo la rampa parabólica que saltando de extremo a extremo, se me ocurre esta solución:
El ciclista al saltar el obstáculo parabólico de borde a borde se enfrenta al llegar al suelo con una fuerza que actúa contraria al movimiento en un tiempo determinado cambiando la cantidad de movimiento lineal, este fenómeno se conoce como "Principio del impulso".
El principio del impulso surge de la segunda Ley de Newton:

$$\sum{F}=m\dfrac{dV}{dt}$$

Integrando (1) se tiene la expresion para el principio del impulso:

$$\int_{t_1}^{t_2}\left(\sum{F}\right)\cdot dt=mV_2-mV_1$$

El siguiente esquema explica mi punto de vista:


Ya que la fuerza F se opone al movimiento un intervalo de tiempo $t_2-t_1$, es evidente que $V_2<V_1$, pues (2) queda asi:

$$\int_{t_1}^{t_2}\left(-F\right)\cdot dt=mV_2-mV_1$$

Para ser mas especifico, la velocidad $V_1$ surge de la conservación de la energía entre la velocidad inicial o entrada del salto y la de llegada al suelo, es decir:
$\frac{m\cdot V_{entrada}}{2}=\frac{m\cdot V_{2}}{2}\longrightarrow V_{entrada}=V_{2}$

Recorrer la rampa también sigue el principio de conservación de la energía, o sea:
$\frac{m\cdot V_{entrada}}{2}=\frac{m\cdot V_{salida}}{2}\longrightarrow V_{entrada}=V_{salida}$

CONCLUSIÓN
Es decir, por efecto de conservación de la energia, recorrer la rampa parabólica nos proporciona la posibilidad de mantener nuestra velocidad inicial al recorrer el obstáculo, mientras que al saltarlo, nos vemos enfrentados en la caída a una fuerza de impulso contraria al movimiento, disminuyendo la velocidad en cierta medida, provocando que el ciclista BMX tome mas tiempo en recorrer el circuito.

Yo lo veo así.

[[Beto]]

Solución [Desafío 1.16]

Hola, trataré de contestar las dos preguntas que hace Apolo, pero primero un esquema:

Ahora si veamos:

¿por qué es más lento saltar como yo lo hago?

Primero voy a comprobar si es verdad que es más lento saltar por aire, y simplificar las cosas, yo solamente consideraré el movimiento de una sola rueda con forma de disco.

Cálculo del tiempo que le toma ir por aire:

Tomando en cuenta que tendrá que subir una distancia $R$, usando algo de cinemática y suponiendo que la componente vertical de la velocidad con la que parte $v_{yo}$ se tiene que:

$$0=v_{yo}-2gh\Longrightarrow v_{yo}=\sqrt{2gh}$$

Además:

$$0=v_{yo}-gt\Longrightarrow t=\frac{v_{yo}}{g}$$

Luego de las ecuaciones (1) y (2) se obtiene que:

$$\boxed{t_1=2\sqrt 2\sqrt{\frac{R}{g}}\approx2,8284s}$$

Notar que el número 2 aparece debido a que se está calculando el tiempo total, no solo el de subida.

Cálculo del tiempo que le toma ir por tierra:

Como el movimiento solamente se lleva a cabo por el peso que posee el disco, y si considero que no hay deslizamiento entre la rueda y el piso (para simplificar un poco más el problema), se tendrá que la energía mecánica se conserva.

$$\Delta T_r+\Delta T_t+ \Delta U_g=0$$

Donde:

$\Delta T_r$: Variación de energía rotacional.

$\Delta T_t$: Variación de energía traslacional.

$\Delta U_g$: Variación de energía potencial gravitatoria.

Entonces:

$$\displaystyle (\frac{1}{2}I\omega^2-0)+(\frac{1}{2}Mv^2-0)+(0-Mgh)=0$$

Donde: $\omega$, $v$ e $I$ son la rapidez angular, rapidez lineal y momento de inercia del disco respectivamente.

Y teniendo en cuenta que para un disco su momento de inercia está dado por $I=\dfrac{1}{2}Mr^2$ y como el disco no resbala vale que $v=\omega r$ y además de la figura $h=R(1-\cos\theta)$ entonces:

$$\displaystyle\frac{1}{2}(\frac{1}{2}Mr^2)\omega^2 +\frac{1}{2}M(\omega r)^2= MgR(1-\cos\theta)$$

Resolviendo se tiene que:

$$\omega^2=\dfrac{4}{3r^2}gR(1-\cos\theta)$$

Luego considerando que $\omega=d\phi/dt$

$$\displaystyle \frac {d\phi}{dt}=\sqrt {\frac{4gR(1-\cos\theta)}{3r^2}}$$

Y además notando que $R\theta=r\phi$, $\phi=\dfrac{R}{r}\theta$ (esto debido a que la longitud de arco barrida por el cilindro es la misma longitud que recorre de un punto a otro sobre la superficie esférica), $d\phi =\dfrac{R}{r}d\theta$ la expresión anterior puede escribirse como:

$$\displaystyle \frac {d\theta}{dt}=\sqrt {\frac{4g(1-\cos\theta)}{3R}}$$

Entonces:

$$\displaystyle \sqrt {\frac{3R}{4g}}\int_{\pi/2}^0\frac{d\theta}{\sqrt{1-\cos\theta}} =\int_0^{t_2}dt$$

Por lo tanto:

$$\boxed{t_2=-\sqrt6\ln\left(\tan\frac{\pi}{8}\right)\sqrt{\frac{R}{g}}\approx2,589s}$$

En esta parte también le estoy multiplicando por un 2 al resultado para obtener el tiempo total.

Seguramente hasta este punto, Apolo se pregunta .. solo veo fórmulas y no entiendo ... veamos entonces una interpretación de todo lo anterior:

Al comparar los dos resultados anteriores se obtiene que:

$$t_2<t_1$$

Como se puede ver los tiempos son diferentes saltar demora más que ir por abajo ... ahora la pregunta ¿por que ir por abajo demora más? .. si nos fijamos en los cálculos, en la primera parte (cuando va por arriba) la velocidad con la que parte es siempre la misma, pues tiene que alcanzar una determinada altura y recorrer una determinada distancia horizontal. En cambio cuando va por abajo, los cálculos realizados son para cuando parte del reposo, y aun así el tiempo da menor que el anterior, eso quiere decir que si se partiera con una velocidad inicial, el tiempo seria aun más menor.

¿por qué los concursantes de la BMX prefieren sortear los obstáculos saltando?

La razón es debido a que al llegar la bicicleta a la parte más alta de la rampa, la dirección de su velocidad está inclinada hacia arriba, se les haría más difícil hacer cambiar de dirección a esa velocidad para bajar por la rampa ... desperdiciarían energía y tiempo en esa maniobra.

Y con eso termino, espero que las respuestas resulten convincentes y entendibles para Apolo.